概率与统计 层级(二) 微专题(一)　统计与成对数据的统计分析

微专题(一)统计与成对数据的统计分析命题点(一)用样本估计总体[典例]从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)频数62638228 (1)根据上表补全如图所示的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ [解](1)补全后的频率分布直方图如图所示． 利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征． 为了比较两种复合材料制造的轴承(分别称为类型Ⅰ轴承和类型Ⅱ轴承)的使用寿命，检验了两种类型轴承各30个，它们的使用寿命(单位：百万圈)如下表：类型Ⅰ6.26.48.38.69.49.810.310.611.211.411.611.611.711.811.812.212.312.312.512.512.612.712.813.313.313.413.613.814.214.5类型Ⅱ8.48.58.79.29.29.59.79.79.89.810.110.210.310.310.410.610.810.911.211.211.311.511.511.611.812.312.412.713.113.4 根据上述表中的数据回答下列问题：(1)对于类型Ⅰ轴承，应该用平均数还是中位数度量其寿命分布的中心？说明理由；(2)若需要使用寿命尽可能大的轴承，从中位数或平均数的角度判断，应选哪种轴承？说明理由；(3)若需要使用寿命的波动性尽可能小的轴承，应选哪种轴承？说明理由．解：(1)从表中可以看出类型Ⅰ轴承大多数的数据集中在[11.2,13.8]区间内，在这个区间的数据有20个，中位数为12,6.2,6.4有严重的偏离，所以使用中位数度量寿命分布的中心． (2)由上表可知，类型Ⅰ轴承的使用寿命按由小到大排序，排在15,16位是11.8,12.2，故中位数为12；类型Ⅱ轴承的使用寿命按由小到大排序，排在15,16位是10.4,10.6，故中位数为10.5，因为12＞10.5，所以应选类型Ⅰ轴承．(3)从类型Ⅰ的表格中，极差＝14.5－6.2＝8.3，多数的数据集中在[11.2,13.8]区间内，6.2,6.4,8.3,8.6严重偏离分布中心，即波动较大，标准差必定较大，从类型Ⅱ的表格中，极差＝13.4－8.4＝5，数据的分布集中均匀，即波动较小，标准差必定较小，故应选类型Ⅱ轴承． 求经验回归方程的步骤 1．(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10颗这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9 (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 2．现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素．某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据(单位：万元)如下表所示： 每天线上销售时间每天销售额合计不少于30万元不足30万元不少于8小时18不足8小时合计(1)完成列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？(2)按每天线上销售时间进行分层随机抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，再从这5家企业中抽取2家企业，求抽取的2家企业中至少有1家企业每天线上销售时间不少于8小时的概率． [解](1)零假设H0：赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间无关联．列联表如下：每天线上销售时间每天销售额合计不少于30万元不足30万元不少于8小时18220不足8小时121830合计302050 (2022·昌吉质检)某中学组织一支“邹鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查(假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项)，整理数据后得到如下统计表：(1)能否有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？女生男生合计环境保护8040120社会援助404080合计12080200 (2)从本校随机抽取的120名参与了问卷调查的女生中用分层随机抽样的方法，从参加环境保护和社会援助的同学中抽取6人开座谈会，现从这6人(假设所有的人年龄不同)中随机抽取参加环境保护和社会援助的同学各1人，试求抽取的6人中参加社会援助的年龄最大的学生被选中且参加环境保护的年龄最大的学生未被选中的概率．