全国通用2022版高考数学大二轮总复习增分策略专题二函数与导数第1讲函数的图象与性质试题

第1讲　函数的图象与性质1．(2022·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a2．(2022·福建)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是(　　)3．(2022·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)等于(　　)A．3B．6C．9D．124．(2022·课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则16\nx的取值范围是_________________________．　1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.热点一　函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.例1　(1)设奇函数y＝f(x)(x∈R)，满足对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f的值等于________．(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是________．思维升华　(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)<f(x2)的形式．跟踪演练1　(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对于任意x∈R，恒有f(x－1)＝f(x＋1)成立，当x∈[－1,0]时，f(x)＝2x－1，则f(2017)＝________.(2)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f()的x的取值范围是(　　)16\nA．(，)B．[，)C．(，)D．[，)热点二　函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．例2　(1)(2022·河南省实验中学期中)函数y＝lncosx(－<x<)的图象是(　　)(2)(2022·北京)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1}D．{x|－1＜x≤2}思维升华　(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．跟踪演练2　(1)(2022·安徽)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)A．a>0，b>0，c<0B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<016\nD．a<0，b<0，c<0(2)已知函数y＝f(x)是奇函数，且函数f(x＋1)在[－1，＋∞)上是增函数，不等式f(a2＋2a)≤f(a＋2)，则实数a的取值范围是________．热点三　基本初等函数的图象和性质1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．例3　(1)(2022·山东)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a(2)若函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)思维升华　(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练3　(1)(2022·浙江)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)(2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x∈(－∞，0)时，不等式f(x)＋xf′(x)<0恒成立，若a＝20.2f(20.2)，b＝ln2f(ln2)，c＝－2f(－2)，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>b>cB．c>b>a16\nC．c>a>bD．a>c>b1．已知函数f(x)＝e|lnx|－，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为(　　)2．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋4)．当－2≤x<0时，f(x)＝log2(－x)；当0≤x<2时，f(x)＝2x－1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2016)的值为(　　)A．630B．1260C．2520D．37803．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值4．已知函数h(x)(x≠0)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝若h(t)>h(2)，则实数t的取值范围为________．提醒：完成作业　专题二　第1讲二轮专题强化练专题二16\n第1讲　函数的图象与性质A组　专题通关1．(2022·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)A．y＝B．y＝x＋C．y＝2x＋D．y＝x＋ex2．(2022·泸州诊断)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0”的是(　　)A．f(x)＝lnxB．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝D．f(x)＝x33．(2022·山西大学附中月考)函数y＝e|lnx|－|x－1|的图象大致是(　　)4．函数f(x)＝的值域为(　　)A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(0,2)∪[，＋∞)D．(－∞，2)∪[，＋∞)5．(2022·课标全国Ⅱ改编)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)等于(　　)A．1B．－1C．3D．－36．(2022·湖北)已知符号函数sgnx＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则(　　)A．sgn[g(x)]＝sgnxB．sgn[g(x)]＝－sgnxC．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]16\n7．已知函数f(x)＝则f(ln3)＝______.8．(2022·福建)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．9．已知函数f(x)＝是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是________．10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．B组　能力提高11．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)12．已知函数f(x)＝|logx|，若m<n，有f(m)＝f(n)，则m＋3n的取值范围是(　　)A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[4，＋∞)D．(4，＋∞)13．已知函数f(x)＝x|x－a|，若对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，则实数a的取值范围为________．16\n14．能够把圆O：x2＋y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数是圆O的“和谐函数”的是________．①f(x)＝ex＋e－x；②f(x)＝ln；③f(x)＝tan；④f(x)＝4x3＋x.16\n学生用书答案精析专题二　函数与导数第1讲　函数的图象与性质高考真题体验1．C　[由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b.]2．B　[由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝()x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.]3．C　[因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.]4．(－1,3)解析　∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.热点分类突破例1　(1)－　(2)[，2]解析　(1)根据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t＋1)＝－f(t)，进而得到f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，16\n得函数y＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f＝f＝－.所以f(3)＋f＝0＋＝－.(2)由题意知a>0，又loga＝log2a－1＝－log2a.∵f(x)是R上的偶函数，∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(loga)．∵f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在[0，＋∞)上递增．∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1，∴a∈.