常见递推数列通项的九种求解方法

10常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一：（可以求和）累加法例1、在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。解析：上述个等式相加可得：∴评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。【类型一专项练习题】1、已知，（），求。2、已知数列，=2，=+3+2，求。3、已知数列满足，求数列的通项公式。4、已知中，，求。5、已知,,求数列通项公式.6、已知数列满足求通项公式？7、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式8、已知数列满足，求数列的通项公式。9、已知数列满足，，求。10、数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．1011、设平面内有n条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则　　；当时，　　　　　（用表示）．答案:1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.(1)2(2)11.(1)5(2)类型二：（可以求积）累积法例1、在数列中，已知有，()求数列的通项公式。解析：又也满足上式；评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。【类型二专项练习题】1、已知，()，求。2、已知数列满足，，求。3、已知中，，且，求数列的通项公式.4、已知，，求。5、已知,,求数列通项公式.6、已知数列满足，求通项公式？7、已知数列满足，求数列的通项公式。8、已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项109、设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)a-na+an+1·an=0(n=1,2,3,…)，求它的通项公式.10、数列的前n项和为，且，＝，求数列的通项公式.答案：1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.类型三：待定常数法可将其转化为，其中，则数列为公比等于A的等比数列，然后求即可。例1在数列中，，当时，有，求数列的通项公式。解析：设，则，于是是以为首项，以3为公比的等比数列。【类型三专项练习题】1、在数列中，，，求数列的通项公式。2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式3、已知数列{a}中，a=1，a=a+1求通项a．4、在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式.5、在数列{an}中，求.6、已知数列满足求数列的通项公式.7、设二次方程x-x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用表示a；（2）求证：数列是等比数列；10（3）当时，求数列的通项公式8、在数列中，为其前项和，若，，并且，试判断是不是等比数列？答案：1.2.3.4.5.6.7.(1)(3)8.是类型四：可将其转化为-----（*）的形式，列出方程组,解出还原到（*）式，则数列是以为首项，为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出。例1在数列中，，，且求数列的通项公式。解析：令得方程组解得则数列是以为首项，以2为公比的等比数列评注：在中，若A+B+C=0,则一定可以构造为等比数列。例2已知、,,求10解析：令，整理得；两边同除以得，，令，令，得∴，故是以为首项，为公比的等比数列。，即，得【类型四专项练习题】1、已知数列中，,,，求。2、已知a1=1，a2=，=-,求数列｛｝的通项公式.3、已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。4、数列：，，求数列的通项公式。答案：1.2.3.(3)4.10类型五：（且）一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。例1设在数列中，，求数列的通项公式。解析：设展开后比较得这时是以3为首项，以为公比的等比数列即，例2在数列中，，求数列的通项公式。解析：，两边同除以得是以=1为首项，2为公差的等差数列。即例3在数列中，，求数列的通项公式。解析：在中，先取掉，得令，得，即；然后再加上得；两边同除以，得是以为首项，1为公差的等差数列。，评注：若中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。10例4已知数列满足，求数列的通项公式。解析：在中取掉待定令，则，；再加上得，，整理得：，令，则令；即；数列是以为首项，为公比的等比数列。，即；整理得类型5专项练习题：1、设数列的前n项和，求数列的通项公式。2、已知数列中，点在直线上，其中（1）令求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项；3、已知，，求。4、设数列：，求.5、已知数列满足，求通项6、在数列中，，求通项公式。7、已知数列中，,，求。8、已知数列｛a｝，a=1,n∈N，a=2a＋3n,求通项公式a．9、已知数列满足，求数列的通项公式。10、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式11、已知数列满足,求.1012、已知数列满足，，求数列的通项公式。13、已知数列满足，求数列的通项公式。14、已知，，求。15、已知中，，，求.16、已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。答案：1.2.(2)3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(3)类型六：（）倒数法例1已知，，求。解析：两边取倒数得：，设则；令；展开后得，；；是以为首项，为公比的等比数列。；即，得；10评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。【类型六专项练习题】：1、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。2、已知数列{}满足时，，求通项公式。3、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。4、设数列满足求5、已知数列{}满足a1=1，，求6、在数列中，，求数列的通项公式.7、若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．答案：1.2.3.4.5.6.7.类型七：例1已知数列前n项和.求与的关系；（2）求通项公式.解析：时，，得；时，；得。（2）在上式中两边同乘以得；是以为首项，2为公差的等差数列；；得。【类型七专项练习题】：1、数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn.求数列{an}的通项an。102、已知在正整数数列中，前项和满足，求数列的通项公式.3、已知数列{an}的前n项和为Sn=3n–2,求数列{an}的通项公式.4、设正整数{an}的前n项和Sn=，求数列{an}的通项公式.5、如果数列{an}的前n项的和Sn=,那么这个数列的通项公式?6、已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？答案：1.2.3.4.5.an=2·36.递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式，但也有规律可循；主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决，同学们应归纳、总结它们的规律，通过练习，巩固掌握它。