湖南省高考数学第二轮复习 三角函数及解三角形第1讲 三角函数的图象与性质 文

专题三　三角函数及解三角形第1讲　三角函数的图象与性质真题试做1．(2012·大纲全国高考，文3)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(　　)．A.B.C.D.2．(2012·福建高考，文8)函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(　　)．A．x＝B．x＝C．x＝－D．x＝－3．(2012·天津高考，文7)将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　　)．A.B．1C.D．24．(2012·湖南高考，文18)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．考向分析三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容，主要从以下三个方面进行考查：1．三角函数的概念与诱导公式，主要以选择、填空题的形式为主．2．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题，主要以选择、填空题的形式考查，有时也会出现大题．3．三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质，或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质，既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题．热点例析热点一　三角函数的概念【例1】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝(　　)．A．－B．－C.D.规律方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线固定时，通常先根据任意角三角函数的定义求这个角的三角函数．-11-\n特别提醒：(1)当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，根据定义求三角函数值时，要把这条直线看做两条射线，分别求解．(2)在利用诱导公式和同角三角函数关系式时，一定要特别注意符号．一定要理解“奇变偶不变，符号看象限”的意思；同角三角函数的平方关系中，开方后的符号要根据角所在的象限确定．变式训练1(2012·福建莆田高三质检，11)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标是－，若α∈(0，π)，则tanα＝__________.热点二　三角函数图象及解析式【例2】如图，根据函数的图象，求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的解析式．规律方法由部分图象确定函数解析式问题解决的关键在于确定参数A，ω，φ，其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|，或代入点的坐标解关于A的方程；(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点确定周期T，或者相邻的两个最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T；(3)从寻找五点法中的第一零点(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，或者在五点中找两个特殊点列方程组解出φ；(4)代入点的坐标，通过解三角方程，再结合图象确定ω，φ.特别提醒：求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，最难的是求φ，第一零点常常用来求φ，只要找准第一零点的横坐标，列方程就能求出φ.若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，可用诱导公式变换，使其符合要求．变式训练2(2012·福建泉州质检，8)下图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一部分，则其函数解析式是(　　)．A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin热点三　三角函数图象变换【例3】(2012·四川绵阳高三三诊，10)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可由函数y＝cosx的图象(纵坐标不变)(　　)．-11-\nA．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位B．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位规律方法图象变换理论：(1)平移变换①沿x轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平移，按“上加下减”法则；(2)伸缩变换①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的(纵坐标y不变)；②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)为原来的A倍(横坐标x不变)．特别提醒：对于图象的平移和伸缩变换都要注意对应解析式是在x或在y的基础上改变了多少，尤其当x与y前的系数不为1时一定要将系数提出来再判断．变式训练3要得到y＝cos的图象，只需将y＝sin2x的图象(　　)．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度热点四　三角函数图象与性质综合应用【例4】(2012·上海浦东新区模拟，19)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求方程g(x)＝1的解．规律方法求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值、单调区间等问题时，通常要运用各种三角函数公式，通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A＞0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质．有关常用结论与技巧：(1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性，求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的单调区间时一定要注意ω的取值情况，若ω＜0，则最好用诱导公式转化为－ω＞0后再去求解，否则极易出错．(2)①函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数φ＝kπ(k∈Z)，是偶函数φ＝kπ＋(k∈Z)；②函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数φ＝kπ＋(k∈Z)，是偶函数φ＝kπ(k∈Z)；-11-\n③函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数φ＝kπ(k∈Z)．(3)对y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A＞0，ω≠0)结合函数图象可观察出如下几点：①函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点；②相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期；③图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期．变式训练4(2012·重庆高三模拟，17)已知函数f(x)＝4sinωxsin2＋cos2ωx，其中ω＞0.(1)当ω＝1时，求函数f(x)的最小正周期；(2)若函数f(x)在区间上是增函数，求ω的取值范围．思想渗透整体代换思想——三角函数性质问题(1)求函数的对称轴、对称中心；(2)求函数的单调区间．求解时主要方法为：(1)关于函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的对称性，一般可利用正弦、余弦曲线的对称性，把ωx＋φ看成x，整体代换求得．(2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A＞0，ω≠0)的单调区间的步骤如下：①若ω＞0，把ωx＋φ看成一个整体，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)解得x的集合，所得区间即为增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)解得x的集合，所得区间即为减区间．