数列 层级(三) 应用性考法

一、例析新情境题目，内化建模素养[典例1](价值引领——弘扬“传统文化”，倡树家国情怀)(多选)《周髀算经》是中国古老的天文和数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂一千五百二十岁．”已知有n个人，他们的年龄之和恰好为十部(即760岁)，其中年龄最小的25岁，年龄最大的m(m≤120)岁，且除了年龄最大的以外，其余n－1人的年龄依次相差2岁，则n的值可以是()A．15B．16C．17D．18 [4“步”建模] [典例2](价值引领——聚焦生产生活，分析解决问题)保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，做出的重要决策部署.2021年6月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米．(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米？(2)到哪一年底，当年新建的保障性租赁住房的面积占该年新建住房面积的比例首次大于85%(1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)? [4“步”建模] (2)设从2021年起每年新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知，{bn}是等比数列，其中首项b1＝40，公比q＝1.08，则bn＝40×1.08n－1，由题意知，an>0.85bn，则25＋(n－1)×5>0.85×40×1.08n－1，满足此不等式的最小正整数n＝6，故到2026年底，当年新建的保障性租赁住房的面积占该年新建住房面积的比例首次大于85%. 二、挖掘新教材素材，把握新命题动向高考源于教材——教材案例发掘好[典例1](人教A版选择性必修二P6谢尔宾斯基三角形为背景原创命题)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形，分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的．按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝i(i∈N*)时，该黑色三角形内一共去掉的小三角形的个数为________． [4“步”建模] 模型求解：由题图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，则当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝3＋1＝4；当n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；当n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；当n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；当n＝6时，a6＝3×121＋1＝364. [4“步”建模] [典例3](北师大版选择性必修二P17典例)在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板；从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：(1)第9圈共有________块石板．(2)前9圈一共有________块石板． [典例4](人教A版选择性必修二P31复利存款为背景原创命题)小明为了去现场观看2022年的冬奥会，他打算自2016年起，每年的1月1日都到某银行存入1000元的一年期定期存款，若该银行的年利率为2.5%，且年利率保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．那么到2022年1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则小明一共约可取回________元．(参考数据：1.0255≈1.131,1.0256≈1.160,1.0257≈1.189) [4“步”建模] 4．如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫．设An是第n次挖去的小三角形面积之和(如A1是第1次挖去的中间小三角形面积，A2是第2次挖去的三个小三角形面积之和)，则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为________． “课时验收评价”见“课时验收评价(六)”(单击进入电子文档)