备考2024届高考数学一轮复习分层练习第二章函数第2讲函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值1.[2024河北省唐山市第二中学模拟]下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递减的是（　C　）A.f（x）＝－3xB.f（x）＝｜x｜C.f（x）＝15xD.f（x）＝2｜x－1｜解析　A：由反比例函数的性质知，f（x）＝－3x在（0，＋∞）上单调递增，不符合题意.B：f（x）＝｜x｜＝－x，x<0，x，x≥0在（0，＋∞）上单调递增，不符合题意.C：由指数函数的单调性知，f（x）＝15x＝（15）x在（0，＋∞）上单调递减，符合题意.D：f（x）＝2｜x－1｜＝2x－1，x≥1，21－x，x<1在（0，＋∞）上不单调，不符合题意.故选C.2.若函数f（x）＝2x2+31+x2，则f（x）的值域为（　C　）A.（－∞，3]B.（2，3）C.（2，3]D.[3，＋∞）解析　f（x）＝2x2+31+x2＝2＋1x2+1，∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0＜1x2+1≤1，∴2＜2＋1x2+1≤3，即f（x）∈（2，3].3.设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（　D　）A.y＝1f（x）在R上为减函数B.y＝｜f（x）｜在R上为增函数C.y＝－1f（x）在R上为增函数D.y＝－f（x）在R上为减函数解析　设f（x）＝x，则y＝1f（x）＝1x的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在定义域上无单调性，A错误；y＝｜f（x）｜＝｜x｜在R上无单调性，B错误；y＝－1f（x）＝－1x的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在定义域上无单调性，C错误；y＝－f（x）＝－x在R上为减函数，所以选项D正确. 4.[2024广东七校联考]若函数f（x）＝2｜x－a｜＋3在区间[1，＋∞）上不单调，则a的取值范围是（　B　）A.[1，＋∞）B.（1，＋∞）C.（－∞，1）D.（－∞，1]解析　函数f（x）＝2｜x－a｜＋3的大致图象如图所示，其形状如一个“V”，开口向上，顶点坐标为（a，3），对称轴方程为x＝a.由于函数f（x）＝2｜x－a｜＋3在区间[1，＋∞）上不单调，因此需满足对称轴x＝a在直线x＝1的右侧，则a＞1，故选B.5.[2024甘肃兰化一中模拟]已知函数f（x）＝ex－e－x，x>0，－x2，x≤0，若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有（　A　）A.f（a）＞f（b）＞f（c）B.f（b）＞f（a）＞f（c）C.f（a）＞f（c）＞f（b）D.f（c）＞f（a）＞f（b）解析　因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，所以f（x）＝ex－e－x在（0，＋∞）上单调递增，且f（x）＞0.又f（x）＝－x2在（－∞，0]上单调递增，且f（x）≤0，所以f（x）在R上单调递增.又c＝log20.9＜0，0＜b＝log32＜1，a＝50.01＞1，即a＞b＞c，所以f（a）＞f（b）＞f（c）.6.[2024浙江名校联考]已知函数y＝log2（ax2－x）在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围为（　D　）A.（0，12）B.（12，1）C.（12，＋∞）D.[1，＋∞）解析　由题意可得，函数y＝log2（ax2－x）是由函数y＝log2u与函数u＝ax2－x复合而成的，因为函数y＝log2u在定义域内单调递增，所以由复合函数单调性的判断依据“同增异减”可知，要使函数y＝log2（ax2－x）在区间（1，2）上单调递增，则函数u＝ax2－x在区间（1，2）上单调递增.若a≤0，则易知函数u＝ax2－x在（0，＋∞）上单调递减，所以不满足题意；若a＞0，此时要满足题意，需a×12－1≥0，12a≤1，（易错警示：对数型函数考查单调区间时要注意真数大于0这一隐藏条件的应用）解得a≥1.故选D.7.[2024浙江省嘉兴市阶段性测试]若函数f（x）＝（2－3a）x+1，x≤1，ax，x>1满足对任意两个不同的实数x1，x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＜0成立，则实数a的取值范围为（　B　） A.[23，＋∞）B.（23，34]C.（23，1）D.[34，1）解析　∵对任意两个不同的实数x1，x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＜0成立，∴f（x）是R上的减函数，∴2－3a<0，a>0，2－3a+1≥a，解得a∈（23，34]，∴实数a的取值范围是（23，34].故选B.8.[多选]已知函数f（x）＝x－ax（a≠0），下列说法正确的是（　BCD　）A.当a＞0时，f（x）在定义域上单调递增B.当a＝－4时，f（x）的单调递增区间为（－∞，－2），（2，＋∞）C.当a＝－4时，f（x）的值域为（－∞，－4]∪[4，＋∞）D.当a＞0时，f（x）的值域为R解析　当a＞0时，f（x）＝x－ax，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.∵f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增，∴A错误.若a＞0，当x→－∞时，f（x）→－∞，当x→0－时，f（x）→＋∞，∴f（x）的值域为R，故D正确.当a＝－4时，f（x）＝x＋4x，易知f（x）的图象如图，由图象可知，B，C正确.9.