数列 微专题(二)　数列的递推关系与子数列问题

微专题(二)数列的递推关系与子数列问题命题点(一)构造法求数列的通项公式高考试题中求数列的通项公式，一般不单独考查，往往是作为解答题的一个小题，与数列的求和综合考查，其总的原则是转化为等差数列、等比数列求解.[典例](1)已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，求{an}的通项公式；(2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－2an＝2n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式； [关键点拨] 1．在数列{an}中，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，则a2023的值为()A．1517×22024B．1517×22023C．1517×22022D．无法确定解析：∵a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，∴S2＝a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝5.∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2，两式相减得，an＋2＝4an＋1－4an，∴an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，∴{an＋1－2an}是以a2－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列， 命题点(二)数列的奇偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.数列中的奇、偶项问题的常见题型：(1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；(2)含有(－1)n的类型；(3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型；(4)已知条件明确的奇、偶项问题. [关键点拨]切入点由题意及Sn－Sn－1＝an可得an的表达式，再根据n的奇偶性求an迁移点结合函数的单调性解不等式，注意n的范围 [例2]已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}前n项和为Sn，且满足S3＝a4，a3＋a5＝2＋a4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}前2k项和S2k；(3)在数列{an}中，是否存在连续的三项am，am＋1，am＋2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由．[关键点拨]切入点(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由已知条件列方程组求得d，q后可得通项公式；(2)按奇数项与偶数项分组求和；(3)按m分奇偶讨论，利用2am＋1＝am＋am＋2，寻找k的解障碍点解第三问时不会由等差中项印证，从而造成无从下手 1．奇偶两重天(1)项的奇偶性：数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列划分成两个新的数列进行考查，很多同学对n为奇数时的情形产生混淆，往往会弄错新数列与原数列的项数；(2)项数的奇偶性：数列{an}中的任意一项an的角标不是奇数就是偶数．2．处理策略奇偶分离法，其本质其实就是分类讨论，只不过分类标准是项的奇偶性，按照奇数项与偶数项分而治之地进行操作．分类讨论的一层涵义是不能合而分，我们也不要忽视分类讨论的另一层涵义是能合而不分，能够站在整体视角看的就可以通过具体手段巧妙地避免分类讨论． 2．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则其前60项的和为________． 命题点(三)数列的公共项问题将数列{an}与{bn}看成两个集合，这两个集合的交集中的元素按照一定的顺序排成一列数，形成的新数列，成为两个数列的公共数列，其中的这些元素就是数列的公共项.[典例](1)(2020·新高考全国卷Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．(2)已知两个等差数列{an}：5,8,11，…与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________． 求两个数列的公共项有两种方法不定方程法列出两个项相等的不定方程，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式周期法即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式 1．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an}，所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn}，把{an}和{bn}的公共项从小到大得到数列{cn}，则()A．a3＋b5＝c3B．b28＝c10C．a5b2>c8D．c9－b9＝a26解析：根据题意数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，数列{bn}是首项为2，公差为5的等差数列，bn＝2＋5(n－1)＝5n－3，数列{an}与{bn}的公共项从小到大得到数列{cn}，故数列{cn}是首项为2，公差为15的等差数列，cn＝2＋15(n－1)＝15n－13. 对于A，a3＋b5＝(3×3－1)＋(5×5－3)＝30，c3＝15×3－13＝32，a3＋b5≠c3，A错误；对于B，b28＝5×28－3＝137，c10＝15×10－13＝137，b28＝c10，B正确；对于C，a5＝3×5－1＝14，b2＝5×2－3＝7，c8＝15×8－13＝107，a5b2＝14×7＝98<107＝c8，C错误；对于D，c9＝15×9－13＝122，b9＝5×9－3＝42，a26＝3×26－1＝77，c9－b9＝122－42＝80≠77＝a26，D错误．答案：B 2．由数列{an}和{bn}的公共项组成的数列记为{cn}，已知an＝3n－2，bn＝2n，若{cn}为递增数列，且c3＝bm＝at，则m＋t＝________. 所以cn＋1＝bm＋2＝a4t－2，因为cn＝bm＝at，c1＝a2＝b2＝4，所以n＝1，m＝2，t＝2，所以c2＝b4＝a6，所以n＝2，m＝4，t＝6，所以c3＝b6＝a22，所以m＝6，t＝22，所以m＋t＝28.答案：28 “课时验收评价”见“课时验收评价(三)”(单击进入电子文档)