数列 层级(一) 基础性考法

第二板块|数列[评价·诊断]1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝()A．14B．12C．6D．3 2．在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a2，ak1，ak2，ak3成公比为3的等比数列，则k3＝()A．14B．34C．41D．86解析：因为a1，a2，ak1，ak2，ak3成公比为3的等比数列，可得a2＝3a1，所以ak3＝a1·34＝81a1，又因为数列{an}为等差数列，所以公差d＝a2－a1＝2a1，所以ak3＝a1＋(k3－1)d＝a1＋2(k3－1)a1＝(2k3－1)a1，所以(2k3－1)a1＝81a1，解得k3＝41.故选C.答案：C 4．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝__________.解析：因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6，得d＝2.答案：2 5．(2022·唐山一模)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a1a4＝a5，则an＝________. [扫盲·补短]知识盲点熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b为常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列方法疑点运算时，把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)求解，注意整体计算思维难点使用等比数列前n项和公式时，不要忽略对公比q的讨论 2．高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”的美誉．高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，利用此方法推导出等差数列前n项和公式．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝3，Sn－4＝12(n≥5，n∈N*)，Sn＝17，则n的值为()A．8B．11C．13D．17 3．(多选)已知等比数列{an}满足a1>0，公比q>1，且a1a2·…·a2021<1，a1a2·…·a2022>1，则()A．a2022>1B．当n＝2021时，a1a2·…·an最小C．当n＝1011时，a1a2·…·an最小D．存在n<1011，使得anan＋1＝an＋2 4．(2022·南充三模)若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝7，S6＝63，则S9＝________.解析：因为等比数列中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，即(63－7)2＝7×(S9－63)，解得S9＝511.答案：511 [扫盲·补短]知识盲点(1)等差数列的常用性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．(2)等比数列的常用性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列方法疑点利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解 基础考法(三)利用an与Sn的关系求通项公式[评价·诊断]1．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝3an＋2n，(n∈N*)，则a2022＝()A．1－32022B．1－32021C．1－2·32021D．1－2·32022 所以an＝3an－1－2(n≥2)，an－1＝3(an－1－1)(n≥2)，又因为a1－1＝－3≠0，所以{an－1}是以－3为首项，3为公比的等比数列，所以an－1＝－3n，即an＝1－3n，即a2022＝1－32022，故选A. 2．已知数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝2n(n∈N*)，则an＝________. [扫盲·补短] “课时验收评价”见“课时验收评价(一)”(单击进入电子文档)