新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题19圆锥曲线中的最值问题（附解析）

微专题19　圆锥曲线中的最值问题一、单项选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|的最大值为(　　)A．64B．16C．8D．42．已知实数x，y满足：＋＝1，则x－y的最大值为(　　)A．B．2C．D．53．[2023·安徽蚌埠模拟]已知点F是抛物线y＝的焦点，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为(　　)A．4B．6C．8D．94．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，A是C上一点，B(2，1)，则|AB|＋|AF1|的最大值为(　　)A．7B．8C．9D．115．[2023·福建三明模拟]已知双曲线C：x2－＝1，P为双曲线C上任意一点，过点P分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则＋的最小值为(　　)A．B．C．D．6．设F1、F2是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P是直线x＝2上一点，则∠F1PF2的最大值是(　　)A．B．C．D．二、多项选择题7．[2023·山西吕梁模拟]已知点P(m，n)是椭圆＋＝1上的动点，点Q(a，0)(a>0且a≠)，则|PQ|最小时，m的值可能是(　　)A．－1B．C．aD．3a8．已知A，B是抛物线C：y2＝2x上两动点，F为抛物线C的焦点，则(　　)A．直线AB过焦点F时，|AB|最小值为4B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时，|AB|＝C．若AB中点M的横坐标为2，则|AB|最大值为5D．＋＝2[答题区]题号12345678答案三、填空题9．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，A，B是双曲线C渐近线上的点，A位于第一 象限，B位于第四象限，若O为坐标原点，<∠AOB≤，则C的离心率的最大值为________．10．已知M为椭圆＋＝1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|MF1|·的最大值为________；|MF1|2＋的最小值为________．四、解答题11．[2023·广东深圳模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点(4，1)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若经过定点(0，－1)的直线l与椭圆C交于P，Q两点，记椭圆的上顶点为M，当直线l的斜率变化时，求△MPQ面积的最大值．解：12．[2023·山东淄博模拟]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，∠F1QF2的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求的最大值．解： 微专题19　圆锥曲线中的最值问题1．解析：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2，因为椭圆上的点P满足|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，当点P为F1F2的延长线与C的交点时，|PF1|－|PF2|取得最大值，最大值为|F1F2|＝4.所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|的最大值为16.故选B.答案：B2．解析：令m＝x－y，则直线2x－y－2m＝0与＋＝1有交点情况下，直线在x轴上截距最大，假设直线与椭圆相切，则x2＋3(x－m)2＝3，即4x2－6mx＋3m2－3＝0，所以Δ＝36m2－48(m2－1)＝0，可得m2＝4，即m＝±2，要使2x－y－2m＝0在x轴上截距最大，即m＝2.故选B.答案：B3．解析：抛物线x2＝4y，焦点F(0，1)，设直线的倾斜角为θ，得：|AF|＝，|BF|＝，则＋＝1，|AF|＋4|BF|＝(|AF|＋4|BF|)(＋)＝5＋＋≥9.当且仅当|AF|＝2|BF|＝3时等号成立．故选D.答案：D4．解析：设椭圆的半焦距为c，则F2(2，0)，a＝3，如图，连接AF2，则|AB|＋|AF1|＝|AB|＋2a－|AF2|＝6＋|AB|－|AF2|，而|AB|－|AF2|≤|BF2|＝1，当且仅当A，F2，B共线且F2在A，B中间时等号成立，故|AB|＋|AF1|的最大值为7.故选A.答案：A5．解析：因为双曲线C：x2－＝1，所以双曲线C的渐近线方程为2x±y＝0，设P(m，n)是双曲线上任意一点，则|m|≥1，m2≥1，所以m2－＝1，则8m2－n2＝8，由点线距离公式得|PM|＝＝，|PN|＝＝，|PM||PN|＝＝＝， 所以＋≥2＝2＝＝，即＋的最小值为.故选A.答案：A6．解析：由题意得：a2＝4，b2＝2，则c2＝a2－b2＝2，所以F1(－2，0)，F2(2，0).