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全国通用2022高考数学二轮复习专题二第3讲平面向量

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第3讲 平面向量一、选择题1.(2022·陕西卷)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是(  )A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2解析 对于A,由|a·b|=||a||b|cosa,b|≤|a||b|恒成立;对于B,当a,b均为非零向量且方向不相同时不成立;对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案 B2.(2022·安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是(  )A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥解析 由于△ABC是边长为2的等边三角形;∴(+)·(-)=0,即(+)·=0,∴(4a+b)⊥,即(4a+b)⊥,故选D.答案 D3.函数y=tan的部分图象如图所示,则(+)·=(  )A.4B.6C.1D.2解析 由条件可得B(3,1),A(2,0),∴(+)·=(+)·(-)=2-2=10-4=6.答案 B4.(2022·太原模拟)已知a,b均为单位向量,(2a+b)·(a-2b)=-,则向量a,b的夹角为(  )A.B.C.D.解析 因为a,b均为单位向量,所以(2a+b)·(a-2b)=2-2-3a·b=-,解得a·b=,所以cos〈a,b〉==,又〈a,b〉∈[0,π],所以〈a,b〉=5\n.答案 A5.(2022·四川卷)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M,N满足=3,=2,则·=(  )A.20B.15C.9D.6解析 =+,=-=-+∴·=(4+3)·(4-3)=(162-92)=(16×62-9×42)=9,选C.答案 C二、填空题6.(2022·广州模拟)已知两个非零向量a,b的夹角为60°,且|a|=|b|=3,c=ta+(1-t)b,若b⊥c,则t=________.解析 因为b⊥c,所以b·c=0,又c=ta+(1-t)b,所以b·c=ta·b+(1-t)b2=0.因为a,b的夹角为60°,且|a|=|b|=3,所以a·b=|a||b|cos60°=3×3×=,b2=9.所以t+9(1-t)=0,解得t=2.答案 27.(2022·郑州模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,且AC=BC=3,点M满足=2,则·=________.解析 法一 如图,建立平面直角坐标系.由题意知:A(3,0),B(0,3),设M(x,y),由=2,得解得即M点坐标为(2,1),5\n所以·=(2,1)·(0,3)=3.法二 ·=(+)·=2+×=2+·(-)=2=3.答案 38.已知A,B,C是平面上不共线的三点,若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心).解析 由条件,得=λ,从而·=λ=λ=λ(-||+||)=0,得⊥,则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.答案 垂心三、解答题9.已知向量a=,b=,且x∈.(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-,求λ的值.解 (1)a·b=coscos-sinsin=cos2x,|a+b|===2,因为x∈,所以cosx≥0,所以|a+b|=2cosx.(2)由(1),可得f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos2x-4λcosx,5\n即f(x)=2(cosx-λ)2-1-2λ2.因为x∈,所以0≤cosx≤1.①当λ<0时,当且仅当cosx=0时,f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾;②当0≤λ≤1时,当且仅当cosx=λ时,f(x)取得最小值-1-2λ2,由已知得-1-2λ2=-,解得λ=;③当λ>1时,当且仅当cosx=1时,f(x)取得最小值1-4λ,由已知得1-4λ=-,解得λ=,这与λ>1相矛盾;综上所述λ=.10.(2022·日照模拟)已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量p=(cosB+sinB,2sinB-2),q=(sinB-cosB,1+sinB),且p⊥q.(1)求B的大小;(2)若b=2,△ABC的面积为,求a,c.解 (1)因为p⊥q,所以p·q=(cosB+sinB)(sinB-cosB)+(2sinB-2)(1+sinB)=0,即sin2B-cos2B+2sin2B-2=0,即sin2B=,又角B是锐角三角形ABC的内角,所以sinB=,所以B=60°.(2)由(1)得B=60°,又△ABC的面积为,所以S△ABC=acsinB,即ac=4.①由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,又b=2,所以a2+c2=8,②联立①②,解得a=c=2.11.(2022·豫西名校期末)已知A,B是△ABC的两个内角,a=cosi+sinj(其中i,j是互相垂直的单位向量),且|a|=.(1)试问tanA·tanB是否为定值,若是定值,请求出,否则说明理由;(2)求tanC的最大值,并判断此时三角形的形状.解 (1)因为|a|2=2cos2+sin2=,5\n1+cos(A+B)+=,cosAcosB-sinAsinB-=0;-=0,所以tanAtanB=(定值).(2)由(1)可知A,B为锐角,则tanA>0,tanB>0,tanC=-tan(A+B)=-=-≤-3=-.(当且仅当tanA=tanB=,“=”成立)所以tanC的最大值为-,此时三角形的形状为等腰三角形.5

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发布时间:2022-08-25 23:52:26 页数:5
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文章作者:U-336598

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