函数与导数 层级(三) 应用性考法

一、例析新情境题目，内化建模素养[典例1](价值引领——聚焦生产生活，分析解决问题)(2022·连云港模拟)现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃、65℃，给出三个茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟)的函数模型：①T＝at＋b(a<0)；②T＝at2＋bt(a<0)；③T＝20＋b·at(b<0,0<a<1)．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟)的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.5)()A．1分钟B．2分钟C．3分钟D．4分钟 [4“步”建模] [4“步”建模] 二、挖掘新教材素材，把握新命题动向高考源于教材——教材案例发掘好[典例1](人教A版必修一P115“阅读与思考”原创命题)生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减(称为衰减率)，C与死亡年数t之间的函数关系式为C＝(k为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于()参考数据：log20.85≈－0.23；参考时间轴：A．战国B．汉C．唐D．宋 [典例3](人教A版选择性必修二P68批注改编)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln(1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2021－ln2020≈________. 参考资料：log23≈1.585西周：公元前1046年—公元前771年晋代：公元265—公元420宋代：公元907—公元1279明代：公元1368—公元1644A．西周B．晋代C．宋代D．明代 6．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)＝x3－3x在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为()A．3B．2C．1D．0 7．牛顿迭代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f(x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，作曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；作曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，并称x2为r的2次近似值．一般的，作曲线y＝f(x)在点(xn，f(xn))(n∈N)处的切线ln＋1，记ln＋1与x轴交点的横坐标为xn＋1，并称xn＋1为r的n＋1次近似值．设f(x)＝x3＋x－1的零点为r，取x0＝0，则r的2次近似值为________．