首页

湖南省高考数学第二轮复习 三角函数及解三角形第1讲 三角函数的图象与性质 文

资源预览文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。

1/11

2/11

剩余9页未读,查看更多内容需下载

专题三 三角函数及解三角形第1讲 三角函数的图象与性质真题试做1.(2012·大纲全国高考,文3)若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=(  ).A.B.C.D.2.(2012·福建高考,文8)函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是(  ).A.x=B.x=C.x=-D.x=-3.(2012·天津高考,文7)将函数f(x)=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是(  ).A.B.1C.D.24.(2012·湖南高考,文18)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f-f的单调递增区间.考向分析三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容,主要从以下三个方面进行考查:1.三角函数的概念与诱导公式,主要以选择、填空题的形式为主.2.三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题,主要以选择、填空题的形式考查,有时也会出现大题.3.三角函数的性质,通常是给出函数解析式,先进行三角变换,将其转化为y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质,或知道某三角函数的图象或性质求其解析式,再研究其他性质,既有直接考查的客观题,也有综合考查的主观题.热点例析热点一 三角函数的概念【例1】已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=(  ).A.-B.-C.D.规律方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线固定时,通常先根据任意角三角函数的定义求这个角的三角函数.-11-\n特别提醒:(1)当角的终边经过的点不固定时,需要进行分类讨论,特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时,根据定义求三角函数值时,要把这条直线看做两条射线,分别求解.(2)在利用诱导公式和同角三角函数关系式时,一定要特别注意符号.一定要理解“奇变偶不变,符号看象限”的意思;同角三角函数的平方关系中,开方后的符号要根据角所在的象限确定.变式训练1(2012·福建莆田高三质检,11)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆交点的横坐标是-,若α∈(0,π),则tanα=__________.热点二 三角函数图象及解析式【例2】如图,根据函数的图象,求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的解析式.规律方法由部分图象确定函数解析式问题解决的关键在于确定参数A,ω,φ,其基本方法是在观察图象的基础上,利用待定系数法求解.若设所求解析式为y=Asin(ωx+φ),则在观察图象的基础上,可按以下规律来确定A,ω,φ.(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|,或代入点的坐标解关于A的方程;(2)因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点确定周期T,或者相邻的两个最高点与最低点之间的距离为;相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T;(3)从寻找五点法中的第一零点(也叫初始点)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一零点的位置,或者在五点中找两个特殊点列方程组解出φ;(4)代入点的坐标,通过解三角方程,再结合图象确定ω,φ.特别提醒:求y=Asin(ωx+φ)的解析式,最难的是求φ,第一零点常常用来求φ,只要找准第一零点的横坐标,列方程就能求出φ.若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,可用诱导公式变换,使其符合要求.变式训练2(2012·福建泉州质检,8)下图所示的是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的一部分,则其函数解析式是(  ).A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin热点三 三角函数图象变换【例3】(2012·四川绵阳高三三诊,10)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示,则y=f(x)的图象可由函数y=cosx的图象(纵坐标不变)(  ).-11-\nA.先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位规律方法图象变换理论:(1)平移变换①沿x轴平移,按“左加右减”法则;②沿y轴平移,按“上加下减”法则;(2)伸缩变换①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的(纵坐标y不变);②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐标x不变).特别提醒:对于图象的平移和伸缩变换都要注意对应解析式是在x或在y的基础上改变了多少,尤其当x与y前的系数不为1时一定要将系数提出来再判断.变式训练3要得到y=cos的图象,只需将y=sin2x的图象(  ).A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度热点四 三角函数图象与性质综合应用【例4】(2012·上海浦东新区模拟,19)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=1的解.