2023版高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第二讲函数的单调性与最值课件

第二讲　函数的单调性与最值 课标要求考情分析借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义1.本讲以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；常与函数的图象及其他性质交汇命题.2.题型多以选择、填空题形式出现，若与导数交汇，则为解答题的某一问 单调性单调递增单调递减定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数1.函数的单调性 单调性单调递增单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(续表) 单调性单调递增单调递减等价形式(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0导数如果在某区间D上f′(x)>0，那么f(x)在区间D上单调递增如果在某区间D上f′(x)<0，那么f(x)在区间D上单调递减(续表) 【名师点睛】(1)函数单调性定义中的x1，x2具有以下三个特征：一是任意性，即“任意两数x1，x2∈D”，“任意”两字绝不能丢；二是有大小，即x1<x2(或x1>x2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可.(2)函数f(x)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质. 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值2.函数的最值 【名师点睛】函数单调性的常用结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 题组一走出误区1.(多选题)下列说法错误的是()C.对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数D.函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)是增函数答案：BCD 题组二走进教材2.(教材改编题)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是()答案：A 2x－1在区间[2,3]上的最大值是3.(教材改编题)函数y＝________.答案：2 题组三真题展现4.(2019年北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()答案：A )5.(2021年全国甲)下列函数中是增函数的为(答案：D 考点一确定函数的单调性(区间)1.(多选题)函数f(x)＝|x2－3x＋2|在下列区间递增的有() 答案：BD图D2 答案：[2，＋∞)(－∞，－3] 考点二求函数的最值[例1](1)已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为()1A.21B.4C.2D.4解析：f(x)＝ax＋logax在[1,2]上是单调函数，所以f(1)＋f(2)＝loga2＋6，则a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，即(a－2)(a＋3)＝0，又a>0，所以a＝2.答案：C 则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________. 【题后反思】求函数最值的5种常用方法及思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 【变式训练】 考点三函数单调性的应用考向1利用单调性比较大小通性通法：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解. A.c>a>bC.a>c>bB.c>b>aD.b>a>c 解析：由于函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b>a>c.答案：D 考向2解函数不等式通性通法：求解含“f”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x)).此时要特别注意函数的定义域. 答案：A 考向3求参数的值或取值范围通性通法：利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. 答案：D (2)若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的)取值范围是(A.(－∞，0]B.[－2,2]C.{2}D.[2，＋∞) 答案：C 【考法全练】A.(－1,0)∪(0,1)B.(－1,0)∪(0,1]C.(0,1)D.(0,1] 解析：因为f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上单调递减，所以a≤1，又因为g(x)＝ax＋1在[1,2]上单调递减，所以a＞0，所以0＜a≤1.故选D.答案：D A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1,2)D.(－2,1) 解析：因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线.因为当x≤0时，函数f(x)＝x3单调递增，当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)也单调递增，所以函数f(x)是定义在R上的增函数.因此，不等式f(2－x2)＞f(x)等价于2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.故选D.答案：D A.f(a)＞f(b)＞f(c)B.f(b)＞f(a)＞f(c)C.f(c)＞f(a)＞f(b)D.f(c)＞f(b)＞f(a) 答案：C ⊙抽象函数中的单调性应用问题[例5]已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x＞0时，f(x)＞－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4. 解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.证明：在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以函数f(x)在R上是增函数.(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4得f(x2＋x＋1)＞f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}. 【题后反思】求解抽象函数问题的切入点与关键点切入点：(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能考虑用定义证明；(2)将不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”.关键点：(1)根据单调性定义，赋值构造出f(x2)－f(x1)，并与0比较大小；(2)根据已知条件，将所求的不等式转化为f(M)＜f(N)的形式，从而利用单调性求解. 【高分训练】 答案：C 2.已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时，f(x)＞0.(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 证明：(1)因为对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，令x1＝x，x2＝－1，则有f(－x)＝f(x)＋f(－1).又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1).再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，从而f(－1)＝0，于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数.