七年级数学（第十章 实数）10.2 平行线的判定（沪科版 学习、上课资料）

10.2平行线的判定第十章相交线、平行线与平移 学习目标课时讲解1平行线的定义及画法基本事实及其推论同位角、内错角、同旁内角平行线的判定的基本事实平行线的判定方法2平行线的判定方法3平行线判定方法的推论 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时流程2 知识点平行线的定义及画法知1－讲感悟新知11.定义在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.特别提醒：平行线的定义三要素：(1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线. 知1－讲感悟新知2.表示方法：用“∥”表示平行，如图10.2-1，记作“AB∥CD”或“CD∥AB”，读作“AB平行于CD”或“CD平行于AB”. 知1－讲感悟新知特别解读1.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系：●相交；●平行.2.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.3.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线. 感悟新知知1－练读下列语句，并画出图形.直线AB，CD是两条直线，P是直线AB，CD外的一点，直线EF经过点P与AB平行，直线MN经过点P与CD垂直.例1 感悟新知知1－练解题秘方：按照语句的要求，结合平行线的画法进行作图.解法提醒根据语句画图时，要注意画出的图形符合语句的要求，若语句中没有说清楚的，要考虑各种情况，如本题中AB，CD之间没有指明位置关系，所以画图时可以平行也可以相交. 感悟新知知1－练解：如图10.2-2所示. 知识点基本事实及其推论知2－讲感悟新知21.基本事实经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线.特别提醒：基本事实的前提是经过直线外一点，若点在直线上，则不可能有平行线.特别解读“有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性. 知2－讲感悟新知2.推论如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.简称：平行于第三条直线的两条直线平行.表达方式：如果a∥c，b∥c，那么a∥b. 感悟新知知2－练如图10.2-3，直线a∥b，b∥c，d与a相交于点M.(1)试判断直线a，c的位置关系，并说明理由；(2)判断c与d的位置关系，并说明理由.解题秘方：根据平行公理及其推论判定两条直线的位置关系.例2 知2－讲感悟新知方法点拨判定两条直线平行的方法：●若涉及相交问题，则用平行线的定义；●若涉及三条直线的位置关系问题，则用平行公理的推论，较常用的方法是平行公理的推论. 感悟新知知2－练解：(1)因为a∥b，b∥c，所以a∥c.理由：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.(2)因为直线a，d都过点M，且a∥c，所以d与c相交.理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 感悟新知知3－讲知识点同位角、内错角、同旁内角31.“三线八角” 两条直线被第三条直线所截形成八个角，习惯上称为“三线八角”，它们构成了同位角、内错角、同旁内角.如图10.2-4所示，两条直线a和b被第三条直线l所截. 感悟新知知3－讲2.同位角、内错角、同旁内角的定义(1)∠1与∠5在截线l的同旁，又都在被截直线a和b相同的一侧，具有这样位置关系的一对角叫同位角.再如∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8.(2)∠5与∠3在截线l的两旁，且在被截直线a，b之间，具有这样位置关系的一对角叫内错角.再如∠4与∠6.(3)∠5与∠4在截线l的同旁，且在被截直线a，b之间，具有这样位置关系的一对角叫同旁内角.再如∠3与∠6. 知3－讲感悟新知特别解读识别同位角、内错角、同旁内角，第一步是要分清截线和被截线(两个角的公共边所在的直线为截线，另两条线为被截线)；第二步是根据两角在截线和被截线的具体位置，结合各类位置角的定义确定它们的具体关系.在截线同旁(同侧)找同位角(两个角都在被截线的上方或 知3－讲感悟新知下方，形似字母“F”)、同旁内角(两个角在被截线之间(内)，形似字母“U”).在截线不同旁(两侧)找内错角、即两条被截线之间、截线两侧(错开)，形似字母“Z”. 知3－练感悟新知如图10.2-5，结合图形解答下列问题：(1)∠1与∠2是直线______和直线_____被第三条直线____所截而成的____角；(2)∠2与∠3是直线_______和直线_______被第三条直线____所截而成的_____角；(3)∠4与∠A是直线_______和直线______被第三条直线___所截而成的_____角.例3 知3－练感悟新知解题秘方：根据同位角、内错角和同旁内角的定义确定答案.解：(1)∠1与∠2都有一条边在直线BC上，另一条边分别在直线CE，AB上，两角都在直线BC的上方，分别在直线CE，AB的右侧，所以∠1与∠2是直线CE和直线AB被直线BC所截而成的同位角； 知3－练感悟新知(2)∠2与∠3都有一条边在直线BC上，另一条边分别在直线AB，AC上，两角都在直线BC的上方，在直线AB，AC之间，所以∠2与∠3是直线AB和直线AC被直线BC所截而成的同旁内角；(3)∠4与∠A都有一条边在直线AC上，另一条边分别在直线CE，AB上，两角分别在直线AC的两侧，在直线CE，AB之间，所以∠4与∠A是直线CE和直线AB被直线AC所截而成的内错角. 知3－练感悟新知答案：(1)CE；AB；BC；同位(2)AB；AC；BC；同旁内(3)CE；AB；AC；内错 知3－练感悟新知方法点拨识别同位角、内错角和同旁内角的方法：1.定义法：一看三线、二找截线、三查位置来分辨，这三种角的共同特征是：一对边共线，不共顶点，另一对边分别在两条直线上，再根据位置关系确定是哪种角；2.分离图形法：通过分离图形，把每一对角从复杂图形中分离出来，观察分离出的角的形状结构特征，按定义法加以区分； 知3－练感悟新知3.特征法：把相关的一对角用彩笔描出，看其是否符合“F”“Z”“U”形特征；4.方位法：同位角：同左、同上；同左、同下；同右、同上；同右、同下；内错角：同内、异侧；同旁内角：同内、同侧. 知识点平行线的判定判定的基本事实知4－讲感悟新知41.基本事实两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行. 知4－讲感悟新知特别解读：(1)构成同位角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对同位角相等，这两条被截线才平行.