2023高考数学新教材数列十大微专题3-解决数列放缩问题的六大技巧(Word版附解析)
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解决数列放缩问题的六大技巧本篇主要目标是聚焦于数列放缩,常见的方法有六种,具体我将在文中以实例详细说明.类型1.利用单调性放缩例1.已知数列满足,(1)设,证明:是等比数列,并求的通项公式;(2)证明:.解析:(1)∵,则,即,又∵,所以是首项为,公比为3的等比数列,∴,故的通项公式为.(2)由(1)知,即是首项为,公比为的等比数列,∴,又∵数列单调递增,∴,故.类型2.先求和再放缩先求和再放松实质上是一类很常见的题目,这类放缩实质在考察数列求和,放缩的结果也很松,下面通过两个例子简单说明即可,分别是利用裂项相消求和与错位相减求和后放缩.例2.记为数列的前项和,已知,是公差为的等差数列.(1)求得通项公式;(2)证明:.解析:(1),所以,所以是首项为,公差为的等差数列,所以,所以.当时,,所以,即();
累积法可得:(),又满足该式,所以得通项公式为.(2).注:,则:.可以看到,裂项后一定可以得到一个估计.例3.已知等比数列为递增数列,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前n项和为,证明:.解析:(1)由题意,,解得或,因为等比数列为递增数列,所以,所以.(2)由(1)知数列的前n项和为:①,②,两式相减可得:,所以,又因为,所以,所以.类型3.先放缩通项再求和(公众号:凌晨讲数学)这一类是数列放缩问题的常考类型,相较于类型2而言,这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧,因而对很多学生来说具有挑战性,是数列放缩中的难点.此节中,我将分为如下几个点展开:第一,将通项放缩为可裂项的结构,然后裂项求和;第二,将通项放缩为等比结构(等差比结构)然后错位相减求和,总之,处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然,下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.
1.常见的裂项公式:(公众号:凌晨讲数学)例如:或者等2.一个重要的指数恒等式:次方差公式这样的话,可得:,就放缩出一个等比数列.3.糖水不等式:设,则.下面来看上面这些基本的放缩结构的应用.例4.(2013年广东)设数列的前项和为.已知,,.(1)求的值;(2)求数列的通项公式;(3)证明:对一切正整数,有.解析:(2)当时,,两式相减得整理得,即,又故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以.(公众号:凌晨讲数学)(3)当时,;当时,;当时,,此时
,综上,对一切正整数,有下面我们再看将通项放缩成等比(等差比数列)再求和完成放缩证明.例5.(2014全国2卷)已知数列满足=1,.(1)证明是等比数列,并求的通项公式;(2)证明:.解析:(1)证明:由得,又,所以是首项为,公比为3的等比数列,,因此的通项公式为(2)由(1)知,因为当时,,所以于是.所以.注:此处便是利用了重要的恒等式:次方差公式:当然,利用糖水不等式亦可放缩:,请读者自行尝试.类型4.基于递推结构的放缩1.型:取倒数加配方法.例6.(2021浙江卷)已知数列满足.记数列的前n项和为,则( )A.B.C.D.
解析:由,即根据累加法可得,,当且仅当时取等号,.一方面:.另一方面,由累乘法可得,当且仅当时取等号,由裂项求和法得:所以,即.故选:A.2.二次递推型:.,然后裂项即可完成放缩,我们以2015浙江卷为例予以说明.例7.(2015浙江卷)已知数列满足=且=-()(1)证明:1();(2)设数列的项和为,证明().分析:,累加,则可证得.解析:(1)由题意得,即,故.由得,由得,即.
(2)由题意得,所以①,由和得所以,因此②由①②得:.类型5.数列中的恒成立例8.已知数列中,,满足.(1)求数列的通项公式;(2)设为数列的前项和,若不等式对任意正整数恒成立,求实数的取值范围.解析:(1),所以是以为首项,公比为的等比数列,所以,所以.(2),若对于恒成立,即,可得即对于任意正整数恒成立,所以,令,则,所以,可得,所以,所以的取值范围为.类型6.利用导数产生数列放缩1.由不等式可得:.
例9.(2017全国3卷)已知函数.(1)若,求的值;(2)设为整数,且对于任意正整数,,求的最小值.解析:(2)由(1)知当时,,令得,从而.故,而,所以的最小值为3.2,.两个正数和的对数平均定义:对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:(此式记为对数平均不等式,取等条件:当且仅当时,等号成立.进一步,在不等式左端结合均值不等式可得:当时,即.令,则,所以①.若再利用,接下来令,,可得,②.例10.已知函数.(1)若时,,求的最小值;
(2)设数列的通项,证明:.解析:(1)综上可知,的最小值时.(2)由上述不等式①,所以,,…,.将以上各不等式左右两边相加得:,即,故,即.例12.已知函数.(1)当时,讨论的单调性;(2)当时,,求的取值范围;(3)设,证明:.(3)证明:由上述不等式②,,进一步求和可得:,即.
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