因为点P是直线x＝2上一点，不妨设P(2，t)(t>0)，设直线PF1的倾斜角为β，直线PF2的倾斜角为α，则∠F1PF2＝α－β∈(0，)，tanα＝，tanβ＝，于是tan∠F1PF2＝tan(α－β)＝＝＝≤＝，当且仅当t＝时等号成立，因为y＝tanx在x∈(0，)上单调递增，所以∠F1PF2的最大值是.故选A.答案：A7．解析：因为点P(m，n)在椭圆C：＋＝1上，所以＋＝1(－≤m≤)，n2＝2－m2，所以|PQ|＝＝＝＝，若0<a≤，当m＝3a时，|PQ|最小，若a>，当m＝时，|PQ|最小．故选BD.答案：BD8．解析：对于A项，过点A，B分别作准线x＝－的垂线，垂足分别为A1，B1，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A2，B2，准线与x轴的交点为C，设直线AB的倾斜角为θ，画图为： 根据抛物线的定义：|AA1|＝|AF|＝n，从图可知|AA1|＝|A2C|＝n，|CF|＝p＝1，|CF|＋|FA2|＝|AA1|＝n，在Rt△AFA2中，|FA2|＝ncosθ，所以ncosθ＋1＝n，∴n＝，同理m＝，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝，∵θ∈[0，π)∴sinθ∈[0，1]，故当sinθ＝1时()min＝2，故|AB|最小值为2，此时AB垂直于x轴，所以A不正确；对于B项，由A可知，|AB|＝＝，故B正确；对于C项，|AB|≤|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋1＝2×2＋1＝5，当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，所以|AB|最大值为5，故C正确；当直线AB过焦点F时，＋＝1－cosθ＋1＋cosθ＝2，当直线AB不过焦点F时，＋不是定值，举例当xA＝xB＝2时，此时yA＝2，yB＝－2，即A(2，2)，B(2，－2)，F(，0)，AF＝BF＝＝，＋＝×2＝≠2，故D错误．故选BC.答案：BC9．解析：设双曲线C的右焦点为F，因为<∠AOB≤，由双曲线的对称性知<∠AOF＝∠AOB≤，又tan∠AOF＝，则tan<≤tan，即1<≤，又e2＝1＋，所以2<e2≤4，且e＞1，解得<e≤2，所以C的离心率的最大值为2.答案：2 10．解析：由M为椭圆＋＝1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点可得|MF1|＋＝10，故|MF1|·≤()2＝25，当且仅当|MF1|＝＝5时取等号．|MF1|2＋＝(|MF1|＋)2－2|MF1|·＝100－2|MF1|·≥100－2×25＝50，当且仅当|MF1|＝＝5时取等号．答案：25　5011．解析：(1)椭圆C的离心率e＝，则＝＝，即＝，所以a＝b＝c，椭圆方程为＋＝1.将点(4，1)代入方程得b2＝9，故所求方程为＋＝1.(2)点(0，－1)在椭圆C内，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx－1，由得(2k2＋1)x2－4kx－16＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，Δ>0.|PQ|＝＝.点M(0，3)到l的距离d＝，S△MPQ＝|PQ|·d＝.令t＝2k2＋1(t≥1)，则k2＝，则S△MPQ＝8＝8.因为0<≤1，所以当＝1(k＝0)时，S△MPQ＝16是所求最大值．12．解析：(1)由题意可知：△ARS是正三角形， 所以点A到渐近线bx－ay＝0的距离为b，所以＝b，解得a＝，b＝1，所以双曲线标准方程是：－y2＝1.(2)方法①：由双曲线的光学性质，可知点Q处的切线即为∠F1QF2的角平分线．设点M(x0，y0)，x0>0，y0>0，则Q(－x0，－y0)，设直线l的方程是：y＝kx＋t，由得：(3k2－1)x2＋6ktx＋3t2＋3＝0，所以，解得：t2＝3k2－1，所以－x0＝－＝－，因为－y0＝－kx0＋t，－y＝1，所以k＝，t＝，即直线l：＋y0y＝1，即：x0x－3y0y＋3＝0由点到直线的距离公式得：＝＝，直线MN方程：y－y0＝－(x－x0)，即：y＝－·x＋4y0，由，得：(1－)x2＋x－48y－3＝0，所以x0＋xN＝－＝，由M，N都在双曲线右支上，得：x0＋xN＝>0，所以y>，所以|MN|＝·＝·，当＝，即y0＝时，的最大值为. 方法②：如图，由题意知点Q在双曲线左支上，设M(x0，y0)，则Q(－x0，－y0).易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，记a＝(1，k)，又l2为∠F1QF2的平分线，则＝.因为－y＝1，x0≥，所以|QF1|＝＝＝x0－，同理|QF2|＝x0＋，又QF1＝(x0－2，y0)，QF2＝(x0＋2，y0)，得＝，化简得x0＝3ky0.又x0>0，y0>0，所以k>0，所以M(，)，Q(－，－).所以直线l的方程为y＝kx＋，k>，由点到直线的距离公式得：＝＝，又直线MN的斜率为－，且过点M，所以直线MN的方程为：x＝－ky＋，将其与－y2＝1(x>0)联立得(k2－3)y2－y＋＝0.设N(x1，y1)，则y0＋y1＝，y0y1＝.易知点N在第四象限，所以y0y1<0，得：k2∈(，3)，|MN|＝＝·＝. 故＝≤＝，当且仅当3－k2＝3k2－1，即k2＝1时，等号成立，所以当且仅当k＝1时，的最大值为.