安徽省高考数学第二轮复习 专题二 函数与导数第3讲 导数及其应用 文
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专题二 函数与导数第3讲 导数及其应用真题试做1.(2012·辽宁高考,文8)函数y=x2-lnx的单调递减区间为( ).A.(-1,1]B.(0,1]C.[1,+∞)D.(0,+∞)2.(2012·辽宁高考,文12)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为( ).A.1B.3C.-4D.-83.(2012·天津高考,文20)已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.考向分析文科用从近三年高考来看,该部分高考命题有以下特点:从内容上看,考查导数主要有三个层次:(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义;(2)导数的简单应用,包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等;(3)导数的综合考查,包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题.从形式上看,考查导数的试题有选择题、填空题、解答题,有时三种题型会同时出现.热点例析热点一 导数的几何意义【例1】(2012·安徽高考,文17)设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax++b(a>0).(1)求f(x)的最小值;(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,求a,b的值.规律方法1.导数的几何意义:函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义是:曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).2.求曲线切线方程的步骤:(1)求出函数y=f(x)在点x=x0的导数f′(x0),即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率;(2)已知或求得切点坐标P(x0,f(x0)),由点斜式得切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).特别提醒:①当曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时,由切线定义可知,切线方程为x=x0;②当切点坐标未知时,应首先设出切点坐标,再求解.变式训练1(1)设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a=__________;文科用(2)设f(x)=xlnx+1,若f′(x0)=2,则f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为__________.热点二 利用导数研究函数的单调性-9-\n【例2】文科用已知函数f(x)=x2+alnx.(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若函数g(x)=f(x)+在[1,+∞)上单调,求实数a的取值范围.规律方法利用导数研究函数单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导函数f′(x);(3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性求参数,只需转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间内恒成立问题求解.解题过程中要注意分类讨论;函数单调性问题以及一些相关的逆向问题,都离不开分类讨论思想.变式训练2已知函数f(x)=x-+a(2-lnx),a>0.讨论f(x)的单调性.热点三 利用导数研究函数极值和最值问题已知函数f(x)=x3-ax2-3x,【例3】(1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)若x=-是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最大值;(3)在(2)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点?若存在,请求出实数b的取值范围;若不存在,试说明理由.规律方法利用导数研究函数极值的一般步骤是:(1)确定函数的定义域;(2)求函数f(x)的导数f′(x);(3)①若求极值,则先求出方程f′(x)=0的根,再检验f′(x)在方程根左右边f′(x)的符号,求出极值.当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内.②若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f′(x)=0根的大小或存在情况,从而求解.文科用变式训练3设a∈R,函数f(x)=ax3-3x2.(1)若x=2是函数y=f(x)的极值点,求a的值;(2)若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2]在x=0处取得最大值,求a的取值范围.思想渗透转化与化归思想的含义转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种数学方法.一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.转化与化归常用的方法是等价转化法:把原问题转化为一个易于解决的等价问题,以达到化归的目的.已知函数f(x)=x(lnx+m),g(x)=x3+x.(1)当m=-2时,求f(x)的单调区间;(2)若m=时,不等式g(x)≥f(x)恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)当m=-2时,f(x)=x(lnx-2)=xlnx-2x,定义域为(0,+∞),且f′(x)=lnx-1.由f′(x)>0,得lnx-1>0,所以x>e.由f′(x)<0,得lnx-1<0,所以0<x<e.故f(x)的单调递增区间是(e,+∞),递减区间是(0,e).(2)当m=时,不等式g(x)≥f(x),即x3+x≥x恒成立.-9-\n由于x>0,所以x2+1≥lnx+,即x2≥lnx+,所以a≥.令h(x)=,则h′(x)=,由h′(x)=0得x=1.