函数与导数 层级(二) 微专题(一)　函数的图象与性质

微专题(一)函数的图象与性质命题点(一)函数单调性与奇偶性的结合 [答案]C 因为f(x)为R上的奇函数，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，则g(x)为R上的偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递增，g(x＋1)＝(x＋1)f(x＋1)>4＝g(－2)，则－2<x＋1<0，解得－3<x<－1.综上，原不等式的解集为(－3，－1)∪(－1,1)．故选B.[答案]B 函数单调性与奇偶性结合适用题型及解题策略(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小． 命题点(二)奇偶性、周期性与对称性的综合最近两年高考试题中关于函数性质的综合问题是热点也是难点，特别是以抽象函数为载体考查奇偶性、周期性与对称性，函数的周期性有时通过函数的奇偶性得到，而奇偶性体现对称关系. [关键点拨]切入点赋值将式子变成熟悉的式子迁移点求函数f(x)的一个周期，利用周期求和 (1)函数周期性与奇偶性的综合多是求值或比较大小问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知函数解析式的定义域内求解．(2)解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性．总之，要充分利用已知条件进行适当转化． 1．(2022·长春质监)(多选)设函数f(x)的定义域为R，且f(2x－1)是偶函数，f(x＋1)是奇函数，则下列说法正确的有()A．f(x－8)＝f(x)B．f(1＋x)＝－f(1－x)C．f(－3)＝0D．f(2＋x)＝f(2－x) 在f(－1－x)＝f(－1＋x)中，将x用x－7替换，则f(x－8)＝f(6－x)，在f(1＋x)＝－f(1－x)中，将x用x－5替换，则f(6－x)＝－f(x－4)，所以f(x－8)＝－f(x－4)，再将x用x＋4替换，则f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以A正确；对于D，由f(2－x)＝－f(x)，f(2＋x)＝－f(－x)，无法推出其一定相等．故选A、B、C.答案：ABC 2．(2022·洛阳统考)已知函数y＝f(x＋1)是偶函数，且f(x＋1)＋f(－x)＝0，若f(1)＝－1.则f(2022)＝________.解析：因为f(x＋1)＋f(－x)＝0，f(1)＝－1.令x＝0，得f(0)＝－f(1)＝1.因为函数y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)．又f(x＋1)＋f(－x)＝0，所以f(－x＋1)＋f(－x)＝0.用－x代上式中的x，得到f(x＋1)＋f(x)＝0.用x－1代上式中的x，得到f(x)＋f(x－1)＝0.所以f(x＋1)＝f(x－1)，用x＋1代上式中的x，得到f(x)＝f(x＋2)．所以f(x)为周期函数，周期T＝2，所以f(2022)＝f(0＋2×1011)＝f(0)＝1.答案：1 命题点(三)函数图象变换的综合应用关于函数图象变换的题目也常考常新，尤其是两个函数的对称性问题，主要在客观题中体现，考查多种函数图象的翻折、平移等变换，考查学生的逻辑推理能力，题目的综合性较强，难度较大.[典例](2022·仙桃月考)函数y＝ln|x－1|的图象与函数y＝－2cosπx(－2≤x≤4)的图象的所有交点的横坐标之和等于()A．3B．6C．4D．2[关键点拨]切入点先作出y＝lnx的图象，然后作出其关于y轴对称的图象，于是得y＝ln|x|的图象，再将y＝ln|x|的图象向右平移1个单位长度得y＝ln|x－1|的图象迁移点在同一平面直角坐标系中作出y＝－2cosπx(－2≤x≤4)的图象，依据两函数图象都关于直线x＝1对称，可得所有交点的横坐标之和 [解析]由图象的对称变换法则可知，将y＝lnx的图象作关于y轴的对称变换，得到的函数图象和原来的函数图象一起构成y＝ln|x|的图象．由图象的平移变换法则可知，将y＝ln|x|的图象向右平移1个单位长度，得到y＝ln|x－1|的图象．函数y＝－2cosπx的最小正周期T＝2，在同一个平面直角坐标系中画出函数y＝ln|x－1|与函数y＝－2cosπx(－2≤x≤4)的图象，如图所示．两函数的图象都关于直线x＝1对称，且有3对交点，所以横坐标之和为2×3＝6.[答案]B 图象的对称变换法则函数f(x)与－f(x)，f(－x)，－f(－x)的图象分别关于x轴、y轴、坐标原点对称图象的平移变换法则将函数f(x)的图象向左(或向右)平移a个单位长度得到函数f(x＋a)(或f(x－a))的图象，将函数f(x)的图象向上(或向下)平移a个单位长度得到函数f(x)＋a(或f(x)－a)的图象