安徽省高考数学第二轮复习 专题二 函数与导数第2讲 函数与方程及函数的应用 文

专题二　函数与导数第2讲　函数与方程及函数的应用真题试做1．(2012·湖南高考，文9)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)＞0，则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为(　　)．A．2B．4C．5D．82．(2012·陕西高考，文11)设函数f(x)＝则f(f(－4))＝__________.3．(2012·山东高考，文15)若函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝__________.4．(2012·课标全国高考，文16)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝__________.5．(2012·陕西高考，文21)设函数f(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：f(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n为偶数，|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求b＋3c的最小值和最大值；(3)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]，有|f(x1)－f(x2)|≤4，求b的取值范围．6．(2012·江苏高考，17)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考向分析通过分析近几年的高考试题可以看到，对函数与方程的考查主要体现在以下几个方面：一、结合函数与方程的关系，求函数的零点；二、结合根的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断；三、利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或范围．对函数的实际应用问题的考查，题目大多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中教材和课标中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等基础知识和方法．热点例析热点一　确定函数的零点【例1】设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)(　　)．A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点-10-\nC．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点规律方法确定函数零点的常用方法：(1)解方程判定法，方程易解时用此法；(2)利用零点存在的判定定理；(3)利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解．变式训练1方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内(　　)．A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根热点二　函数零点的应用【例2】(1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4，①有且仅有一个零点？②有两个零点且均比－1大？(2)若函数F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．规律方法解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解，再者，对于存在零点求参数范围问题，可通过分离参数，从而转化为求函数值域问题．变式训练2已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是__________．热点三　函数的实际应用【例3】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.规律方法应用函数知识解应用题的步骤：(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键．转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类．(2)用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解．(3)把计算获得的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．变式训练3某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(x＞6)，年销量为u万件，若已知－u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年利润y(万元)关于x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．思想渗透函数与方程思想的含义-10-\n(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程(方程组)或者构造方程，通过解方程(方程组)或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程(方程组)的观点观察、处理问题．(3)方程的思想与函数的思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域；函数与方程的这种相互转化关系十分重要．如图所示，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动，速度为v(v＞0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为；②其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量．当移动距离d＝100，面积S＝时，(1)写出y的表达式；(2)设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．解：(1)由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为|v－c|＋，故y＝＝(3|v－c|＋10)．(2)由(1)知，当0＜v≤c时，y＝(3c－3v＋10)＝－15；当c＜v≤10时，y＝(3v－3c＋10)＝＋15.故y＝①当0＜c≤时，y是关于v的减函数．故当v＝10时，ymin＝20－.②当＜c≤5时，在(0，c]上，y是关于v的减函数；在(c,10]上，y是关于v的增函数．故当v＝c时，ymin＝.1．