人教版八年级数学下册（第十九章 一次函数）19.1 函数（学习、上课资料）

19.1函数第19章一次函数19.1.1变量与函数 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2常量与变量函数函数自变量的取值范围与函数值函数解析式 知识点常量与变量知1－讲感悟新知1定义在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. 知1－讲感悟新知说明：(1)“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母.如在匀速运动中的速度v就是一个常量.(2)变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量.如在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量. 知1－讲感悟新知特别提醒●判断一个量是常量还是变量，应先看它是否在一个变化过程中，若在，则看它在这个变化过程中的数值是否发生改变.●指出一个变化过程中的常量时，应连同它前面的符号. 感悟新知知1－练指出下列关系中的变量和常量：(1)圆面积公式S=πr2(S表示面积，r表示半径)；(2)若等腰三角形底角度数值为x，则顶角度数值y与x的关系式是y=－2x+180；(3)在△ABC中，它的底边长a一定，底边上的高是h，则三角形的面积S=ah.例1 感悟新知知1－练解题秘方：紧扣“常量与变量”的定义进行辨识.解：(1)r，S是变量，π是常量；(2)x，y是变量，－2，180是常量；(3)S，h是变量，，a是常量.变量不能说是r2 感悟新知知1－练1-1.[中考·广东]水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr．下列判断正确的是()A.2是变量B.π是变量C.r是变量D.C是常量C 知识点函数知2－讲感悟新知2函数的定义一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 知2－讲感悟新知特别提醒函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同值，y的值可以相同. 知2－讲感悟新知说明：(1)在函数中定义的两个变量x，y是有主次之分的，变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数)；(2)函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系. 感悟新知知2－练判断下列变量之间是否是函数关系，若是，请指出自变量与自变量的函数；若不是，请说明理由.(1)y=±x；(2)y=x3；(3)2x2+y2=10；(4)y=|x|.例2解题秘方：紧扣函数定义的特征进行解答. 知2－讲感悟新知解：(1)不是函数关系，因为x每取一个值时，y有两个对应值，不满足唯一确定.(2)是函数关系，因为每一个x的值都有唯一的y值与之对应；其中x是自变量，y是自变量的函数.(3)不是函数关系，例如当x=1时，y有两个对应值，不满足定义中的“唯一确定”.(4)是函数关系，因为每一个x的值都有唯一的y值与之对应；其中x是自变量，y是自变量的函数. 感悟新知知2－练2-1.有下列等式：①3x－2y=0；②x2－y2=1；③y=；④y=|x|；⑤x=|y|.其中，y是x的函数的有()A.1个B.2个C.3个D.4个C 知识点函数自变量的取值范围与函数值知3－讲感悟新知31.自变量的取值范围(1)定义：使函数有意义的自变量取值的全体实数叫做自变量的取值范围.(2)确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使得实际问题有意义. 知3－讲感悟新知2.函数值(1)定义：如果在自变量取值范围内给定一个数值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 知3－讲感悟新知(2)求函数值及自变量值的方法：①当已知关系是函数关系时，求函数值实质就是利用代入法求代数式的值.②当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y=x2－1中，当y=0时，x=±1. 知3－讲感悟新知特别提醒●函数与函数值的区别：函数表示的是两个变量之间的一种对应关系，而函数值是一个数值.注意：自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数.●一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少时的函数值. 感悟新知知3－练求下列函数中自变量x的取值范围：例3解题秘方：紧扣“确定自变量取值范围的方法”求解. 感悟新知知3－练解：(1)函数式右边是整式，所以x的取值范围为一切实数.(2)由x－4≥0，得x≥4，所以x的取值范围是x≥4.(3)由得x≥－2且x≠0，所以x的取值范围是x≥－2且x≠0.(4)由得x=，所以x的取值范围是x=.两个部分有意义的公共部分 感悟新知知3－练3-1.求下列函数自变量的取值范围：(1)y=2x2－3；(2)y=；(3)y=－(x－3)+(x－3)0；(4)y=x－2+. 感悟新知知3－练解：(1)x取全体实数．(2)由题意得x＋2≥0且x－2≠0，解得x≥－2且x≠2.所以x的取值范围为x≥－2且x≠2.(3)由题意得x－3≠0，解得x≠3.所以x的取值范围为x≠3.(4)由题意得x≠0且x－2≠0，解得x≠0且x≠2.所以x的取值范围是x≠0且x≠2. 感悟新知知3－练已知函数y=13－4x.(1)当x=3时，对应的函数值是多少？(2)当x为何值时，函数值为2？解题秘方：紧扣“求函数值及自变量值的方法”求解.例4解题策略：已知自变量值求函数值，直接代入求值；已知函数值求自变量的值，代入函数值通过解方程求自变量的值. 感悟新知知3－练解：(1)当x=3时，y=13－4×3=1.(2)当y=2时，2=13－4x，解得x=. 感悟新知知3－练4-1.根据如图的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是－2；若输入x的值是－8，则输出y的值是()A.5B.10C.19D.21C 知识点函数解析式知4－讲感悟新知41.定义用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式. 知4－讲感悟新知2.特点(1)函数解析式是等式.(2)函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数.(3)书写函数的解析式是有顺序的.