跟踪演练1　(1)　(2)A解析　(1)f(x－1)＝f(x＋1)，则f(x)的周期为2，f(2017)＝f(1)＝－f(－1)＝－(2－1－1)＝.(2)偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，有f(2x－1)<f()⇔f(|2x－1|)<f()，进而转化为不等式|2x－1|<，解这个不等式即得x的取值范围是(，)．例2　(1)A　(2)C解析　(1)因为令f(x)＝lncosx，f(－x)＝lncos(－x)＝lncosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，当x＝60°时，y＝lncos60°＝ln<0，故选A.(2)令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图.由　得∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．16\n跟踪演练2　(1)C　(2)[－2,1]解析　(1)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，∴c<0.令x＝0，得f(0)＝，又由图象知f(0)>0，∴b>0.令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－>0，∴a<0.故选C.(2)因为函数f(x＋1)在[－1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数．因为函数y＝f(x)是奇函数，奇函数的图象关于原点对称，所以函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，即函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，如图所示．因为f(a2＋2a)≤f(a＋2)，所以a2＋2a≤a＋2，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－2,1]．例3　(1)C　(2)C解析　(1)根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y＝1.5x在R上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b＜a＜c.(2)方法一　由题意作出y＝f(x)的图象如图．显然当a>1或－1<a<0时，满足f(a)>f(－a)．故选C.方法二　对a分类讨论：当a>0时，∵log2a>loga，∴a>1.16\n当a<0时，∵log(－a)>log2(－a)，∴0<－a<1，∴－1<a<0，故选C.跟踪演练3　(1)D　(2)C解析　(1)方法一　分a>1,0<a<1两种情形讨论．当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当0<a<1时，y＝xa为增函数，y＝logax为减函数，排除A.由于y＝xa递增较慢，所以选D.方法二　幂函数f(x)＝xa的图象不过(0,1)点，排除A；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错，D正确；C项中由对数函数f(x)＝logax的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．(2)构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，所以函数y＝g(x)在(－∞，0)上单调递减．因为函数y＝f(x)的图象关于坐标原点对称，所以y＝f(x)是奇函数，由此可知函数y＝g(x)是偶函数．根据偶函数的性质，可知函数y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又a＝g(20.2)，b＝g(ln2)，c＝g(－2)＝g(2)，由于ln2<20.2<2，所以c>a>b.高考押题精练1．A　[据已知关系式可得f(x)＝作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y＝f(x＋1)的图象．]2．B　[因为f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4.当－2≤x<0时，f(x)＝log2(－x)；当0≤x<2时，f(x)＝2x－1.所以f(1)＝20＝1，f(2)＝f(－2)＝log22＝1，f(3)＝f(－1)＝log21＝0，f(4)＝f(0)＝2－1＝.所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋1＋0＋＝，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝504×＝1260，故选B.]3．C　[由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，16\n而h(x)＝故h(x)有最小值－1，无最大值．]4．(－2,0)∪(0,2)解析　因为x>0时，h(x)＝易知函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为函数h(x)(x≠0)为偶函数，且h(t)>h(2)，所以h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2，所以即解得－2<t<0或0<t<2.综上，所求实数t的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．16\n二轮专题强化练答案精析专题二　函数与导数第1讲　函数的图象与性质1．D　[令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而A、B、C依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D.]2．C　[据题意，f(x)在(0，＋∞)为减函数，只有C正确．]3．D　[当0<x<1时，y＝e|lnx|－|x－1|＝e－lnx－(1－x)＝＋x－1；当x≥1时，y＝e|lnx|－|x－1|＝x－(x－1)＝1，因此y＝由于＋x－1≥2－1≥1，对比图象，故答案为D.]4．C　[当x≥2时，f(x)＝x＋，所以f′(x)＝1－≥1－＝>0，所以函数f(x)＝x＋在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(2)＝；当x<1时，f(x)＝2x，所以0<2x<2，所以函数f(x)的值域为(0,2)∪[，＋∞)，故选C.]5．C　[因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.]6．B　[因为a>1，所以当x>0时，x<ax，因为f(x)是R上的增函数，所以f(x)<f(ax)，所以g(x)＝f(x)－f(ax)<0，sgn[g(x)]＝－1＝－sgnx；同理可得当x<0时，g(x)＝f(x)－f(ax)>0，sgn[g(x)]＝1＝－sgnx；当x＝0时，g(x)＝0，sgn[g(x)]＝0＝－sgnx也成立．故B正确．]7．e解析　f(ln3)＝f(ln3＋1)＝eln3＋1＝e.8．116\n解析　∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴x＝1，∴a＝1，f(x)＝2|x－1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞)，∵[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1.∴m的最小值为1.9．(，]解析　∵函数f(x)＝是定义域上的递减函数，∴即解得<a≤.10．解　(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴即∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝(2)由(1)知，g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，∴≤－2或≥2，解得k≤－2或k≥6.∴k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．11．D　[因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，即函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，且f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，则f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．]12．D　[∵f(x)＝|logx|，若m<n，16\n有f(m)＝f(n)，∴logm＝－logn，∴mn＝1，∴0<m<1，n>1，∴m＋3n＝m＋在m∈(0,1)上单调递减，当m＝1时，m＋3n＝4，∴m＋3n>4.]13．{a|a≤2}解析　f(x)＝由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0知，函数y＝f(x)在[2，＋∞)单调递增，当a≤0时，满足题意，当a>0时，只需a≤2，即0<a≤2，综上所述，实数a的取值范围为a≤2.14．②③④解析　由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f(0)＝e0＋e－0＝2，所以f(x)＝ex＋e－x的图象不过原点，故f(x)＝ex＋e－x不是“和谐函数”；②中，f(0)＝ln＝ln1＝0，且f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)＝ln为“和谐函数”；③中，f(0)＝tan0＝0，且f(－x)＝tan＝－tan＝－f(x)，f(x)为奇函数，故f(x)＝tan为“和谐函数”；④中，f(0)＝0，且f(x)为奇函数，故f(x)＝4x3＋x为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．16