[2024河南郑州模拟]函数f（x）＝4x－2x＋1－1的值域是　[－2，＋∞）　.解析　由题知f（x）＝（2x）2－2·2x－1，令2x＝t（t＞0），得m（t）＝t2－2t－1＝（t－1）2－2（t＞0），由于m（t）＝（t－1）2－2（t＞0）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以m（t）≥m（1）＝－2，故f（x）的值域为[－2，＋∞）.10.已知函数f（x）＝2025x－2025－x＋1，则不等式f（2x－1）＋f（2x）＞2的解集为　（14，＋∞）　.解析　由题意知，f（－x）＋f（x）＝2，所以f（－2x）＋f（2x）＝2，所以f（2x－1）＋f（2x）＞2＝f（－2x）＋f（2x），所以f（2x－1）＞f（－2x），又由题意知函数f（x）在R上单调递增，所以2x－1＞－2x，所以x＞14，即原不等式的解集为（14，＋∞）. 11.[2024南昌市模拟]已知函数f（x）的值域为A，函数g（x）＝f（x）[f（x）]2+1的值域为B，则“A＝[－1，1]”是“B＝[－12，12]”的（　A　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析　令t＝f（x），t∈[－1，1]，则函数g（x）可化为y＝tt2+1，t∈[－1，1]，当t＝0时，y＝0；当t≠0时，y＝1t＋1t，记u＝t＋1t，画出u＝t＋1t在[－1，1]上的图象，如图中实线所示，易知u≤－2或u≥2，从而y＝1t＋1t∈[－12，0）∪（0，12].综上，B＝[－12，12]，充分性成立.反之，令f（x）＝2，则g（x）＝f（x）[f（x）]2+1＝25∈[－12，12]，但f（x）＝2∉[－1，1]，所以必要性不成立.故选A.12.已知函数f（x）＝logaa－x2+x（a＞0，a≠1）为奇函数，其定义域为A.函数g（x）＝1x+2＋46－x，当x∈A时，g（x）≥M恒成立，当且仅当x＝x0时取等号，则f（x0）＝（　A　）A.－1B.－log23C.log23D.log257解析　因为函数f（x）＝logaa－x2+x（a＞0，a≠1）为奇函数，所以f（－x）＋f（x）＝logaa＋x2－x＋logaa－x2+x＝logaa2－x24－x2＝0，得a2＝4.因为a＞0，a≠1，所以a＝2，（也可以利用f（0）＝0得出）故f（x）的定义域为A＝（－2，2）.由g（x）≥M在（－2，2）上恒成立，知M≤g（x）min.因为x∈A，所以x＋2＞0，6－x＞0，所以g（x）＝18（1x+2＋46－x）[（x＋2）＋（6－x）]＝18[5＋6－xx+2＋4（x+2）6－x]≥18（5＋4）＝98，当且仅当6－x＝2（x＋2），即x＝23时取等号.故x0＝23，所以f（23）＝log22－232+23＝－1.故选A.13.[多选/2023浙江名校联考]已知f（x）是定义在{x｜x≠0}上的奇函数，当x2＞x1＞0时，x1x2[f（x1）－f（x2）]＋x1－x2＞0恒成立，则（　BC　）A.y＝f（x）在（－∞，0）上单调递增 B.y＝f（x）－12x在（0，＋∞）上单调递减C.f（2）＋f（－3）＞16D.f（2）－f（－3）＞16解析　因为当x2＞x1＞0时，x1x2[f（x1）－f（x2）]＋x1－x2＞0，可以化简为f（x1）－f（x2）＞1x1－1x2＞0，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，因为函数f（x）是定义在{x｜x≠0}上的奇函数，所以函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，所以选项A错误；由f（x1）－f（x2）＞1x1－1x2＞0可得f（x1）－12x1－[f（x2）－12x2]＞12x1－12x2＞0，所以函数y＝f（x）－12x在（0，＋∞）上单调递减，所以选项B正确；取x1＝2，x2＝3，则f（2）－f（3）＞12－13＝16，因为函数f（x）是定义在{x｜x≠0}上的奇函数，所以f（－3）＝－f（3），所以f（2）＋f（－3）＞16，所以选项C正确；f（x）在（0，＋∞）上单调递减，但函数解析式不确定，所以若取f（2）＝112，f（3）＝－16，则f（2）－f（－3）＝f（2）＋f（3）＝112－16＝－112＜16，所以选项D错误.故选BC.14.[探索创新/多选/2024福建上杭一中模拟]高斯是德国著名数学家，有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[2.1]＝2.则下列说法正确的是（　ACD　）A.函数y＝x－[x]在区间[k，k＋1）（k∈Z）上单调递增B.∀x∈R，x≥[x]＋1C.若函数f（x）＝｜1+sin2x－1－sin2x｜，则y＝[f（x）]的值域为{0，1}D.函数f（x）＝[2x+11+2x－13]的值域为{－1，0，1}解析　对于A，x∈[k，k＋1），k∈Z，有[x]＝k，则函数y＝x－[x]＝x－k在[k，k＋1）上单调递增，A正确；对于B，当x＝2时，[x]＋1＝3，有2＜[2]＋1，B错误；对于C，f（x）＝｜1+sin2x－1－sin2x｜＝（1+sin2x－1－sin2x）2＝2－21－sin22x＝2－2｜cos2x｜，当0≤｜cos2x｜≤12时，1≤2－2｜cos2x｜≤2，1≤f（x）≤2，有[f（x）]＝1，当12＜ ｜cos2x｜≤1时，0≤2－2｜cos2x｜＜1，0≤f（x）＜1，有[f（x）]＝0，所以函数y＝[f（x）]的值域为{0，1}，C正确；对于D，函数y＝2x+11+2x－13＝2（2x+1)－22x+1－13＝53－22x+1，x∈R，又2x＋1＞1，因此0＜22x+1＜2，所以－13＜2x+11+2x－13＜53，所以[2x+11+2x－13]∈{－1，0，1}，D正确.故选ACD.