已知f(x)＝－3－(x－a)(x－b)，并且m，n是方程f(x)＝0的两个根，则实数a，b，m，n的大小关系可能正确的是(　　)．A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜b＜nC．a＜m＜n＜bD．m＜a＜n＜b2．(2012·山东潍坊一模，12)若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称．则称点对[P，Q]是函数y＝f(x)的一对“友好点对”(点对[P，Q]与[Q，P-10-\n]看作同一对“友好点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“友好点对”有(　　)．A．0对B．1对C．2对D．3对3．(2012·合肥八中冲刺卷，文10)已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－2k有三个零点，则实数k的取值范围是(　　)．A.B.C.D．[1,3]4．(2012·合肥六中冲刺卷，文15)已知奇函数f(x)＝给出下列结论：①f(f(1))＝1；②函数y＝f(x)有三个零点；③f(x)的递增区间是[1，＋∞)；④直线x＝1是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；⑤函数y＝f(x＋1)＋2图象的对称中心是点(1,2)；⑥对任意x∈R，都有f′(－x)＝－f′(x)．其中，正确结论的序号是__________．(注：写出所有正确结论的序号)5．(2012·江苏高考，10)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为______．6．(2012·北京高考，理14)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：①任意x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0；②存在x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0.则m的取值范围是__________．7．(2012·北京高考，文12)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝__________.8．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3000m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为Sm2.(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)；(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．B　解析：由x∈(0，π)且x≠时，f′(x)＞0可知：当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．又∵x∈[0，π]时，f(x)∈(0,1)，且f(x)是最小正周期为2π的偶函数，可画出f(x)的草图为：-10-\n对于y＝f(x)－sinx的零点，可在同一坐标系中再作出y＝sinx的图象，可知在[－2π，2π]上零点个数为4.2．4　解析：∵f(－4)＝－4＝16，∴f(f(－4))＝f(16)＝＝4.3.　解析：当0＜a＜1时，f(x)＝ax在[－1,2]上的最大值为a－1＝4，即a＝，最小值为a2＝m，从而m＝，这时g(x)＝，即g(x)＝在[0，＋∞)上是增函数．当a＞1时，f(x)＝ax在[－1,2]上的最大值为a2＝4，得a＝2，最小值为a－1＝m，即m＝，这时g(x)＝(1－4m)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意，舍去．所以a＝.4．2　解析：f(x)＝＝1＋，设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)是奇函数．由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.5．(1)证明：当b＝1，c＝－1，n≥2时，f(x)＝xn＋x－1.∵f·f(1)＝×1＜0，∴f(x)在内存在零点．又当x∈时，f′(x)＝nxn－1＋1＞0，∴f(x)在上是单调递增的．∴f(x)在内存在唯一零点．(2)解：方法一：由题意知即由下图知，b＋3c在点(0，－2)取到最小值－6，在点(0,0)取到最大值0，∴b＋3c的最小值为－6，最大值为0.方法二：由题意知－1≤f(1)＝1＋b＋c≤1，即－2≤b＋c≤0，①－1≤f(－1)＝1－b＋c≤1，即－2≤－b＋c≤0，②①×2＋②得-10-\n－6≤2(b＋c)＋(－b＋c)＝b＋3c≤0，当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；当b＝c＝0时，b＋3c＝0，∴b＋3c的最小值为－6，最大值为0.方法三：由题意知解得b＝，c＝，∴b＋3c＝2f(1)＋f(－1)－3.又∵－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1.∴－6≤b＋3c≤0.当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；当b＝c＝0时，b＋3c＝0，∴b＋3c的最小值为－6，最大值为0.(3)解：当n＝2时，f(x)＝x2＋bx＋c.对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤4等价于f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下：①当＞1，即|b|＞2时，M＝|f(1)－f(－1)|＝2|b|＞4，与题设矛盾；②当－1≤－＜0，即0＜b≤2时，M＝f(1)－f＝2≤4恒成立；③当0≤－≤1，即－2≤b≤0时，M＝f(－1)－f＝2≤4恒成立．综上可知，－2≤b≤2.6．解：(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0a≤6.所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．精要例析·聚焦热点热点例析【例1】D　解析：法一：∵f＝·－ln＝＋1＞0，f(1)＝－ln1＝＞0，f(e)＝－lne＝－1＜0，∴f·f(1)＞0，f(1)·f(e)＜0，故y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．法二：在同一坐标系中分别画出y＝x与y＝lnx的图象．如图所示．-10-\n由图象知零点存在于区间(1，e)内．【变式训练1】C　解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝|x|和y＝cosx的图象，如图．当x＞时，y＝|x|＞＞1，y＝cosx≤1.