全国通用2022版高考数学大二轮总复习增分策略专题三三角函数解三角形与平面向量第3讲平面向量试题

第3讲　平面向量1．(2022·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)A.＝－＋B.＝－C.＝＋D.＝－2．(2022·四川)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)A．20B.15C．9D．63．(2022·江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．4．(2022·湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一　平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．18\n例1　(1)(2022·陕西)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.(2)如图，在△ABC中，AF＝AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若＝a，＝b，且＝xa＋yb，则x＋y＝________.思维升华　(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1　(1)(2022·黄冈中学期中)已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是(　　)A．m＋n＝1B．m＋n＝－1C．mn＝1D．mn＝－1(2)(2022·北京)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.热点二　平面向量的数量积(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ.(2)三个结论①若a＝(x，y)，则|a|＝＝.②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.例2　(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．(2)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若·＝6，则||的最小值是________．思维升华　(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．18\n跟踪演练2　(1)(2022·山东)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________________________________________________________________________.(2)(2022·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．热点三　平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3　已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α<x<π.(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．　　　　　　　　18\n思维升华　在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3　(2022·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．　　　　　　　　　　18\n1．如图，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设＝a，＝b，用a，b表示向量.则等于(　　)A.(a＋b)B.(a＋b)C.(a＋b)D.(a＋b)2．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·等于(　　)A．－B．－C．－D．－3．已知向量a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，且a⊥b，则tan(2α＋)＝________.4．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·最小值是_______________________________________________________．二轮专题强化练18\n专题三第3讲　平面向量A组　专题通关1．(2022·佛山月考)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则等于(　　)A．(2,4)B．(3,5)C．(1,1)D．(－1，－1)2．(2022·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥3．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN边上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)A.B.C．1D．34．(2022·福建)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)A．13B．15C．19D．215．(2022·湖北)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.6．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比值为________．7．(2022·天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F18\n分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．8．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．9．(2022·惠州二调)设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈[0，]．(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．10．已知向量a＝(2sin(ωx＋)，0)，b＝(2cosωx,3)(ω>0)，函数f(x)＝a·b的图象与直线y＝－2＋的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间．18\nB组　能力提高11．已知非零单位向量a与非零向量b满足|a＋b|＝|a－b|，则向量b－a在向量a上的投影为(　　)A．1B.C．－1D．－12．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　)A．[－1，＋1]B．[－1，＋2]C．[1，＋1]D．[1，＋2]13．(2022·江苏)设向量ak＝(k＝0,1,2，…，12)，则(ak·ak＋1)的值为________．14．(2022·陕西)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若＋＋＝0，求||；(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．18\n学生用书答案精析第3讲　平面向量高考真题体验1．A　[∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，∴＝－＋.]2．C　[＝＋，＝－＝－＋，∴·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，选C.]3．－3解析　∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.4.＋1解析　设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．又O＋＋＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，∴|＋＋|＝.问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．∵圆心C(3,0)与点P(1，－)之间的距离为＝，故的最大值为＋1.热点分类突破18\n例1　(1)　(2)－解析　(1)因为a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.因为0<θ<，所以cosθ>0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝.(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.因为AF＝AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．方法一　因为＝a，＝b，D为BC的中点，所以＝(a＋b)．