且当0<x<1时,h′(x)>0;当x>1时,h′(x)<0,即h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以h(x)在x=1处取得极大值h(1)=,也就是函数h(x)在定义域上的最大值.因此要使a≥恒成立,需有a≥,此即为a的取值范围.-9-\n1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3xf′(1)+x2,则f′(1)=( ).A.-1B.-2C.1D.22.曲线y=-在点M处的切线的斜率为( ).A.-B.C.-D.3.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,不等式f(x)+xf′(x)<0成立,若a=30.3f(30.3),b=logπ3f(logπ3),c=log3f,则a,b,c间的大小关系是( ).A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b4.(2012·皖北协作区联考,文10)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<(x∈R),则不等式f(x2)<+的解集为( ).A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)5.三次函数f(x),当x=1时有极大值4;当x=3时有极小值0,且函数图象过原点,则f(x)=__________.6.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a(a为常数)在区间[-2,2]上有最大值20,那么此函数在区间[-2,2]上的最小值为__________.7.已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).(1)若a=1,求曲线y=f(x)在x=处切线的斜率;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设g(x)=2x,若对任意x1∈(0,+∞),存在x2∈[0,1],使f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围.参考答案命题调研·明晰考向真题试做1.B 解析:对函数y=x2-lnx求导,得y′=x-=(x>0),令解得x∈(0,1].因此函数y=x2-lnx的单调递减区间为(0,1].故选B.2.C 解析:如图所示,由已知可设P(4,y1),Q(-2,y2),∵点P,Q在抛物线x2=2y上,∴∴-9-\n∴P(4,8),Q(-2,2),又∵抛物线可化为y=x2,∴y′=x,∴过点P的切线斜率为y′=4,∴过点P的切线为y-8=4(x-4),即y=4x-8.又∵过点Q的切线斜率为y′=-2,∴过点Q的切线为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2.联立解得x=1,y=-4,∴点A的纵坐标为-4.3.解:(1)f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f′(x)=0,得x1=-1,x2=a>0.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,a)a(a,+∞)f′(x)+0-0+F(x)↗极大值↘极小值↗故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间是(-1,a).(2)由(1)知f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0<a<.所以,a的取值范围是.(3)a=1时,f(x)=x3-x-1.由(1)知f(x)在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增.①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1,t+3]上单调递减.因此,f(x)在[t,t+3]上的最大值M(t)=f(-1)=-,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者.由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).而f(t)在[-3,-2]上单调递增,因此f(t)≤f(-2)=-,所以g(t)在[-3,-2]上的最小值为g(-2)=--=.②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],且-1,1∈[t,t+3].下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.由f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2).又f(1)=f(-2)=-,f(-1)=f(2)=-,从而M(t)=f(-1)=-,m(t)=f(1)=-.所以g(t)=M(t)-m(t)=.综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为.精要例析·聚焦热点热点例析-9-\n【例1】解:(1)(方法一)由题设和均值不等式可知,f(x)=ax++b≥2+b,其中当且仅当ax=1时,等号成立,即当x=时,f(x)取最小值为2+b.(方法二)f(x)的导数f′(x)=a-=,当x>时,f′(x)>0,f(x)在上递增;当0<x<时,f′(x)<0,f(x)在上递减.所以当x=时,f(x)取最小值为2+b.(2)f′(x)=a-.由题设知,f′(1)=a-=,解得a=2或a=-(不合题意,舍去).将a=2代入f(1)=a++b=,解得b=-1.所以a=2,b=-1.【变式训练1】(1)1 解析:∵y=ax2,∴y′=2ax,∴y′|x=1=2a.又y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,∴2a=2,a=1.(2)2x-y-e+1=0 解析:因为f(x)=xlnx+1,所以f′(x)=lnx+x·=lnx+1.因为f′(x0)=2,所以lnx0+1=2,解得x0=e,y0=e+1.由点斜式得,f(x)在点(e,e+1)处的切线方程为y-(e+1)=2(x-e),即2x-y-e+1=0.文科用【例2】解:(1)由题意知,函数的定义域为(0,+∞),当a=-2时,f′(x)=2x-=,故f(x)的单调递减区间是(0,1).(2)由题意得g′(x)=2x+-,函数g(x)在[1,+∞)上是单调函数.①若g(x)为[1,+∞)上的单调增函数,则g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≥-2x2在[1,+∞)上恒成立,设φ(x)=-2x2,∵φ(x)在[1,+∞)上单调递减,∴φ(x)max=φ(1)=0,∴a≥0.