全国高考数学第二轮复习 专题三 三角函数及解三角形第1讲 三角函数的图象与性质 理

专题三　三角函数及解三角形第1讲　三角函数的图象与性质真题试做1．(2012·湖南高考，理6)函数f(x)＝sinx－cos的值域为(　　)．A．[－2,2]　　　　　　B．[－，]C．[－1,1]　　　　　　D．2．(2012·大纲全国高考，理14)当函数y＝sinx－cosx(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.3．(2012·山东高考，理17)已知向量m＝(sinx,1)，n＝(A＞0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．4．(2012·重庆高考，理18)设f(x)＝4cossinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.(1)求函数y＝f(x)的值域；(2)若f(x)在区间上为增函数，求ω的最大值．考向分析三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容，主要从以下三个方面进行考查：1．三角函数的概念与诱导公式，以选择题、填空题的形式为主．2．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题，以选择题、填空题的形式为主，有时也会出现大题．3．三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再研究其性质；或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质，既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题．热点例析热点一　三角函数的概念【例１】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝(　　)．A．－　　　　B．－　　　　C．　　　　D．规律方法　当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线固定时，通常先根据任意角三角函数的定义求这个角的三角函数．特别提醒：(1)当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，根据定义求三角函数值时，要把这条直线看做两条射线，分别求解．(2)在利用诱导公式和同角三角函数关系式时，一定要特别注意符号，要理解“奇变偶不变，符号看象限”的意思；同角三角函数的平方关系中，开方后的符号要根据角所在的象限确定．变式训练1　(2012·福建莆田高三质检，11)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x-9-\n轴的正半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标是－，若α∈(0，π)，则tanα＝__________.热点二　三角函数图象及解析式【例２】如图，根据函数的图象，求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的解析式．规律方法　由部分图象确定解析式问题解决的关键在于确定参数A，ω，φ，其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|，或代入点的坐标解A的方程；(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点确定周期T，或者相邻的两个最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T；(3)从寻找五点法中的第一零点(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，或者在五点中找两个特殊点列方程组解出φ.(4)代入点的坐标，通过解三角方程，再结合图象确定ω，φ.特别提醒：求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，最难的是求φ，第一零点常常用来求φ，只要找准第一零点的横坐标，列方程就能求出φ.若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，可用诱导公式变换，使其符合要求．变式训练2　(2012·福建泉州质检，8)右图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一部分，则其函数解析式是(　　)．A．y＝sin　　　　　B．y＝sinC．y＝sin　　　　　D．y＝sin热点三　三角函数图象变换【例３】(2012·四川绵阳高三三诊，10)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可由函数y＝cosx的图象(纵坐标不变)(　　)．A．先把各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位B．先把各点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位-9-\nC．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位规律方法　图象变换理论：(1)平移变换①沿x轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平移，按“上加下减”法则；(2)伸缩变换①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的(纵坐标y不变)；②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)为原来的A倍(横坐标x不变)．特别提醒：对于图象的平移和伸缩变换都要注意对应解析式是在x或在y的基础上改变了多少，尤其当x与y前的系数不为1时一定要将系数提出来再判断．变式训练3　要得到y＝cos的图象，只需将y＝sin2x的图象(　　)．A．向左平移　　　　B．向右平移C．向左平移　　　　D．向右平移热点四　三角函数图象与性质综合应用【例４】(2012·上海浦东新区模拟，19)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求方程g(x)＝1的解．规律方法　求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值、单调区间等问题时，通常要运用各种三角函数公式，通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A＞0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质．有关常用结论与技巧：(1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性，求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的单调区间时一定要注意ω的取值情况，若ω＜0，则最好用诱导公式转化为－ω＞0后再去求解，否则极易出错．(2)①函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；②函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；③函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．(3)对y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A＞0，ω≠0)结合函数图象可观察出如下几点：①函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点；②相邻两个对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期；③图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期．