全国通用2022版高考数学大二轮总复习增分策略专题三三角函数解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质试题

第1讲　三角函数的图象与性质1．(2022·山东)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象(　　)A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位2．(2022·课标全国Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z3．(2022·安徽)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)A．f(2)<f(－2)<f(0)B．f(0)<f(2)<f(－2)C．f(－2)<f(0)<f(2)D．f(2)<f(0)<f(－2)4．(2022·湖北)函数f(x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为________．1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.21\n热点一　三角函数的概念、诱导公式及同角关系式(1)三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.(3)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1　(1)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则的值为________．思维升华　(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1　(1)已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　　)A.B.C.D.(2)如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为，则＝________.热点二　三角函数的图象及应用21\n函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y＝sinxy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．例2　(1)(2022·河南省实验中学期中)已知函数y＝3sinωx(ω>0)的周期是π，将函数y＝3cos(ωx－)(ω>0)的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)等于(　　)A．3sin(2x－)B．3sin(2x－)C．－3sin(2x＋)D．－3sin(2x＋)(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则f()的值为________．思维升华　(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．跟踪演练2　(1)若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小正值为(　　)A.B.C.D.21\n(2)(2022·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)A．5B．6C．8D．10热点三　三角函数的性质(1)三角函数的单调区间：y＝sinx的单调递增区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)；y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是(kπ－，kπ＋)(k∈Z)．(2)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．例3　(2022·皖南八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0,0<|φ|<)为奇函数，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为.(1)求f()的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间．　　21\n　　　思维升华　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3　设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．　　　　1．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是(　　)A．[，]B．[，]21\nC．(0，]D．(0,2]2．如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为(　　)A.B.C．8D．163．设函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin2x－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间[－，]上的值域．　　　　提醒：完成作业　专题三　第1讲21\n二轮专题强化练专题三第1讲　三角函数的图象与性质A组　专题通关1．若0≤sinα≤，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是(　　)A.∪B.∪(k∈Z)C.∪D.∪(k∈Z)2．为了得到函数y＝cos(2x＋)的图象，可将函数y＝sin2x的图象(　　)A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位3．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx－2，则函数f(x)在[－1,1]上的单调递增区间为(　　)A．[－，]B．[－1，]C．[，1]D．[－，]4．(2022·湖南)将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ等于(　　)A.B.C.D.21\n5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示．若方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解x1，x2，则x1＋x2的值为(　　)A.B.C.D.或6．函数y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为________．7．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．8．给出命题：①函数y＝2sin(－x)－cos(＋x)(x∈R)的最小值等于－1；②函数y＝sinπxcosπx是最小正周期为2的奇函数；③函数y＝sin(x＋)在区间[0，]上是单调递增的；④若sin2α<0，cosα－sinα<0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________．