八年级数学（第十五章 一次函数）15.1 轴对称图形（沪科版 学习、上课资料）

15.1轴对称图形第十五章轴对称图形与等腰三角形 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2轴对称图形轴对称线段的垂直平分线轴对称的性质平面直角坐标系中的轴对称 知1－讲感悟新知知识点轴对称图形11.定义如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称. 感悟新知知1－讲特别解读轴对称图形的三个条件：1.一个整体图形；2.一条直线：对称轴；3.直线两旁的部分完全重合. 感悟新知2.几种常见的轴对称图形及对称轴知1－讲名称图形对称轴对称轴条数线段线段本身所在直线和过线段中点的垂线2角角平分线所在的直线1等腰三角形底边上的高所在直线1等边三角形各条边上的高所在直线3 感悟新知知1－讲名称图形对称轴对称轴条数长方形经过对边中点的直线2正方形(1)经过对边中点的直线(2)对角线所在的直线4圆经过圆心的任意一条直线无数正n边形n为奇数：过顶点与对边中点的直线；n为偶数：过两条对边中点的直线或过相对顶点的直线n 感悟新知知1－讲温馨提示1.轴对称图形是一个图形自身的特性，它被对称轴分成的两部分能够完全重合，其对称点在同一图形上.2.对称轴是一条直线，而不是射线或线段.3.一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条. 知1－练感悟新知［中考·鄂州］孙权于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意，改鄂县为武昌，图15.1-1所示的四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是()例1 知1－练感悟新知解：A.不是轴对称图形；B.不是轴对称图形；C.不是轴对称图形；D.是轴对称图形．解题秘方：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断．答案：D 知1－练感悟新知方法点拨：识别轴对称图形的关键是寻找到对称轴，若存在一条直线使图形沿此直线折叠后的两部分可完全重合，即可确定这个图形是轴对称图形，否则就不是轴对称图形． 感悟新知教你一招判断一个图形或图案是不是轴对称图形的方法：根据图形的特征，尝试找到一条直线，使这个图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合.知1－练 感悟新知知2－讲知识点轴对称21.定义平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿着这条直线折叠，这两个图形能够重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴.折叠后重合的两点叫做对应点(也叫对称点). 知2－讲感悟新知特别解读◆轴对称的三个条件：1.有两个图形；2.存在一条直线；3.一个图形沿着这条直线折叠后与另一个图形重合.◆轴对称的两个特性：1.成轴对称的两个图形全等.但全等的两个图形不一定成轴对称.2.轴对称是图形的一种全等变换. 感悟新知知2－讲2.轴对称与轴对称图形的区别与联系名称轴对称轴对称图形区别对象不同两个图形一个图形意义不同两个图形的特殊位置关系一个具有特殊形状的图形对称点位置不同对称点分别在两个图形上对称点在同一个图形上 感悟新知知2－讲区别对称轴位置不同两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点)轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部对称轴数量不同只有一条对称轴有一条或多条联系(1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠(2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称 感悟新知知2－练［期末·北京朝阳区］如图15.1-2，下面镜子里哪个是他的像？()A.①B.②C.③D.④例2 知2－练感悟新知答案：B解题秘方：镜面对称的实质就是把平面镜看成对称轴，若平面镜两旁的图形能对称，则根据定义就可得出答案．解：由轴对称的定义，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有②与原图形成镜面对称． 感悟新知方法点拨以平面镜为对称轴的轴对称，而识别轴对称的方法：1.定义法：紧扣定义中的“两个图形，一条直线，完全重合”.2.反面观察法：从纸的反面观察图形，若观察到的和正面一样，就是轴对称.知2－练 感悟新知知3－讲知识点线段的垂直平分线31.定义经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线. 感悟新知知3－讲2.几何语言如图15.1-3，∵DC⊥AB，AC=BC，∴DC是AB的垂直平分线.反过来也成立：∵DC是AB的垂直平分线，∴DC⊥AB，AC=BC. 知3－讲感悟新知特别解读1.线段的垂直平分线必须满足两个条件：(1)经过线段的中点；(2)垂直于这条线段.两者缺一不可.2.线段的垂直平分线的定义反过来也成立. 知3－练感悟新知如图15.1-4，直线AE是线段BC的垂直平分线，垂足为E，D是直线AE上任意一点，求证：∠ABD=∠ACD.例3解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的定义进行解答. 知3－练感悟新知证明：∵直线AE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，AE⊥BC.∴∠AEB=∠AEC=90°.在Rt△ABE和Rt△ACE中，∴Rt△ABE≌Rt△ACE.(SAS)∴∠ABE=∠ACE.同理可证∠DBE=∠DCE.∴∠ABE-∠DBE=∠ACE－∠DCE，即∠ABD=∠ACD. 感悟新知解法提醒◆由直线AE是线段BC的垂直平分线得出BE=CE，AE⊥BC.这两个结论有时根据证题需要可只写出其中一个结论.