变式训练4　(2012·重庆高三模拟，17)已知函数f(x)＝4sinωxsin2＋cos-9-\n2ωx，其中ω＞0.(1)当ω＝1时，求函数f(x)的最小正周期；(2)若函数f(x)在区间上是增函数，求ω的取值范围．思想渗透整体代换思想——三角函数性质问题(1)求函数的对称轴、对称中心；(2)求函数的单调区间．求解时主要方法为：(1)关于函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的对称性，一般可利用正弦曲线、余弦曲线的对称性，把ωx＋φ看成x，整体代换求得．(2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A＞0，ω≠0)的单调区间的步骤如下：①若ω＞0，把ωx＋φ看成一个整体，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)解得x的集合，所得区间即为单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)解得x的集合，所得区间即为单调递减区间．②若ω＜0，可先用诱导公式变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间为原函数的单调递增区间．【典型例题】已知函数f(x)＝cos2，g(x)＝1＋sin2x.(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．解：(1)由题设知f(x)＝.因为x＝x0是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，所以2x0＋＝kπ(k∈Z)，即2x0＝kπ－(k∈Z)．所以g(x0)＝1＋sin2x0＝1＋sin.当k为偶数时，g(x0)＝1＋sin＝1－＝；当k为奇数时，g(x0)＝1＋sin＝1＋＝.(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝＋1＋sin2x＝＋＝＋＝sin＋.当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数h(x)＝sin＋是增函数．故函数h(x)的单调递增区间是(k∈Z)．-9-\n1．(2012·山东青岛一模，8)将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是(　　)．A．x＝　　　　　B．x＝C．x＝π　　　　　D．x＝2．(2012·湖北孝感二模，8)若函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且，则A·ω＝(　　)．A．π　　　　B．π　　　　C．　　　　D．π3．(2012·天津宝坻质检，4)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(x)－f(－x)＝0，则(　　)．A．f(x)在上是增函数B．f(x)在上是减函数C．f(x)在上是增函数D．f(x)在上是减函数4．(2012·湖北武汉4月调研，7)已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分图象如图所示，则f(0)＝(　　)．A．－　　　　B．－1　　　　C．－　　　　D．－5．已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(－4m,3m)(m＜0)是角α-9-\n终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.6．(原创题)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|，则f(x)的值域是__________．7．已知函数y＝a－bcos3x(b＞0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4asin3bx的最大值和最小值．8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．B　2．3．解：(1)f(x)＝m·n＝Asinxcosx＋cos2x＝A＝Asin.因为A＞0，由题意知A＝6.(2)由(1)，得f(x)＝6sin.将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝6sin＝6sin的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．因此g(x)＝6sin.因为x∈，所以4x＋∈.-9-\n故g(x)在上的值域为[－3,6]．4．解：(1)f(x)＝4sinωx＋cos2ωx＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx＝sin2ωx＋1.因为－1≤sin2ωx≤1，所以函数y＝f(x)的值域为[1－，1＋]．(2)因为y＝sinx在每个闭区间(k∈Z)上为增函数，故f(x)＝sin2ωx＋1(ω＞0)在每个闭区间(k∈Z)上为增函数．依题意知⊆对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，于是解得ω≤，故ω的最大值为.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】B　解析：(方法1)在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2，∴cos2θ＝＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.(方法2)tanθ＝＝2，cos2θ＝＝＝－.【变式训练1】－【例2】解：由图象可知A＝2，T＝2×[6－(－2)]＝16，即＝16，∴ω＝，∴y＝2sin.又∵点(2，－2)在曲线上，代入得2sin＝－2，∴sin＝－1.∴＋φ＝2kπ－.∴φ＝2kπ－，k∈Z.又∵|φ|＜π，∴k＝0时，φ＝－.∴函数解析式为y＝2sin.【变式训练2】A-9-\n【例3】B　解析：由题图象可知A＝1，＝－＝，∴T＝π.∴ω＝＝2.又可看做“五点法”作图的第二个点，∴＋φ＝.∴φ＝.∴y＝sin.由函数y＝cosx的图象(纵坐标不变)上各点的横坐标缩短到原来的，可得y＝cos2x的图象，再向右平移个单位可得y＝cos＝cos＝cos＝sin＝sin的图象．【变式训练3】A【例4】解：(1)f(x)＝sin＋1，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．(2)由已知，g(x)＝sin＋1，由g(x)＝1，得sin＝0，故x＝＋(k∈Z)．【变式训练4】解：(1)由题可知f(x)＝4sinωx·＋cos2ωx＝2sinωx＋1.当ω＝1时，f(x)＝2sinx＋1，则函数f(x)的最小正周期为2π.(2)由(1)，知f(x)＝2sinωx＋1，欲使f(x)在上单调递增，结合y＝2sinωx＋1的图象，则有⊆，于是ω∈.创新模拟·预测演练1．D　2．A　3．B　4．B　5．－6．7．解：y＝a－bcos3x(b＞0)，当cos3x＝－1时，ymax＝a＋b＝，①当cos3x＝1时，ymin＝a－b＝－，②由①②得-9-\n∴y＝－4×·sin3x＝－2sin3x.∴当sin3x＝－1时，ymax＝2，当sin3x＝1时，ymin＝－2.8．解：(1)由图象知A＝2，＝2⇒T＝8＝，∴ω＝，得f(x)＝2sin.由×1＋φ＝⇒φ＝.∴f(x)＝2sin.(2)y＝2sin＋2sin＝2sin＋2cos＝2sin＝2cosx.∵x∈，∴x∈.∴当x＝－，即x＝－时，y的最大值为；当x＝－π，即x＝－4时，y的最小值为－2.-9-