9．(2022·重庆)已知函数f(x)＝sinsinx－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性．10．已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；21\n(2)设g(x)＝f且lgg(x)>0，求g(x)的单调区间．B组　能力提高11．将函数h(x)＝2sin(2x＋)的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的图象与函数h(x)的图象(　　)A．关于直线x＝0对称B．关于直线x＝1对称C．关于(1,0)点对称D．关于(0,1)点对称12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(0<φ<π)的图象如图所示，若f(x0)＝3，x0∈(，)，则sinx0的值为(　　)21\nA.B.C.D.13．函数f(x)＝sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则f()＝________.14．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0)，g(x)＝tanx，它们的最小正周期之积为2π2，f(x)的最大值为2g()．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)＝f2(x)＋2cos2x.当x∈[a，)时，h(x)有最小值为3，求a的值．21\n学生用书答案精析专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲　三角函数的图象与性质高考真题体验1．B　[∵y＝sin＝sin，∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位．]2．D　[由图象知，周期T＝2＝2，∴＝2，∴ω＝π.由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，∴f(x)＝cos.由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－<x<2k＋，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.]3．A　[由于f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)，又当x＝时，2x＋φ＝＋φ＝2kπ－(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)，又φ>0，∴φmin＝，故f(x)＝Asin(2x＋)．于是f(0)＝A，f(2)＝Asin(4＋)，f(－2)＝Asin＝Asin，又∵－<－4<<4－<，其中f(2)＝Asin＝Asin＝Asin，f(－2)＝Asin＝Asin＝Asin.又f(x)在单调递增，∴f(2)<f(－2)<f(0)，故选A.]4．221\n解析　f(x)＝4cos2sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx·－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y＝sin2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示．观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点．热点分类突破例1　(1)A　(2)－解析　(1)设Q点的坐标为(x，y)，则x＝cos＝－，y＝sin＝.∴Q点的坐标为(－，)．(2)原式＝＝tanα.根据三角函数的定义，得tanα＝＝－，∴原式＝－.跟踪演练1　(1)D　(2)解析　(1)tanθ＝＝＝－1，又sin>0，cos<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝.(2)由三角函数定义，得cosα＝－，sinα＝，21\n∴原式＝＝＝2cos2α＝2×2＝.例2　(1)B　(2)1解析　(1)由题意可知T＝＝π，所以ω＝2，所以y＝3cos(ωx－)(ω>0)的解析式为y＝3cos(2x－)＝3sin2x，再把图象沿x轴向右平移个单位后得到y＝3sin2(x－)＝3sin(2x－)．(2)根据图象可知，A＝2，＝－，所以周期T＝π，由ω＝＝2.又函数过点(，2)，所以有sin(2×＋φ)＝1，而0<φ<π，所以φ＝，则f(x)＝2sin(2x＋)，因此f()＝2sin(＋)＝1.跟踪演练2　(1)D　(2)C解析　(2)由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.∴ymax＝k＋3＝8.例3　解　(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2[sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)]＝2sin(ωx＋φ＋)．因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝2sin(φ＋)＝0，又0<|φ|<，可得φ＝－，21\n所以f(x)＝2sinωx，由题意得＝2·，所以ω＝2.故f(x)＝2sin2x.因此f()＝2sin＝.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f(x－)的图象，所以g(x)＝f(x－)＝2sin[2(x－)]＝2sin(2x－)．当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递增，因此g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．跟踪演练3　解　(1)f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝sin(2x＋)＋1＋a，则f(x)的最小正周期T＝＝π，且当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)时，f(x)单调递增．所以[kπ－，kπ＋](k∈Z)为f(x)的单调递增区间．(2)当x∈[0，]时⇒≤2x＋≤，当2x＋＝，即x＝时sin(2x＋)＝1.所以f(x)max＝＋1＋a＝2⇒a＝1－.由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，故y＝f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.高考押题精练1．A　[f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin(ωx＋)，令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋(k∈Z)，21\n解得＋≤x≤＋(k∈Z)．由题意，函数f(x)在(，π)上单调递减，故(，π)为函数单调递减区间的一个子区间，故有解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)．