②若ω＜0，可先用诱导公式变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间．【典型例题】已知函数f(x)＝cos2，g(x)＝1＋sin2x.(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．解：(1)由题设知f(x)＝.因为x＝x0是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，所以2x0＋＝kπ(k∈Z)，即2x0＝kπ－(k∈Z)．所以g(x0)＝1＋sin2x0＝1＋sin.当k为偶数时，g(x0)＝1＋sin＝1－＝；当k为奇数时，g(x0)＝1＋sin＝1＋＝.(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝＋1＋sin2x＝＋＝＋-11-\n＝sin＋.当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数h(x)＝sin＋是增函数．故函数h(x)的单调递增区间是(k∈Z)．1．(2012·山东青岛一模，8)将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是(　　)．A．x＝B．x＝C．x＝πD．x＝2．(2012·湖北孝感二模，8)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0，则A·ω＝(　　)．A.πB.πC.D.π3．(2012·天津宝坻质检，4)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(x)－f(－x)＝0，则(　　)．A．f(x)在上是增函数B．f(x)在上是减函数C．f(x)在上是增函数D．f(x)在上是减函数4．(2012·湖北武汉4月调研，7)已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分图象如图所示，则f(0)＝(　　)．A．－B．－1C．－D．－-11-\n5．已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(－4m,3m)(m＜0)是角α终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.6．(原创题)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|，则f(x)的值域是__________．7．已知函数y＝a－bcos3x(b＞0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4asin3bx的最大值和最小值．8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．C　解析：∵f(x)＝sin是偶函数，∴f(0)＝±1.∴sin＝±1.∴＝kπ＋(k∈Z)．∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，φ＝.故选C.2．C　解析：函数f(x)＝sin的图象的对称轴是x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z.当k＝－1时x＝－π＋＝－.故选C.3．D　解析：f(x)＝sinωx的图象向右平移个单位长度得：y＝sin.又所得图象过点，∴sin＝0.∴sin＝0.∴＝kπ(k∈Z)．∴ω＝2k(k∈Z)．∵ω＞0，∴ω的最小值为2.-11-\n4．解：(1)由题中图象知，周期T＝2＝π，所以ω＝＝2，因为点在函数图象上，所以Asin＝0，即sin＝0.又因为0＜φ＜，所以＜＋φ＜，从而＋φ＝π，即φ＝.又点(0,1)在函数图象上，所以Asin＝1，得A＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.(2)g(x)＝2sin－2sin＝2sin2x－2sin＝2sin2x－2＝sin2x－cos2x＝2sin.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈Z.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】B　解析：(方法1)在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2，∴cos2θ＝＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.(方法2)由方法1知tanθ＝＝2，cos2θ＝＝＝－.【变式训练1】－　解析：由三角函数定义可知cosα＝－，又α∈(0，π)，sinα＝＝，-11-\n所以tanα＝＝－.【例2】解：由图象可知A＝2，T＝2×[6－(－2)]＝16，即＝16，∴ω＝.∴y＝2sin.又∵点(2，－2)在曲线上，代入得2sin＝－2，∴sin＝－1.∴＋φ＝2kπ－.∴φ＝2kπ－，k∈Z.又∵|φ|＜π，∴k＝0时，φ＝－.∴函数解析式为y＝2sin.【变式训练2】A　解析：由图象可知A＝1，＝－＝，∴T＝2π.∴ω＝＝1.又可看做“五点法”作图的第二个点，∴＋φ＝.∴φ＝.∴y＝sin.【例3】B　解析：由题中图象可知A＝1，＝－＝，∴T＝π.∴ω＝＝2.又可看做“五点法”作图的第二个点，∴＋φ＝.∴φ＝.∴y＝sin.由函数y＝cosx的图象(纵坐标不变)上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得y＝cos2x的图象，再向右平移个单位可得y＝cos2＝cos＝cos＝sin＝sin的图象．【变式训练3】A　解析：y＝cos＝sin＝sin2，故需将y-11-\n＝sin2x的图象向左平移个单位长度．【例4】解：(1)f(x)＝sin＋1，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得：f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．(2)由已知，g(x)＝sin＋1，由g(x)＝1，得sin＝0，∴x＝＋(k∈Z)．【变式训练4】解：(1)由题可知：f(x)＝4sinωx·＋cos2ωx＝2sinωx＋1.当ω＝1时，f(x)＝2sinx＋1，则函数f(x)的最小正周期为2π.(2)由(1)知：f(x)＝2sinωx＋1，欲使f(x)在上单调递增，结合y＝2sinωx＋1的图象，则有，于是ω∈.创新模拟·预测演练1．D　解析：函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝cos的图象，再向左平移个单位，得函数y＝cos＝cos的图象，令x－＝kπ，即x＝2kπ＋，k∈Z.令k＝0，则x＝.2．A　解析：由图象可知＝－＝，∴T＝π.∴ω＝＝2.又M，N，·＝0，∴×－A2＝0.∴A＝.∴A·ω＝.3．B　解析：由f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ＋)，又最小正周期为π，∴ω＝＝2.f(x)＝sin(2x＋φ＋)．∵f(－x)＝f(x)，-11-\n∴φ＋＝kπ＋，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z.由题意φ＝.f(x)＝sin＝cos2x.当0＜2x＜π，即0＜x＜时，f(x)单调递减．当－π＜2x＜0，即－＜x＜0时，f(x)单调递增．4．B　解析：由图象可知A＝2，图象过点，可看做“五点法”作图的第二个点，故2×＋φ＝，φ＝－，∴f(x)＝2sin.故f(0)＝2sin＝－1.5．－　解析：∵P(－4m,3m)(m＜0)，∴r＝＝5|m|，由m＜0得r＝－5m，∴sinα＝＝－，cosα＝＝.∴2sinα＋cosα＝－.6.　解析：当sinx≥cosx时，f(x)＝cosx，当sinx＜cosx时，f(x)＝sinx．同时画出y＝sinx与y＝cosx在一个周期内的图象，函数f(x)的图象始终取y＝sinx与y＝cosx两者下方的图象，结合图象可得f(x)∈.7．解：y＝a－bcos3x(b＞0)．当cos3x＝－1时，ymax＝a＋b＝，①当cos3x＝1时，ymin＝a－b＝－，②由①②得∴y＝－4×·sin3x＝－2sin3x.∴当sin3x＝－1时，ymax＝2，当sin3x＝1时，ymin＝－2.8．解：(1)由图象知A＝2，＝2T＝8＝，∴ω＝，得f(x)＝2sin.由×1＋φ＝φ＝.∴f(x)＝2sin.-11-\n(2)y＝2sin＋2sin＝2sin＋2cos＝2sin＝2cosx.∵x∈，∴x∈.∴当x＝－，即x＝－时，y取最大值；当x＝－π，即x＝－4时，y取最小值－2.-11-