如y=2x－1表示y是x的函数，若x=2y－1，则表示x是y的函数.即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式. 知4－讲感悟新知特别提醒确定函数解析式的方法：1.认真审题，根据题意找出相等关系；2.按相等关系写出含有两个变量的等式；3.将等式变形为用含有自变量的式子表示函数的形式. 感悟新知知4－练等腰三角形ABC的周长为10cm，底边BC的长为ycm，腰AB的长为xcm.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)求x的取值范围.例5解题秘方：紧扣“函数解析式的特点”结合几何相关性质求解. 感悟新知知4－练解：(1)由题意可得2x+y=10，所以y关于x的函数解析式为y=10－2x.(2)由x，y均为线段长，可得x＞0，y＞0，即10－2x＞0.再由三角形的三边关系，得2x＞y，即2x＞10－2x.所以自变量x应满足解这个不等式组，得＜x＜5. 感悟新知知4－练误区警示：确定几何问题中自变量的取值范围时，一方面要考虑使函数解析式有意义，另一方面还要注意使几何问题有意义. 感悟新知知4－练5-1.小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q(元)与他买这种笔记本的数量x(本)之间的函数解析式是____________________________.Q＝50－8x(1≤x≤6，且x为整数) 课堂小结变量与函数函数自变量函数值常量变量 19.1函数第19章一次函数19.1.2函数的图象 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2函数的图象函数的表示方法 知识点函数的图象知1－讲感悟新知11.定义一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 知1－讲感悟新知特别提醒1.函数的图象是由一些点组成的,在描点的时候应尽可能地多选几个点，使图象更准确；2.在画图象时,应考虑自变量的取值范围. 知1－讲感悟新知2.函数图象的画法步骤(1)列表：列表给出一些自变量和函数的对应值；(2)描点：以表中各组对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点；(3)连线：按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线依次连接起来. 感悟新知知1－练已知函数y=2x－1.(1)试判断点A(－1，3)和点B是否在此函数的图象上；(2)已知点C(a，a+1)在此函数的图象上，求a的值.例1解题秘方：紧扣函数图象上的所有点与函数解析式中两个变量的一一对应关系进行解答. 感悟新知知1－练解：(1)∵当x=－1时，y=2×(－1)－1=－3≠3，∴点A不在函数y=2x－1的图象上.∵当x=时，y=2×－1=－，∴点B在函数y=2x－1的图象上.(2)∵点C(a，a+1)在函数y=2x－1的图象上，∴把点C的坐标代入y=2x－1，得a+1=2a－1，解得a=2. 感悟新知知1－练1-1.如图是护士统计一名病人的体温变化图，这名病人中午12时的体温约为()A.39.0℃B.38.2℃C.38.5℃D.37.8℃B 感悟新知知1－练(1)画出函数y=2x－1的图象；(2)判断点(5，9)，(7，15)是否在此函数的图象上.解题秘方：紧扣“画函数图象的画法步骤”进行作图.例2 感悟新知知1－练解：(1)列表：x…－3－2－10123…y…－7－5－3－1135… 感悟新知知1－练描点、连线就得到函数y=2x－1的图象(如图19.1-4). 感悟新知知1－练(2)当x=5时，y=2×5－1=9，所以点(5,9)在此函数的图象上.当x=7时，y=2×7－1=13≠15,所以点(7,15)不在此函数的图象上. 感悟新知知1－练2-1.在同一平面直角坐标系中画出函数y1=x和y2=x2的图象.解：由函数解析式可知自变量x的取值范围是全体实数．列表：x…－2－1012…y1…－2－1012…y2…41014… 感悟新知知1－练描点：将表中各自变量和对应的函数值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标系中描出各点．连线：用平滑的曲线按自变量由小到大的顺序把所描的点连接起来，如图所示的直线和曲线分别为y1＝x和y2＝x2的图象． 知识点函数的表示方法知2－讲感悟新知2函数的三种表示方法特别提醒根据实际问题列函数解析式的方法类似于列方程解应用题,只要找出自变量与函数之间存在的等量关系,列出等式即可.但要整理成用含自变量的代数式表示函数的形式. 知2－讲感悟新知表示方法定义优点缺点解析式法用数学式子表示函数关系的方法叫做解析式法.其中的等式叫做函数解析式能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系从函数解析式很难直观看出函数的变化规律,而且有些函数不能用解析式法表示出来 知2－讲感悟新知列表法通过列出自变量的值与函数的对应值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法一目了然,对表格中已有自变量的每一个值,可直接查出函数的对应值列出的对应值是有限的,而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律图象法用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值 感悟新知知2－练一水箱中有水500L，现在往外放水,每分钟放水50L，请用三种不同的方法表示水箱中剩余水量y(L)与放水时间t(min)之间的函数关系.解题秘方：紧扣“剩余水量=原水量－放出水量”用三种方法表示函数关系.例3 知2－讲感悟新知解：(1)解析式法：解析式为y=500－50t(0≤t≤10).(2)列表法：表格如下：t/min01234…78910y/L500450400350300…150100500 知2－讲感悟新知(3)图象法：图象如图19.1-4所示. 感悟新知知2－练3-1.一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶，试用不同的方法表示汽车行驶距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系. 知2－讲感悟新知解：(1)解析式法：s＝60t(t≥0)．(2)列表法：表格如下：t/h00.511.522.53…s/km0306090120150180… 知2－讲感悟新知(3)图象法：如图所示． 课堂小结函数的图象函数的图象定义表示方法解析法列表法图象法画法列表描点连线