由4k＋<2k＋，解得k<.由ω>0，可知k≥0，因为k∈Z，所以k＝0，故ω的取值范围为[，]．]2．B　[由题意设Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)．则M(，－)，由两点间距离公式得，PM＝＝2，解得a＝8，由此得，＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝，由P(2,0)得φ＝－，代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)得，f(x)＝Asin(x－)，从而f(0)＝Asin(－)＝－8，得A＝.]3．解　(1)f(x)＝sin2x＋cos2x－cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)．所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin[2(x－)＋]＝－cos2x的图象，即g(x)＝－cos2x.21\n当x∈[－，]时，2x∈[－，]，可得cos2x∈[－，1]，所以－cos2x∈[－，]，即函数g(x)在区间[－，]上的值域是[－，]．21\n二轮专题强化练答案精析专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲　三角函数的图象与性质1．A　[根据题意并结合正弦线可知，α满足∪(k∈Z)，∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是∪.故选A.]2．C　[y＝cos(2x＋)＝sin[＋(2x＋)]＝sin(2x＋)＝sin[2(x＋)]，因此，把y＝sin2x的图象向左平移个单位得到y＝cos(2x＋)的图象．]3．A　[f(x)＝cos2x＋sinxcosx－2＝＋sinπx－2＝sinπx＋cosπx－＝sin(πx＋)－，令－≤πx＋≤，解得x∈[－，]．]4．D　[因为g(x)＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)，所以|f(x1)－g(x2)|＝|sin2x1－sin(2x2－2φ)|＝2.因为－1≤sin2x1≤1，－1≤sin(2x2－2φ)≤1，所以sin2x1和sin(2x2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin2x1＝1，sin(2x2－2φ)＝－1，则2x1＝2k1π＋，k1∈Z,2x2－2φ＝2k2π－，k2∈Z,2x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z，得|x1－x2|＝.因为0<φ<，21\n所以0<－φ<，故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝－φ＝，则φ＝，故选D.]5．D　[要使方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解，只需函数y＝f(x)与函数y＝m的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x＝或关于x＝对称，因此x1＋x2＝2×＝或x1＋x2＝2×＝.]6．2＋解析　因为0≤x≤9，所以－≤－≤，因此当－＝时，函数y＝2sin(－)取最大值，即ymax＝2×1＝2，当－＝－时，函数y＝2sin(－)取最小值，即ymin＝2sin(－)＝－，因此y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为2＋.7．[－，3]解析　由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x－)，那么当x∈[0，]时，－≤2x－≤，所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈[－，3]．8．①④解析　对于①，函数y＝2sin(－x)－cos(＋x)＝sin(－x)，所以其最小值为－1；对于②，函数y＝sinπxcosπx＝sin2πx是奇函数，但其最小正周期为1；21\n对于③，函数y＝sin(x＋)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减；对于④，由⇒cosα<0，sinα>0，所以α一定为第二象限角．9．解　(1)f(x)＝sinsinx－cos2x＝cosxsinx－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin－，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．10．解　(1)∵x∈，∴2x＋∈.∴sin∈，∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1，又由lgg(x)>0，得g(x)>1，∴4sin－1>1，∴sin>，∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，21\ng(x)单调递增，即kπ<x≤kπ＋，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋<x<kπ＋，k∈Z.∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.11．D　[依题意，将h(x)＝2sin(2x＋)的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位后得y＝2sin[2(x－)＋]＋2，即f(x)＝2sin(2x－)＋2的图象，又∵h(－x)＋f(x)＝2，∴函数f(x)的图象与函数h(x)的图象关于点(0,1)对称．]12．B　[由图象知A＝5，＝－＝π，∴T＝2π，∴ω＝＝1，且1×＋φ＝，∴φ＝，∴f(x)＝5sin(x＋)．由f(x0)＝3，得sin(x0＋)＝，即sinx0＋cosx0＝，①又x0∈(，)，∴x0＋∈(，π)，∴cos(x0＋)＝－，即cosx0－sinx0＝－，②由①②解得sinx0＝.]13.解析　由已知得△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，所以|AB|＝f(x)max－f(x)min＝1－(－1)＝2，21\n即|AB|＝4，而T＝|AB|＝＝4，解得ω＝.所以f(x)＝sin，所以f()＝sin＝.14．解　(1)由题意，得·π＝2π2，所以ω＝1.又A＝2g()＝2tanπ＝2tan＝2，所以f(x)＝2sin(x＋)．令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．故f(x)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．(2)因为h(x)＝f2(x)＋2cos2x＝×4×sin2(x＋)＋2cos2x＝3(sinx＋cosx)2＋2cos2x＝3＋3sin2x＋(cos2x＋1)＝3＋＋2sin(2x＋)，又h(x)有最小值为3，所以有3＋＋2sin(2x＋)＝3，即sin(2x＋)＝－.因为x∈[a，)，所以2x＋∈[2a＋，)，所以2a＋＝－，即a＝－.21