全国通用2022版高考数学大二轮总复习增分策略第四篇第3讲三角函数解三角形平面向量

3．三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r＝>0，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．[问题1]　已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα＋cosα的值为________．2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限角－απ－απ＋α2π－α－α正弦－sinαsinα－sinα－sinαcosα余弦cosα－cosα－cosαcosαsinα[问题2]　cos＋tan＋sin21π的值为_______________________________．3．三角函数的图象与性质(1)五点法作图；(2)对称轴：y＝sinx，x＝kπ＋，k∈Z；y＝cosx，x＝kπ，k∈Z；对称中心：y＝sinx，(kπ，0)，k∈Z；y＝cosx，，k∈Z；y＝tanx，，k∈Z.(3)单调区间：y＝sinx的增区间：(k∈Z)，减区间：(k∈Z)；y＝cosx的增区间：(k∈Z)，10\n减区间：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；y＝tanx的增区间：(k∈Z)．(4)周期性与奇偶性：y＝sinx的最小正周期为2π，为奇函数；y＝cosx的最小正周期为2π，为偶函数；y＝tanx的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误：(1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反；(2)忘掉写＋2kπ，或＋kπ等，忘掉写k∈Z；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为.[问题3]　函数y＝sin的递减区间是________________．4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβsin2α＝2sinαcosα.cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan(α±β)＝.cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]．α＋＝(α＋β)－，α＝－.[问题4]　已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.5．解三角形(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(ⅱ)sinA＝，sinB＝，sinC＝10\n；(ⅲ)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC中A>B⇔sinA>sinB.(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝等，常选用余弦定理判定三角形的形状．[问题5]　在△ABC中，a＝，b＝，A＝60°，则B＝________.6．向量的平行与垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b(a≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6]　下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题是________．7．向量的数量积|a|2＝a2＝a·a，a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，cosθ＝＝，a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝＝.注意：〈a，b〉为锐角⇔a·b>0且a、b不同向；〈a，b〉为直角⇔a·b＝0且a、b≠0；〈a，b〉为钝角⇔a·b<0且a、b不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7]　已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影为________．8．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c与a(b·c)不一定相等，(a·b)c与c平行，而a(b·c)与a平行．[问题8]　下列各命题：①若a·b＝0，则a、b中至少有一个为0；②若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；③对任意向量a、b、c，有(a·b)c≠a(b·c)；④对任一向量a，有a2＝|a|2.其中正确命题是________．10\n9．几个向量常用结论(1)＋＋＝0⇔P为△ABC的重心；(2)·＝·＝·⇔P为△ABC的垂心；(3)向量λ(＋)(λ≠0)所在直线过△ABC的内心；(4)||＝||＝||⇔P为△ABC的外心．易错点1　忽视角的范围例1　已知sinα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，则α＋β＝________.错因分析　只考虑α，β为锐角．没有注意到sinα＝，sinβ＝本身对角的范围的限制，造成错解．解析　因为α，β为锐角，所以cosα＝＝，cosβ＝＝.所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.又因为0＜α＋β＜π，所以α＋β＝.答案　易错点2　图象平移把握不准例2　已知函数f(x)＝sin(2x＋)，为了得到函数g(x)＝cos2x的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度10\nD．向右平移个单位长度错因分析　①没有将f(x)，g(x)化为同名函数；②平移时看2x变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“x”而言．解析　g(x)＝sin(2x＋)＝sin[2(x＋)＋]，∴y＝f(x)的图象向左平移个单位长度即可得到y＝g(x)的图象．答案　A易错点3　三角函数单调性判断错误例3　求函数y＝sin(－)的单调区间．错因分析　由于受思维定势的影响，本题容易出现仍然按照函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间的判断方法进行，如认为当x满足2kπ－≤－x≤2kπ＋(k∈Z)时函数单调递增，就会求错函数的单调区间．