所以＝＝(a＋b)．所以＝＋＝－＋＝－b＋(a＋b)＝a－b.所以x＝，y＝－，所以x＋y＝－.方法二　易得EF＝MD，MD＝CF，所以EF＝CF，所以CE＝CF.因为＝＋＝－＋＝－b＋a，所以＝(－b＋a)＝a－b.18\n所以x＝，y＝－，则x＋y＝－.跟踪演练1　(1)C　(2)　－解析　(1)因为A，B，D三点共线，所以＝λ⇔i＋mj＝λ(ni＋j)，m≠1，又向量i与j不共线，所以所以mn＝1.(2)如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝－，∴x＝，y＝－.例2　(1)22　(2)2解析　(1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.(2)如图，在△AOB中，＝＝×(＋)＝(＋)，又·＝||||·cos60°＝6，∴||||＝12，∴||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2·)＝(||2＋||2＋12)≥×(2||||＋12)＝×36＝4(当且仅当||＝||时取等号)．∴||≥2，故||的最小值是2.跟踪演练2　(1)　(2)90°解析　(1)由题意，圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，18\n∵P(1，)，∴PA⊥x轴，PA＝PB＝.∴△POA为直角三角形，其中OA＝1，AP＝，则OP＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.∴·＝||||·cos∠APB＝××cos60°＝.(2)∵＝(＋)，∴点O是△ABC中边BC的中点，∴BC为直径，根据圆的几何性质有〈，〉＝90°.例3　解　(1)∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝，∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋(sinx＋cosx)．令t＝sinx＋cosx，则2sinxcosx＝t2－1，且－1<t<.则y＝t2＋t－1＝2－，－1<t<，∴t＝－时，ymin＝－，此时sinx＋cosx＝－，即sin＝－，∵<x<π，∴<x＋<π，∴x＋＝π，∴x＝.∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.(2)∵a与b的夹角为，18\n∴cos＝＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．∵0<α<x<π，∴0<x－α<π，∴x－α＝.∵a⊥c，∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0，∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0，即sin＋2sin2α＝0.∴sin2α＋cos2α＝0，∴tan2α＝－.跟踪演练3　解　(1)由·＝2得c·acosB＝2.又cosB＝，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.解得或因为a>c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝＝＝，由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.因为a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.高考押题精练1．C　[因为DE∥BC，所以DN∥BM，则△AND∽△AMB，所以＝.18\n因为＝，所以＝.因为M为BC的中点，所以＝(＋)＝(a＋b)，所以＝＝(a＋b)．故选C.]2．B　[∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝，∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝()2＋0－1＝－.]3．－解析　因为a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，且a⊥b，所以cosα＋2sinα＝0，则tanα＝－.所以tan2α＝＝－.所以tan(2α＋)＝＝＝＝－.4．－解析　因为＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋()2.又因为∠AOB＝60°，OA＝OB，∴∠OBA＝60°.OB＝1.所以·＝||cos120°＝－||.所以·＝－||＋||2＝(||－)2－≥－.故当且仅当||＝时，·最小值是－.18\n二轮专题强化练答案精析第3讲　平面向量1．C　[＝＝－＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]2．D　[在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故选D.]3．B　[如图，因为＝，所以＝，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，所以m＝.]4.A　[建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，故选A.]5．9解析　因为⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.6.解析　设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，18\n即3＝2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比值为.7.解析　在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴CD＝1，＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴·＝·＝·＋·＋·＋·＝2×1×cos60°＋2×＋×1×cos60°＋××cos120°＝.8．[－，]解析　令Q(c，d)，由新的运算可得＝m⊗＋n＝(2x，sinx)＋(，0)＝(2x＋，sinx)，∴消去x得d＝sin(c－)，∴y＝f(x)＝sin(x－)，易知y＝f(x)的值域是[－，]．9．解　(1)由|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈[0，]，从而sinx＝，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin(2x－)＋，18\n当x＝∈[0，]时，sin(2x－)取最大值1.所以f(x)的最大值为.10．解　(1)因为向量a＝(2sin(ωx＋)，0)，b＝(2cosωx,3)(ω>0)，所以函数f(x)＝a·b＝4sin(ωx＋)cosωx＝4[sinωx·(－)＋cosωx·]cosωx＝2·cos2ωx－2sinωxcosωx＝(1＋cos2ωx)－sin2ωx＝2cos(2ωx＋)＋，由题意，可知f(x)的最小正周期为T＝π，所以＝π，即ω＝1.(2)易知f(x)＝2cos(2x＋)＋，当x∈[0,2π]时，2x＋∈[，4π＋]，故2x＋∈[π，2π]或2x＋∈[3π，4π]时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[，]和[，]．11．C　[因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，解得a·b＝0，所以向量b－a在向量a上的投影为|b－a|cos〈a，b－a〉＝＝＝－|a|＝－1.]12．A　[∵a·b＝0，且a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又∵|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，∴2c·(a＋b)＝c2＋1.∵|a|＝|b|＝1且a·b＝0，∴|a＋b|＝，∴c2＋1＝2|c|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．又－1≤cosθ≤1，∴0<c2＋1≤2|c|，∴c2－2|c|＋1≤0，∴－1≤|c|≤＋1.]13．918\n解析　∵ak＝，∴ak·ak＋1＝·＝cos·cosπ＋·＝cos＋cosπ＋sinπ.故(ak·ak＋1)＝＝os＋osπ＋inπ.由osπ＝0，inπ＝0，得(ak·ak＋1)＝cos×12＝9.14．解　(1)方法一　∵＋＋＝0，又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，∴解得即＝(2,2)，故||＝2.方法二　∵＋＋＝0，则(－)＋(－)＋(－)＝0，∴＝(＋＋)＝(2,2)，∴||＝2.(2)∵＝m＋n，∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，∴两式相减得，m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.18