规律方法求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值、单调区间等问题时,通常要运用各种三角函数公式,通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,且A>0,ω≠0)的形式,再研究其各种性质.有关常用结论与技巧:(1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性,求y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0)的单调区间时一定要注意ω的取值情况,若ω<0,则最好用诱导公式转化为-ω>0后再去求解,否则极易出错.(2)①函数y=Asin(ωx+φ),x∈R是奇函数φ=kπ(k∈Z),是偶函数φ=kπ+(k∈Z);②函数y=Acos(ωx+φ),x∈R是奇函数φ=kπ+(k∈Z),是偶函数φ=kπ(k∈Z);-11-\n③函数y=Atan(ωx+φ),x∈R是奇函数φ=kπ(k∈Z).(3)对y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,且A>0,ω≠0)结合函数图象可观察出如下几点:①函数图象的对称轴都经过函数的最值点,对称中心的横坐标都是函数的零点;②相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期;③图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期.变式训练4(2012·重庆高三模拟,17)已知函数f(x)=4sinωxsin2+cos2ωx,其中ω>0.(1)当ω=1时,求函数f(x)的最小正周期;(2)若函数f(x)在区间上是增函数,求ω的取值范围.思想渗透整体代换思想——三角函数性质问题(1)求函数的对称轴、对称中心;(2)求函数的单调区间.求解时主要方法为:(1)关于函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的对称性,一般可利用正弦、余弦曲线的对称性,把ωx+φ看成x,整体代换求得.(2)求函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,且A>0,ω≠0)的单调区间的步骤如下:①若ω>0,把ωx+φ看成一个整体,由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)解得x的集合,所得区间即为增区间;由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)解得x的集合,所得区间即为减区间.②若ω<0,可先用诱导公式变为y=-Asin(-ωx-φ),则y=Asin(-ωx-φ)的增区间即为原函数的减区间,减区间为原函数的增区间.【典型例题】已知函数f(x)=cos2,g(x)=1+sin2x.(1)设x=x0是函数y=f(x)图象的一条对称轴,求g(x0)的值;(2)求函数h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间.解:(1)由题设知f(x)=.因为x=x0是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,所以2x0+=kπ(k∈Z),即2x0=kπ-(k∈Z).所以g(x0)=1+sin2x0=1+sin.当k为偶数时,g(x0)=1+sin=1-=;当k为奇数时,g(x0)=1+sin=1+=.(2)h(x)=f(x)+g(x)=+1+sin2x=+=+-11-\n=sin+.当2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,函数h(x)=sin+是增函数.故函数h(x)的单调递增区间是(k∈Z).1.(2012·山东青岛一模,8)将函数y=cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴是(  ).A.x=B.x=C.x=πD.x=2.(2012·湖北孝感二模,8)若函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是这段图象的最高点和最低点,且·=0,则A·ω=(  ).A.πB.πC.D.π3.(2012·天津宝坻质检,4)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(x)-f(-x)=0,则(  ).A.f(x)在上是增函数B.f(x)在上是减函数C.f(x)在上是增函数D.f(x)在上是减函数4.(2012·湖北武汉4月调研,7)已知函数f(x)=Asin(2x+φ)的部分图象如图所示,则f(0)=(  ).A.-B.-1C.-D.--11-\n5.已知角α的顶点在原点,始边与x轴正半轴重合,点P(-4m,3m)(m<0)是角α终边上一点,则2sinα+cosα=________.6.(原创题)已知函数f(x)=(sinx+cosx)-|sinx-cosx|,则f(x)的值域是__________.7.已知函数y=a-bcos3x(b>0)的最大值为,最小值为-,求函数y=-4asin3bx的最大值和最小值.8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的一部分如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)当x∈时,求函数y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的x的值.参考答案命题调研·明晰考向真题试做1.C 解析:∵f(x)=sin是偶函数,∴f(0)=±1.∴sin=±1.∴=kπ+(k∈Z).∴φ=3kπ+(k∈Z).又∵φ∈[0,2π],∴当k=0时,φ=.故选C.2.C 解析:函数f(x)=sin的图象的对称轴是x-=kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z.