当x＜－时，y＝|x|＞＞1，y＝cosx≤1，所以两函数的图象只在内有两个交点，所以|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内有两个根．【例2】解：(1)①若函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，则等价于Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，即4m2－12m－16＝0，即m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1.②设两零点分别为x1，x2，且x1＞－1，x2＞－1，x1≠x2.则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4，故只需故m的取值范围是{m|－5＜m＜－1}．(2)若F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，即|4x－x2|＋a＝0有四个根，即|4x－x2|＝－a有四个根．令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.则作出g(x)的图象，由图象可知要使|4x－x2|＝－a有四个根，则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点，∴0＜－a＜4，即－4＜a＜0.【变式训练2】(0,1)　解析：由函数图象知，如图所示，当0＜k＜1时直线y＝k与函数f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根．【例3】解：(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋πr3，-10-\n又V＝，故l＝＝－r＝.由于l≥2r，因此0＜r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c.因此y＝4π(c－2)r2＋，0＜r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－＝，0＜r＜2.由于c＞3，所以c－2＞0.当r3－＝0时，r＝.令＝m，得m＞0，所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0＜m＜2即c＞时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′＜0；当r∈(m,2)时，y′＞0.所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3＜c≤时，当r∈(0,2)时，y′＜0，函数单调递减．所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r＝2；当c＞时，建造费用最小时r＝.【变式训练3】解：(1)设－u＝k2，∵售价为10元时，年销量为28万件，∴－28＝k2，解得k＝2.∴u＝－22＋＝－2x2＋21x＋18.即y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108.(2)由(1)得y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)，由y′＝0得x＝2(∵x＞6，∴舍去)或x＝9.显然，当x∈(6,9)时，y′＞0；当x∈(9，＋∞)时，y′＜0.∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是增函数，在(9，＋∞)上是减函数．-10-\n∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135.∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．创新模拟·预测演练1．C　解析：方法一：设φ(x)＝(x－a)(x－b)，由题意，f(m)＝－3－(m－a)(m－b)＝0，即φ(m)＝(m－a)(m－b)＝－3＜0，同理可得φ(n)＝－3＜0，如图所示，故a＜m＜n＜b.故选C.方法二：令g(x)＝(x－a)(x－b)，h(x)＝－3.则m，n即为方程g(x)＝h(x)的根，也即上述两函数图象的交点的横坐标，如图所示，故选C.2．C　解析：P，Q为“友好点对”，不妨设点P(x0，y0)(x0＞0)，则Q(－x0，－y0)．所以即(1)方程组(1)的解的个数即是“友好点对”数，在同一坐标系作出函数图象如图，有两个交点，所以有2对友好点对．3．C　解析：作出函数f(x)在[－1,3]上的图象，g(x)＝f(x)－kx－2k的零点即f(x)与函数y＝kx＋2k＝k(x＋2)交点的横坐标，y＝k(x＋2)恒过定点(－2,0)，结合图象分析即可．4．①②　解析：①f(f(1))＝f(－1)＝－f(1)＝1，①正确；②易知f(x)的三个零点是－2,0,2，②正确；③当x∈(－∞，－1]时，f(x)也单调递增，③错误；④由奇函数图象的特点知，题中的函数f(x)无对称轴，④错误；⑤奇函数f(x)图象关于原点对称，故函数y＝f(x＋1)＋2图象的对称中心应是点(－1,2)，⑤错误．f′(x)不一定具有奇偶性，⑥错误．填①②.5．－10　解析：根据题意，可得即解得故a＋3b＝－10.6．(－4，－2)　解析：(一)由题意可知，m≥0时不能保证对任意x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0成立．(1)当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2，g(x)＝2x－2，此时显然满足条件①；(2)当－1＜m＜0时，2m＞－(m＋3)，要使其满足条件①，则需解得－1＜m＜0；(3)当m＜－1时，－(m＋3)＞2m，要使其满足条件①，则需解得－4＜m＜－1.因此满足条件①的m的取值范围为(－4,0)．(二)在满足条件①的前提下，再探讨满足条件②的m的取值范围．(1)当m＝－1时，在(－∞，－4)上，f(x)与g(x)均小于0，不合题意；-10-\n(2)当m＜－1时，则需2m＜－4，即m＜－2，所以－4＜m＜－2；(3)当－1＜m＜0时，则需－(m＋3)＜－4，即m＞1，此时无解．综上所述，满足①②两个条件的m的取值范围为(－4，－2)．7．2　解析：由已知可得，lg(ab)＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2×1＝2.8．解：(1)由已知xy＝3000,2a＋6＝y，则y＝(6＜x≤500)，S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)·＝(x－5)(y－6)＝3030－6x－(6＜x≤500)．(2)S＝3030－≤3030－2＝3030－2×300＝2430，当且仅当6x＝，即x＝50时，等号成立，此时x＝50，y＝60，Smax＝2430.即设计成x＝50，y＝60时，运动场地占地面积最大，最大值为2430m2.-10-