八年级数学（第十九章 四边形）19.1 多边形内角和（沪科版 学习、上课资料）

19.1多边形内角和第十九章四边形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2多边形及其相关概念多边形的内角和多边形的外角和四边形的不稳定性 知1－讲感悟新知知识点多边形及其相关概念11.多边形的定义 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.(1)表示方法：表示多边形时，先写出多边形的名称，后面顺次写出多边形的顶点字母. 知1－讲感悟新知(2)分类：多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形. 感悟新知知1－讲特别解读多边形的三个必要条件：1.线段在“同一平面内”；2.线段“不在同一直线上”且条数不少于3；3.首尾顺次相接. 感悟新知2.相关概念(1)边：组成多边形的线段叫做多边形的边.(2)顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.(3)内角：多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角.(4)外角：在顶点处一边与另一边的延长线组成的角叫做多边形的外角.(5)对角线：多边形中连接不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.知1－讲 感悟新知3.凸多边形 一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形就是凸多边形，否则就是凹多边形.本书只讨论凸多边形.知1－讲 感悟新知4.正多边形 多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形.知1－讲 感悟新知知1－讲特别解读正多边形必备的两个条件：(1)各个内角都相等；(2)各条边都相等.说明:若一个多边形的各个内角都相等或各条边都相等，则它不一定是正多边形. 知1－练感悟新知下列说法中，正确的有()①三角形是边数最少的多边形；②等边三角形和长方形都是正多边形；③n边形有n条边、n个顶点、n个内角和n个外角；④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条.A.1个B.2个C.3个D.4个例1 知1－练感悟新知解：①三角形是边数最少的多边形，正确；②等边三角形是正多边形，但长方形不是正多边形，不正确；③n边形有n条边、n个顶点、n个内角和2n个外角，不正确；④根据对角线的定义画出六边形的对角线，从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条，正确.解题秘方：利用多边形的有关概念进行辨析.答案：B 感悟新知知2－讲知识点多边形的内角和21.定理n边形的内角和等于(n－2)·180°(n为不小于3的整数). 知2－讲感悟新知知识储备1.多边形有几条边就是几边形，且顶点个数、内角个数均与边数相等，外角个数等于边数的2倍.2.从n边形的一个顶点出发，可以画(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形，n边形一共有条对角线. 感悟新知知2－讲2.多边形内角和公式的常见应用(1)已知多边形的边数，求内角和；(2)已知多边形的内角和，求边数；(3)求正n边形每个内角的度数，公式为；(4)已知n边形每个内角的度数，且度数都相等，求边数． 感悟新知知2－练在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°.(1)如图19.1－1①，若∠B=∠C,试求出∠C的度数；(2)如图19.1－1②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数.例2 知2－练感悟新知解题秘方：紧扣多边形的内角和公式及平行线的性质求出相关角的度数. 知2－练感悟新知解：(1)∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°，∠B=∠C，∠A=140°，∠D=80°，∴∠B=∠C===70°. 知2－练感悟新知(2)∵BE//AD，∠D=80°，∠A=140°，∴∠BEC=∠D=80°，∠ABE=180°－∠A=180°－140°=40°.又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABE=40°.∴∠C=180°－∠EBC－∠BEC=180°－40°－80°=60°. 知2－练感悟新知特别解读1.从n边形的内角和公式(n－2)×180°可知n边形的内角和一定是180°的整数倍.2.多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180°. 知2－练感悟新知解法提醒运用多边形的内角和公式可以求出任何一个多边形的内角和. 感悟新知知2－练根据下列条件求多边形的边数：(1)多边形的内角和是1620°；(2)正多边形的每个内角均为120°.例3解题秘方：根据多边形内角和公式列出方程求解. 知2－练感悟新知(2)(n－2)·180°=120°n，解得n=6.故正多边形的边数为6.解：设多边形的边数为n，根据题意得：(1)(n－2)·180°=1620°，解得n=11.故多边形的边数为11.已知内角和，设出边数n，利用内角和公式列出方程求边数n 知2－练感悟新知解法提醒在解决多边形的内角和问题时，有两个隐含的关键条件：一是多边形的每一个内角的度数都大于0°且小于180°；二是多边形的边数n的取值范围是n≥3且n为整数. 知2－练感悟新知特别提醒一个多边形(除三角形外)截去一个角后，按不同的截法可得到边数不同的三种多边形，即边数增加1，边数不变，边数减少1.以五边形为例，如图19.1－2所示. 感悟新知知2－练一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2880°，则原多边形的边数是多少？例4解题秘方：紧扣截去一个角后所得的多边形与原多边形相比，边数变化的规律求解. 知2－练感悟新知解：设新多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)×180°=2880°，解得n=18.∵新多边形与原多边形相比，边数可能增加1，可能不变，也可能减少1，∴原多边形的边数是17、18或19. 感悟新知知3－讲知识点多边形的外角和31.定理n边形的外角和等于360°(n为不小于3的整数).多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推导出的.n边形的外角和=n×180°－(n－2)×180°=360°. 感悟新知知3－讲2.常见应用(1)已知外角度数求正多边形的边数；(2)已知正多边形的边数求外角度数，所用公式为. 知3－讲感悟新知特别解读1.多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和.2.多边形的外角和恒等于360°，与边数多少无关. 知3－练感悟新知根据下列条件解决问题：(1)一个多边形的各个内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数；(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于30°，求这个正多边形的边数.例5 知3－练感悟新知解题秘方：根据多边形的内角与外角的关系及外角和定理计算. 知3－练感悟新知(2)∵多边形的外角和为360°，∴360°÷30°=12.故这个正多边形的边数为12.解：(1)设该多边形的边数为n.根据多边形的外角和为360°，得n×72°=360°，解得n=5．∴该多边形的边数为5. 知3－练感悟新知解法提醒多边形的各内角相等，从而各外角也相等，已知其中一个外角的度数，由多边形的外角和是360°，即可得出边数． 感悟新知知4－讲知识点四边形的不稳定性4和三角形不同，即使四边形的边长确定，它的形状也不能确定，我们把四边形的这个性质称为四边形的不稳定性. 感悟新知知4－讲提示(1)四边形的不稳定性即其形状的不确定性，有它有利的一面，也有它不利的一面，我们应充分利用它有利的一面为生活服务.(2)生活中四边形的不稳定性有着广泛的应用，如电动伸缩门、伸缩衣架等. 知4－讲感悟新知为了避免四边形的不稳定性给生活带来影响，通常可以把四边形相对的两个顶点(或相邻边上的两点)用线段相连，即利用三角形的稳定性克服四边形的不稳定性. 感悟新知知4－练在房屋建设过程中，四边形的木质门框容易变形，是因为______________________；在实际生活中木匠师傅通常都是采用在木质门框上斜钉木条的方式来防止门框变形的，这样做的道理是________________________.例6 知4－练感悟新知解题秘方：紧扣三角形的稳定性及四边形的不稳定性解释现象. 知4－练感悟新知答案：四边形具有不稳定性；三角形具有稳定性解：边形的木质门框容易变形，是因为四边形具有不稳定性，而斜钉上木条后，则利用了三角形的稳定性，固定了四边形的四条边的位置，从而避免四边形变形. 知4－练感悟新知方法点拨将不稳定的多边形转化为稳定图形的方法就是让转化的图形的每一个组成部分都成为三角形，常用的转化方法是作多边形从同一顶点出发的对角线. 多边形内角和定义对角线多边形内角外角正多边形内角和外角和