(2)“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系(相等)推导出两直线的位置关系(平行).它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁. 知4－讲感悟新知2.表达方式：如图10.2-6，因为∠1=∠2(已知)，所以a∥b(同位角相等，两直线平行). 知4－讲感悟新知特别解读判定两直线平行的方法●直线的位置关系：(1)同一平面内不相交的两条直线平行.(2)同平行于第三条直线的两条直线平行.●角的大小关系：同位角相等，两直线平行. 感悟新知知4－练如图10.2-7，已知直线AB，CD被直线EF所截，∠1+∠2=180°，AB与CD平行吗？请说明理由.例4 知4－练感悟新知解法提醒判断两条直线是否平行，当题中涉及角的关系时，则可通过找出这两条直线被第三条直线所截得到的一对同位角，并利用相关角的条件判断其是否相等，如果相等，那么这两条直线平行，否则不平行.解题秘方：找出一对同位角，通过已知条件说明这对同位角相等来说明两条直线平行. 感悟新知知4－练解：AB∥CD.理由如下：因为∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，所以∠1=∠3(同角的补角相等).所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 知识点平行线的判定方法2知5－讲感悟新知51.方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行. 知5－讲感悟新知特别解读：(1)“内错角相等，两直线平行”是利用“对顶角相等”和“同位角相等，两直线平行”推导得出的.(2)利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到的内错角，再说明这两条直线平行. 知5－讲感悟新知2.表达方式：如图10.2-8，因为∠1=∠2(已知)，所以a∥b(内错角相等，两直线平行). 知5－讲感悟新知特别提醒构成内错角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对内错角相等，这两条被截线才平行. 感悟新知知5－练如图10.2-9，已知∠ADE=60°，DF平分∠ADE，∠1=30°，试说明DF∥BE.例5解题秘方：先找出DF和BE被DE这两条被截线形成的一对内错角，然后利用条件说明这对内错角相等来说明这两条被截线平行. 知5－练感悟新知解法提醒要判定两直线平行可以通过说明同位角相等或内错角相等来实现，至于到底选用同位角还是选用内错角，要看具体的题目，要尽可能与已知条件联系. 知5－讲感悟新知解：因为DF平分∠ADE(已知)，所以∠EDF=∠ADE(角平分线的定义).又因为∠ADE=60°(已知)，所以∠EDF=30°.又因为∠1=30°(已知)，所以∠EDF=∠1.所以DF∥BE(内错角相等，两直线平行). 知识点平行线的判定方法3知6－讲感悟新知61.方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 知6－讲感悟新知特别解读：利用同旁内角说明两直线平行时，同旁内角之间的关系是互补，不是相等. 知6－讲感悟新知2.表达方式：如图10.2-10，因为∠1+∠2=180°(已知)，所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行). 感悟新知知6－练如图10.2-11，直线AE，CD相交于点O，如果∠A=110°，∠1=70°，就可以说明AB∥CD，这是为什么？例6解题秘方：找出AB，CD被AE所截形成的同旁内角，利用两个角之间的数量关系来说明这两条直线平行. 知6－讲感悟新知解法提醒●本题运用了数形结合思想.平行线的判定是由角之间的数量关系到直线的位置关系的判定.●说明两直线平行时，一般都要结合对顶角、补角等知识来说明. 感悟新知知6－练解：因为∠1=∠AOD(对顶角相等)，∠1=70°，所以∠AOD=70°.又因为∠A=110°，所以∠A+∠AOD=180°.所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行). 知识点平行线判定方法的推论知7－讲感悟新知71.判定方法在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.简称：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.表达方式：如图10.2-12，直线a，b，c在同一平面内.因为a⊥b，a⊥c，所以b∥c. 知7－讲感悟新知2.拓展a，b，c为同一平面内的三条不重合直线，在下列结论中：①a⊥b；②a⊥c；③b∥c.已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立，即如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c；如果a⊥b，b∥c，那么a⊥c；如果a⊥c，b∥c，那么a⊥b. 知7－讲感悟新知特别解读1.三条直线“在同一平面内”是前提，丢掉这个前提，结论不一定成立.2.本结论(方法)可看成是判定方法1，2，3的推论，因为它可由判定方法1，2，3得到. 感悟新知知7－练如图10.2-13，AB⊥EF于B，CD⊥EF于D，∠1=∠2.(1)请说明AB∥CD的理由；(2)试问BM与DN是否平行？为什么？解题秘方：根据平行的几种判定方法的模型，从图中找出符合判定的条件，选用合适的方法进行说明.例7 知7－讲感悟新知解法提醒判定两直线平行的方法：方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线.方法二：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.方法三：同位角相等，两直线平行. 知7－讲感悟新知方法四：内错角相等，两直线平行.方法五：同旁内角互补，两直线平行.方法六：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 感悟新知知7－练解：(1)因为AB⊥EF，CD⊥EF，所以AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行). 感悟新知知7－练(2)BM∥DN.理由如下：因为AB⊥EF，CD⊥EF，所以∠ABE=∠CDE=90°.又因为∠1=∠2，所以∠ABE－∠1=∠CDE－∠2(等式的性质)，即∠MBE=∠NDE.所以BM∥DN(同位角相等，两直线平行). 感悟新知知7－练警示误区：∠1和∠2不是同位角，不能误认为∠1和∠2是同位角，直接得出BM∥DN，要得到BM∥DN，应说明∠MBE=∠NDE. 课堂小结平行线的判定平行线内错角相等同位角相等同旁内角互补定义画法位置关系判定三线八角基本事实