◆若要证AE是线段BC的垂直平分线，则必须同时具备BE=CE，AE⊥BC这两个条件.知3－练 感悟新知知4－讲知识点轴对称的性质41.轴对称的性质如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，如图15.1-5.特别地：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行或者重合或者相交于某一点，且该点一定在对称轴上. 感悟新知知4－讲2.反之成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 知4－讲感悟新知特别解读1.轴对称图形或成轴对称的两个图形的对应线段、对应角相等；2.轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，并且这两部分关于对称轴成轴对称.成轴对称的两个图形也全等，但全等的两个图形不一定成轴对称. 感悟新知知4－练［模拟·深圳］如图15.1-6，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB=7，AC=9，BC=12，则△DBE的周长为()A.9B.10C.11D.12例4 知4－练感悟新知解题秘方：根据轴对称的性质得到AD=DE，AC=CE，结合已知条件和三角形周长公式解答. 知4－练感悟新知答案：B解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD=DE，AC=CE=9.∵AB=7，AC=9，BC=12，∴△DBE的周长=BD+DE+BE=BD+AD+BC－AC=AB+BC－AC=7+12－9=10． 感悟新知解法提醒轴对称的性质中关键有两点：一是对应图形的全等性，根据全等的性质可得到对应的边、角相等；二是对称轴的垂直平分性.揭示对称轴与对应点所连线段之间的位置关系.知4－练 感悟新知知4－练如图15.1-7，△ABC中，D，E，F三点分别在AB，BC，AC上，且四边形BEFD是以DE为对称轴的轴对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的轴对称图形．若∠C=40°，则∠DFE的度数为()A.65°B.70°C.75°D.80°例5 知4－练感悟新知解题秘方：根据轴对称的性质可得∠BED=∠DEF=∠CEF，∠EDF=∠C=40°，据此可得∠DEF=60°，再根据三角形的内角和定理可得∠DFE的度数． 知4－练感悟新知答案：D解：∵四边形BEFD是以DE为对称轴的轴对称图形，四边形CFDE是以FE为对称轴的轴对称图形，∴∠BED=∠DEF=∠CEF==60°，∠EDF=∠C=40°.∴∠DFE=180°－∠DEF－∠EDF=80°. 感悟新知解法提醒利用轴对称的性质求线段的长度或角的度数的方法：先根据成轴对称的特征确定两个图形的对应边、对应角，再运用轴对称的性质(对应边相等，对应角相等)，把要求的边或角与已知的对应边或对应角建立联系，从而求出待求的线段的长度或角的度数.知4－练 感悟新知知5－讲知识点平面直角坐标系中的轴对称51.关于坐标轴对称的点的坐标规律(1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数. 知5－讲感悟新知特别解读1.关于坐标轴对称的点的坐标规律可简记为：横对称，横不变，纵相反；纵对称，纵不变，横相反.2.关于坐标轴对称的点的坐标只有符号不同，其绝对值相同. 感悟新知知5－讲2.关于非坐标轴对称的点的坐标规律(1)点(a，b)关于直线x=m对称的点为(2m－a，b)；(2)点(a，b)关于直线y=n对称的点为(a，2n－b)；(3)点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b). 感悟新知知5－练已知点A(2a+b，5+a)，B(2b－1，－a+b).(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；(2)若点A，B关于y轴对称，求(4a+4b)2023的值.例6 知5－练感悟新知解题秘方：根据关于坐标轴对称的点的坐标规律列出方程组求解即可. 知5－练感悟新知解：(1)∵点A，B关于x轴对称，∴解得(2)∵点A，B关于y轴对称，∴解得∴(4a+4b)2023=(－7+6)2023=(－1)2023=－1. 感悟新知教你一招利用方程思想解关于坐标系中对称点的思路：运用方程思想，根据题意列出方程(组)是关键.若点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)关于x轴对称，则a1=a2，b1+b2=0；若点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)关于y轴对称，则a1+a2=0，b1=b2.知5－练 感悟新知知5－练△ABC在平面直角坐标系中的位置如图15.1-8，已知点A，B，C三点在格点上，请分别画出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形，并写出对称图形顶点的坐标.例7 知5－练感悟新知解题秘方：利用关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，作出△ABC三个顶点关于x轴、y轴的对称点，然后连接各对称点即可. 知5－练感悟新知解：△ABC关于x轴和y轴对称的图形分别为△A′B′C′和△A″B″C″，如图15.1-8.∵△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，－1)，∴根据关于坐标轴对称的点的坐标特征可得A′(－3，－1)，B′(－1，0)，C′(－2，1)，A″(3，1)，B″(1，0)，C″(2，－1). 感悟新知教你一招在坐标系中作成轴对称的图形的思路：思路一：先求出特殊点的对称点的坐标，描出各对称点，再连接各对称点，所得到的图形即为符合条件的图形；思路二：先作出特殊点的对称点，再连接对称点，所得图形即为所求图形.知5－练 轴对称图形对称轴任何一对对应点所连线段的垂直平分线轴对称图形轴对称