全国通用2022版高考数学大二轮总复习增分策略高考中档大题规范练一三角函数与平面向量

高考中档大题规范练(一)三角函数与平面向量1．(2022·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值．8\n2．(2022·福建)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度．(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0,2π)内有两个不同的解α，β.①求实数m的取值范围；②证明：cos(α－β)＝－1.8\n3．(2022·湖南)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角．(1)证明：B－A＝；(2)求sinA＋sinC的取值范围．8\n4.如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．5．已知函数f(x)＝cosx(sinx－cosx)(x∈R)．(1)求函数f(x)的最大值以及取最大值时x的取值集合；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f()＝－，a＝3，b＋c＝2，求△ABC的面积．8\n答案精析高考中档大题规范练(一)三角函数与平面向量1．解　(1)因为m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，即sinx－cosx＝，所以sin＝，因为0<x<，所以－<x－<，所以x－＝，即x＝.2．方法一　(1)解　将g(x)＝cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cosx的图象，再将y＝2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y＝2cos的图象，故f(x)＝2sinx．从而函数f(x)＝2sinx图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)．(2)①解　f(x)＋g(x)＝2sinx＋cosx＝＝sin(x＋φ).依题意，sin(x＋φ)＝在[0,2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当＜1，故m的取值范围是(－，)．②证明　因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.当1≤m＜时，α＋β＝2，8\n即α－β＝π－2(β＋φ)；当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α－β＝3π－2(β＋φ)．所以cos(α－β)＝－cos2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1＝22－1＝－1.方法二　(1)同方法一．(2)①同方法一．②证明　因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.当1≤m＜时，α＋β＝2，即α＋φ＝π－(β＋φ)；当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α＋φ＝3π－(β＋φ)；所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)．于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)]＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－cos2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－＋2＝－1.3．(1)证明　由a＝btanA及正弦定理，得＝＝，所以sinB＝cosA，又B为钝角，故sinB＝sin.因此＋A∈，故B＝＋A，即B－A＝.(2)解　由(1)知，8\nC＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0，所以A∈.于是sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－22＋.因为0＜A＜，所以0＜sinA＜，因此＜－22＋≤.由此可知sinA＋sinC的取值范围是.4．解　(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.5．解　(1)f(x)＝cosx(sinx－cosx)＝sinxcosx－cos2x＝－－＝sin(2x－)－.8\n当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋，k∈Z，即x∈{x|x＝kπ＋，k∈Z}时，f(x)取最大值1－.(2)由f()＝－，可得sin(A－)＝0，因为A为△ABC的内角，所以A＝，则a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，由a＝3，b＋c＝2，解得bc＝1，所以S△ABC＝bcsinA＝.8