八年级数学（第十二章 一次函数）12.1 函数（沪科版 学习、上课资料）

12.1函数第十二章一次函数 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2常量与变量函数列表法和解析法图象法 知1－讲感悟新知知识点常量与变量11.定义在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. 感悟新知知1－讲特别提醒判断一个量是常量还是变量，应先看它是否在一个变化过程中，若在，则看它在这个变化过程中数值是否发生改变. 感悟新知说明：(1)“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母.如在匀速运动中的速度v就是一个常量.(2)变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量.如在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量.知1－讲 感悟新知2.判断一个量是常量还是变量的方法看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变(或者说是否会取不同的数值)，若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量.知1－讲 感悟新知注意：(1)常量与变量只与在某一个变化过程中的数值是否发生改变有关.(2)变量、常量与字母的指数没有关系，如y=100－2x2中，x，y是变量，而不能说x2是变量.知1－讲 知1－练感悟新知分别指出下列关系中的变量和常量：(1)圆面积公式S=πr2(S表示面积，r表示半径)；(2)若等腰三角形底角度数值为x，则顶角度数值y与x的关系式是y=－2x+180；(3)在三角形ABC中，它的底边长a一定，底边上的高是h，则三角形的面积S=ah.例1 知1－练感悟新知解：(1)r，S是变量，π是常量.(2)x，y是变量，－2，180是常量.(3)S，h是变量，，a是常量.解题秘方：紧扣“常量与变量”的定义进行辨识. 知1－练感悟新知特别警示常量与变量是以某一变化过程中该量的值是否发生改变，即该量是否会取不同的数值作为识别标准的.不要误认为常量必须为具体的数，表示不变量的字母，也可以作为常量. 感悟新知知2－讲知识点函数2函数的定义一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数. 知2－讲感悟新知特别提醒函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同值，y的值可以相同，如：函数y=x2，当x=1和x=－1时，y的对应值都是1. 感悟新知知2－讲说明：(1)在函数中定义的两个变量x，y是有主次之分的，变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数)；(2)函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系. 感悟新知知2－讲2.判断一个关系是否是函数关系的方法一看是否在一个变化过程中；二看是否存在两个变量；三看对于变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应.以上三者(简称“三要素”)缺一不可. 感悟新知知2－讲3.函数值如果在自变量取值范围内给定一个数值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 知2－讲感悟新知特别提醒1.函数与函数值的区别：函数表示的是两个变量之间的一种对应关系，而函数值是一个数值.2.一个函数的函数值是着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少时的函数值. 感悟新知知2－练例2判断下列各式中y是否是x的函数，并说明理由.(1)y=±x；(2)y=x3；(3)2x2+y2=10；(4)y=|x|. 知1－练感悟新知解：(1)y不是x的函数，因为x每取一个值时，y有两个对应值，不满足唯一确定；(2)y是x的函数，因为每一个x的值都有唯一的y值与之对应.解题秘方：紧扣函数定义的特征进行解答. 知1－练感悟新知(3)y不是x的函数，例如当x=1时，y有两个对应值，不满足唯一确定；(4)y是x的函数，因为每一个x的值都有唯一的y值与之对应. 知2－练感悟新知判断两个变量是否具有函数关系，只需看它是否符合定义中的“三要素”即可，但要注意两点：1.对于自变量x取不同的数值，与之对应的y的值不一定不同，只要有唯一值与之对应即可.2.不能只看是否有关系式存在，有些函数关系是没有关系式的(如心电图中的时间与生物电流的关系). 感悟新知知3－讲知识点列表法和解析法3列表法和解析法 感悟新知知3－讲表示方法定义优点缺点列表法通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法一目了然，由表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与它对应的函数值列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律解析法用数学式子表示函数关系的方法叫解析法.其中的等式叫做函数表达式(或函数解析式)能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系求对应的函数值时，往往要经过比较复杂的计算，而且有些函数不能用解析法表示出来 感悟新知知3－讲2.自变量的取值范围(1)定义：使函数有意义的自变量取值的全体实数叫做自变量的取值范围.(2)确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义.