②若g(x)为[1,+∞)上的单调减函数,则g′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,不可能.∴实数a的取值范围为a≥0.【变式训练2】解:f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=1+-=.设g(x)=x2-ax+2,二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2-8.-9-\n①当Δ<0即0<a<2时,对一切x>0都有f′(x)>0.此时f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数.②当Δ=0即a=2时,仅对x=有f′(x)=0,对其余的x>0都有f′(x)>0.此时f(x)也是(0,+∞)上的单调递增函数.③当Δ>0即a>2时,方程g(x)=0有两个不同的实根x1=,x2=,0<x1<x2.x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗此时f(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.【例3】解:(1)f′(x)=3x2-2ax-3.∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,∴f′(x)在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,即3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立,则必有≤1且f′(1)=-2a≥0.∴a≤0.(2)依题意,f′=0,即+a-3=0.∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x.令f′(x)=3x2-8x-3=0,得x1=-,x2=3.则当x变化时,f′(x)与f(x)变化情况如下表:x1(1,3)3(3,4)4f′(x)-0+f(x)-6↘-18↗-12∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)=-6.(3)函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点,即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根.∴x3-4x2-3x-bx=0,∴x=0是其中一个根,∴方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根.∴∴b>-7且b≠-3.∴存在满足条件的b值,b的取值范围是b>-7且b≠-3.【变式训练3】解:(1)f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).因为x=2是函数y=f(x)的极值点,所以f′(2)=0,即6(2a-2)=0,因此a=1.经验证,当a=1时,x=2是函数y=f(x)的极值点.(2)由题设,g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2(x+3)-3x(x+2).当g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)时,g(0)≥g(2),即0≥20a-24,得a≤.反之,当a≤时,对任意x∈[0,2],-9-\ng(x)≤x2(x+3)-3x(x+2)=(2x2+x-10)=(2x+5)(x-2)≤0,而g(0)=0,故g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0).综上,a的取值范围为.创新模拟·预测演练1.A 解析:f′(x)=3f′(1)+2x,令x=1,得f′(1)=3f′(1)+2,∴f′(1)=-1.故选A.2.B 解析:对y=-求导得y′==,当x=时,y′|x===.3.C 解析:设g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x)<0,∴当x<0时,g(x)=xf(x)为减函数.又g(x)为偶函数,∴当x>0时,g(x)为增函数.∵1<30.3<2,0<logπ3<1,log3=-2,∴g(-2)>g(30.3)>g(logπ3),即c>a>b,故选C.4.D 解析:∵f′(x)<对x∈R恒成立,∴令g(x)=f(x)-x,可知g′(x)=f′(x)-<0对x∈R恒成立,即g(x)在R上递减,且g(1)=f(1)-=.∴f(x2)<+可转化为f(x2)-<,即g(x2)<=g(1),∴x2>1,得x>1或x<-1.5.x3-6x2+9x 解析:设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则f′(x)=3ax2+2bx+c.由题意,有即解得故f(x)=x3-6x2+9x.6.-7 解析:f′(x)=-3x2+6x+9=0,得x=-1或x=3(舍去).∵f(-2)=2+a,f(-1)=-5+a,f(2)=a+22,∴a+22=20,a=-2.故最小值为f(-1)=-7.7.解:(1)f′(x)=1+(x>0),f′=1+2=3.故曲线y=f(x)在x=处切线的斜率为3.(2)f′(x)=a+=(x>0).-9-\n①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f′(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞);②当a<0时由f′(x)=0,得x=-,在区间上f′(x)>0,在区间上f′(x)<0.所以,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(3)由题可知,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),转化为[f(x)]max<[g(x)]max,而[g(x)]max=2.由(2)知,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为R,故不符合题意.(或者举出反例:存在f(e3)=ae3+3>2,故不符合题意.)当a<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,故f(x)的极大值即为最大值,f=-1+ln=-1-ln(-a),所以2>-1-ln(-a),解得a<-.所以,a的取值范围为.-9-
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