当k=-1时x=-π+=-.故选C.3.D 解析:f(x)=sinωx的图象向右平移个单位长度得:y=sin.又所得图象过点,∴sin=0.∴sin=0.∴=kπ(k∈Z).∴ω=2k(k∈Z).∵ω>0,∴ω的最小值为2.-11-\n4.解:(1)由题中图象知,周期T=2=π,所以ω==2,因为点在函数图象上,所以Asin=0,即sin=0.又因为0<φ<,所以<+φ<,从而+φ=π,即φ=.又点(0,1)在函数图象上,所以Asin=1,得A=2.故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)g(x)=2sin-2sin=2sin2x-2sin=2sin2x-2=sin2x-cos2x=2sin.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数g(x)的单调递增区间是,k∈Z.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】B 解析:(方法1)在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0),则r2=|OP|2=a2+(2a)2=5a2,∴cos2θ==,∴cos2θ=2cos2θ-1=-1=-.(方法2)由方法1知tanθ==2,cos2θ===-.【变式训练1】- 解析:由三角函数定义可知cosα=-,又α∈(0,π),sinα==,-11-\n所以tanα==-.【例2】解:由图象可知A=2,T=2×[6-(-2)]=16,即=16,∴ω=.∴y=2sin.又∵点(2,-2)在曲线上,代入得2sin=-2,∴sin=-1.∴+φ=2kπ-.∴φ=2kπ-,k∈Z.又∵|φ|<π,∴k=0时,φ=-.∴函数解析式为y=2sin.【变式训练2】A 解析:由图象可知A=1,=-=,∴T=2π.∴ω==1.又可看做“五点法”作图的第二个点,∴+φ=.∴φ=.∴y=sin.【例3】B 解析:由题中图象可知A=1,=-=,∴T=π.∴ω==2.又可看做“五点法”作图的第二个点,∴+φ=.∴φ=.∴y=sin.由函数y=cosx的图象(纵坐标不变)上各点的横坐标缩短到原来的倍,可得y=cos2x的图象,再向右平移个单位可得y=cos2=cos=cos=sin=sin的图象.【变式训练3】A 解析:y=cos=sin=sin2,故需将y-11-\n=sin2x的图象向左平移个单位长度.【例4】解:(1)f(x)=sin+1,由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z)得:f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)由已知,g(x)=sin+1,由g(x)=1,得sin=0,∴x=+(k∈Z).【变式训练4】解:(1)由题可知:f(x)=4sinωx·+cos2ωx=2sinωx+1.当ω=1时,f(x)=2sinx+1,则函数f(x)的最小正周期为2π.(2)由(1)知:f(x)=2sinωx+1,欲使f(x)在上单调递增,结合y=2sinωx+1的图象,则有,于是ω∈.创新模拟·预测演练1.D 解析:函数y=cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=cos的图象,再向左平移个单位,得函数y=cos=cos的图象,令x-=kπ,即x=2kπ+,k∈Z.令k=0,则x=.2.A 解析:由图象可知=-=,∴T=π.∴ω==2.又M,N,·=0,∴×-A2=0.∴A=.∴A·ω=.3.B 解析:由f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin(ωx+φ+),又最小正周期为π,∴ω==2.f(x)=sin(2x+φ+).∵f(-x)=f(x),-11-\n∴φ+=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z.由题意φ=.f(x)=sin=cos2x.当0<2x<π,即0<x<时,f(x)单调递减.当-π<2x<0,即-<x<0时,f(x)单调递增.4.B 解析:由图象可知A=2,图象过点,可看做“五点法”作图的第二个点,故2×+φ=,φ=-,∴f(x)=2sin.故f(0)=2sin=-1.5.- 解析:∵P(-4m,3m)(m<0),∴r==5|m|,由m<0得r=-5m,∴sinα==-,cosα==.∴2sinα+cosα=-.6. 解析:当sinx≥cosx时,f(x)=cosx,当sinx<cosx时,f(x)=sinx.同时画出y=sinx与y=cosx在一个周期内的图象,函数f(x)的图象始终取y=sinx与y=cosx两者下方的图象,结合图象可得f(x)∈.7.解:y=a-bcos3x(b>0).当cos3x=-1时,ymax=a+b=,①当cos3x=1时,ymin=a-b=-,②由①②得∴y=-4×·sin3x=-2sin3x.∴当sin3x=-1时,ymax=2,当sin3x=1时,ymin=-2.8.解:(1)由图象知A=2,=2T=8=,∴ω=,得f(x)=2sin.由×1+φ=φ=.∴f(x)=2sin.-11-\n(2)y=2sin+2sin=2sin+2cos=2sin=2cosx.∵x∈,∴x∈.∴当x=-,即x=-时,y取最大值;当x=-π,即x=-4时,y取最小值-2.-11-

版权提示

  • 温馨提示:
  • 1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
  • 2. 本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
  • 3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
  • 4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)

文档下载

发布时间:2022-08-25 21:46:43 页数:11
价格:¥3 大小:6.24 MB
文章作者:U-336598

推荐特供

MORE