解析几何 层级(二) 微专题(一)　圆的综合问题

微专题(一)圆的综合问题命题点(一)公共弦问题[例1]过圆M：(x－1)2＋y2＝4内一点A(2,1)作一弦交圆于B，C两点，过点B，C分别作圆的切线PB，PC，两切线交于点P，则点P的轨迹方程为()A．y－5＝0B．x＋y＋5＝0C．x＋y－5＝0D．x－y－5＝0[关键点拨]切入点设P点坐标为(x0，y0)，写出以MP为直径的圆的方程，作差求得公共弦所在直线的方程，将点A(2,1)代入方程，由此得出结论障碍点确认点A在两圆的公共弦上 [解析]设P点坐标为(x0，y0)，根据圆的直径式方程知，以MP为直径的圆的方程为(x－1)(x－x0)＋y(y－y0)＝0，两圆方程作差可得公共弦BC的方程为(x0－1)x＋yy0－x0－3＝0，而A(2,1)在直线BC上，∴x0＋y0－5＝0，故点P的轨迹方程为x＋y－5＝0，故选C.[答案]C [例2](2022·山东临沂二模)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线a2x＋2b2y＋3＝0恒过定点M的坐标为________．[关键点拨] 1．已知圆C1：x2＋y2－mx－3＝0平分圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝4的周长，则m＝()A．2B．4C．6D．8解析：由圆C1：x2＋y2－mx－3＝0平分圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝4的周长可知，圆C1经过圆C2的一条直径的两个端点，所以圆C2的圆心在圆C1与圆C2的公共弦上，两圆方程相减整理得圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为(2－m)x＋4y－4＝0，又圆心C2(1,2)，所以2－m＋8－4＝0，所以m＝6，故选C.答案：C 2．已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0与圆O2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0相交于点A，B，则四边形AO1BO2的面积是()A．1B．2C．3D．4 命题点(二)隐圆问题在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”．[例1]已知点A(－5，－5)在动直线mx＋ny－m－3n＝0上的射影为点B，若点C(5，－1)，那么|BC|的最大值为()A．16B．14C．12D．10 2．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－2a)2＋(y－a＋1)2＝1，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围是__________． 命题点(三)与圆有关的最值、范围问题与圆相关的最值问题上，主要考查与圆相关的参数范围问题、与圆相关的长度或面积的最值问题．除了以选择题、填空题的形式考查外，有与圆锥曲线相结合的考查趋势．[例1](2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． [例2]已知直线l：x－y＋1＝0，若P为l上的动点，过点P作⊙C：(x－5)2＋y2＝9的切线PA，PB，切点为A，B，当|PC|·|AB|最小时，直线AB的方程为________．[关键点拨] (1)距离最小，最大等常常涉及圆上一点到直线的距离最值问题、切线长最值问题、圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题、过定点的圆的弦长最值问题等，这些问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题求解．(2)与圆的面积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解． 1．已知圆C：x2－4x＋y2－21＝0，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则|OP|最大值为()A．3B．4C．5D．6