解　原函数变形为y＝－sin(－)，令u＝－，则只需求y＝sinu的单调区间即可，所以y＝sinu在2kπ－≤－≤2kπ＋(k∈Z)，即3kπ－≤x≤3kπ＋(k∈Z)上单调递增；y＝sinu在2kπ＋≤u＝－≤2kπ＋(k∈Z)，即3kπ＋≤x≤3kπ＋π(k∈Z)上单调递减．故y＝sin(－)＝－sinu的单调递减区间为[3kπ－，3kπ＋](k∈Z)，单调递增区间为[3kπ＋，3kπ＋](k∈Z)．易错点4　解三角形忽视检验例4　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝.(1)若角C＝，则角A＝________；(2)若角A＝，则b＝________.错因分析　在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边大，在求得sinA＝＝后，得出角A＝或；在第(2)问中没有考虑角C有两解，由sinC＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2，这样就出现漏解的错误．10\n解析　(1)由正弦定理＝，得sinA＝＝，又a＜c，所以A＜C.所以A＝.(2)由＝，得sinC＝＝，得C＝或，当C＝时，B＝，可得b＝2；当C＝时，B＝，此时得b＝1.答案　(1)　(2)2或1易错点5　忽视向量共线致误例5　已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________________________________________________________________．错因分析　误认为θ为锐角⇔cosθ>0，没有排除θ＝0即两向量同向的情况．解析　由θ为锐角，有0<cosθ<1.又∵cosθ＝＝，∴0<<1，∴解得∴λ的取值范围是.答案　1．(2022·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα等于(　　)A.B.C．－D．－2．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则(　　)A．a>b>cB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b10\n3．(2022·东北三校联考)已知sinαcosα＝，则cos2(α＋)的值为(　　)A.B.C.D.4．函数y＝2sin(－2x)(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)A．[－π，－]B．[－，0]C．[－，－]D．[－，－]5.函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分图象如图所示，那么f(0)等于(　　)A．－B．－1C．－D．－6．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为(　　)A.B.C.D．－7．(2022·陕西省五校第一次联考)如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·等于(　　)A．－B.C．－1D．18．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．9．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)图象的一部分，A，B是图象上的一个最高点和一个最低点，O为坐标原点，则·的值为________．10．(2022·天津)已知函数f(x)＝cosx·sin(x＋)－cos2x＋，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值．10\n学生用书答案精析3．三角函数、解三角形、平面向量要点回扣[问题1]　－[问题2]　－[问题3]　(k∈Z)[问题4]　－[问题5]　45°[问题6]　④[问题7]　[问题8]　④查缺补漏1．D　[因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cosα＝＝－.]2．C　[∵a＝sin33°，b＝cos55°＝sin35°，c＝tan35°＝，又0<cos35°<1，∴c>b>a.]3．C　[∵sinαcosα＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝，∴cos2(α＋)＝＝＝＝.]4．C　[因为y＝2sin(－2x)＝－2sin(2x－)，所以函数y＝2sin(－2x)的单调递增区间就是函数y＝sin(2x－)的单调递减区间．10\n由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即函数y＝2sin(－2x)的单调递增区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)又x∈[－π，0]，所以k＝－1，故函数y＝2sin(－2x)(x∈[－π，0])的单调递增区间为[－，－]．]5．B　[由题图可知，函数的最大值为2，因此A＝2.又因为函数经过点，则2sin＝2，即2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.f(0)＝2sinφ＝2sin＝－1.]6．C　[∵cosC＝＝，又∵a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2.∴cosC≥.∴cosC的最小值为.]7．D　[＝＋＝＋，又＝＋，所以·＝(＋)·(＋)＝2＋2＋·＝1＋－·＝－||·||cos60°＝－×1×2×＝1.]8．2解析　由正弦定理知＝＝，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC10\n＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)＝2(sinC＋cosC＋sinC)＝2(2sinC＋cosC)＝2sin(C＋α)，其中tanα＝，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2.9.π2－1解析　由题意可知A(，1)，B(，－1)，·＝×＋1×(－1)＝π2－1.10．解　(1)由已知，有f(x)＝cosx·(sinx＋cosx)－cos2x＋＝sinx·cosx－cos2x＋＝sin2x－(1＋cos2x)＋＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)．所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，所以，函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－.10