注意：自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数. 感悟新知知3－讲3.求函数值及自变量值的方法(1)当已知的是函数关系式时，求函数值的实质就是利用代入法求代数式的值；(2)当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y=x2－1中，当y=0时，x=±1. 知3－讲感悟新知特别提醒对于实际问题中的函数关系，函数值与自变量的值都要使实际问题有意义. 知3－练感悟新知例3求下列函数中自变量x的取值范围.(1)y＝3x＋7；(2)y＝；(3)y＝.解题秘方：紧扣“确定自变量取值范围的方法”求解. 知3－练感悟新知解法提醒常见函数自变量的取值范围的确定类型取值范围整式型全体实数分式型使分母不为0的实数偶次根式型使根号下的式子的值大于或等于0的实数零次型使幂的底数不为0的实数综合型使各部分都有意义的实数的公共部分 知3－练感悟新知解：(1)函数表达式右边是整式，所以x的取值范围为全部实数；(2)由得x≥－2且x≠0，所以x的取值范围是x≥－2且x≠0；(3)由得x=，所以x的取值范围是x=. 感悟新知知3－练已知函数y=13－4x.(1)当x=3时，对应的函数值是多少？(2)当x为何值时，函数值为2？例4 知3－练感悟新知解法提醒求函数值的一般步骤：1.明确自变量的取值；2.将自变量的取值代入函数表达式；3.按照函数表达式指明的运算顺序进行计算. 知3－练感悟新知解题秘方：紧扣“求函数值及自变量值的方法”求解.解：(1)当x=3时，y=13－4×3=1.(2)当y=2时，2=13－4x，解得x=. 感悟新知知3－练等腰三角形ABC的周长为10cm，底边BC的长为ycm，腰AB的长为xcm.(1)写出y关于x的函数表达式；(2)求x的取值范围.例5 知3－练感悟新知解题秘方：紧扣“函数表达式的特点”结合几何相关性质求解. 知3－练感悟新知方法点拨1.求几何问题的函数表达式，实质上是建立几何中两个变量之间的数量关系，要熟悉一些常用的几何关系式.如：圆的周长与半径的关系式，立方体的体积与棱长的关系式等.2.确定自变量的取值范围时，一方面要考虑使函数表达式有意义，另一方面还要注意使几何问题有意义. 知3－练感悟新知解：(1)由题意可得2x+y=10，所以y关于x的函数表达式为y=10－2x. 知3－练感悟新知(2)由x，y均为线段长，可得x＞0，y＞0，即10－2x＞0.再由三角形三边关系，得2x＞y，即2x＞10－2x，所以自变量x应满足解这个不等式组，得＜x＜5.所以x的取值范围为＜x＜5. 感悟新知知4－讲知识点图象法41.定义一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象． 知4－讲感悟新知特别提醒1.函数图象上的任意点P(x，y)中的x，y都满足函数表达式.2.满足函数表达式的任意一个有序实数对(x，y)所对应的点一定在函数的图象上.3.函数图象上的所有点的坐标满足函数表达式.它们是函数中的两个变量间的关系的两种不同(一种是“形”，一种是“数”)的呈现方式. 感悟新知知4－讲2.函数图象的画法步骤(1)列表：列表给出自变量和函数的一些对应值.(2)描点：以表中各组对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点.(3)连线：按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑曲线依次连接起来. 感悟新知知4－讲注意：(1)函数的图象是由一些点组成的,在描点的时候应尽可能地多选几个点，使图象更准确；(2)在画图象时,应考虑自变量的取值范围. 感悟新知知4－讲3.图象法表示方法定义优点缺点图象法用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 感悟新知知4－练已知函数y=2x－1.(1)画出函数y=2x－1的图象；(2)试判断点A(－1，3)和点B(，－)是否在此函数的图象上；(3)已知点C(a，a+1)在此函数的图象上，求a的值.例6 知4－练感悟新知解题秘方：紧扣“函数图象的画法步骤”进行作图，利用函数图象上的所有点的坐标满足函数表达式进行解答. 知4－练感悟新知解：(1)列表：描点、连线就得到函数y=2x－1的图象(如图12.1-1).x…－3－2－10123…y…－7－5－3－1135… 知4－练感悟新知(2)因为当x=－1时，y=2×(－1)－1=－3≠3，所以点A不在函数y=2x－1的图象上.因为当x=时，y=2×－1=－，所以点B在函数y=2x－1的图象上.(3)因为点C(a，a+1)在函数y=2x－1的图象上，所以把x=a，y=a+1代入y=2x－1，得a+1=2a－1.解得a=2. 知4－练感悟新知作法提醒1.列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边取值，取值要有代表性，使画出的函数图象能反映出函数的全貌.2.描点体现了“数”与“形”的联系，是数形结合思想的体现，描点时要以表中每对对应值为坐标，点描得越多，图象就越精确.3.连线时要用平滑的曲线将所描的点依次连接. 感悟新知知4－练一水箱中有水500L，现在往外放水,每分钟放水50L，请用三种不同的方法表示水箱中剩余水量y(L)与放水时间t(min)之间的函数关系.例7 知4－练感悟新知解题秘方：紧扣“等量关系：剩余水量=原水量－放出水量”用三种方法表示函数关系. 知4－练感悟新知解：(1)解析法：表达式为y=500－50t(0≤t≤10).(2)列表法：表格如下.t/min01234…78910y/L500450400350300…150100500 知4－练感悟新知(3)图象法：图象如图12.1-2所示. 知4－练感悟新知特别提醒本题中纵轴和横轴表示的是不同意义的量，因此两轴可以取不同的单位长度.不论用哪种表示方法都要注意自变量的取值要符合实际意义. 函数列表法画函数图象的步骤函数常量变量自变量因变量解析法图象法函数值