七年级数学（第十章 实数）10.1 相交线（沪科版 学习、上课资料）

10.1相交线第十章相交线、平行线与平移 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2对顶角垂直与垂线垂线的画法及基本事实垂线段及点到直线的距离 知识点对顶角知1－讲感悟新知11.定义两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.特别提醒：对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个. 知1－讲感悟新知2.性质：对顶角相等.特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等；(2)相等的两个角不一定是对顶角.示图∠1和∠2互为对顶角. 知1－讲感悟新知特别解读对顶角的位置关系和数量关系：●位置关系：有公共顶点，两边分别互为反向延长线.●数量关系：对顶角相等. 感悟新知知1－练如图10.1-1，直线AE与CD相交于点O，OC平分∠AOB.例1 感悟新知知1－练(1)请找出图中∠3的对顶角；解题秘方：根据对顶角的位置特征找对顶角；解：∠3的对顶角是∠2； 感悟新知知1－讲解法提醒找两个角是否互为对顶角的方法：一看它们有没有公共顶点；二看这两个角的两边是否互为反向延长线，实质就是看这两个角是否是两条直线相交所形成的没有公共边的两个角. 感悟新知知1－练(2)若∠3=25°，求∠1的度数.解题秘方：根据对顶角的数量关系求未知角的度数.解：由对顶角相等，得∠2=∠3=25°，因为OC平分∠AOB，所以∠1=∠2=25°. 感悟新知知2－练方法点拨：在进行角的计算时，“对顶角相等”这个结论常常被用来将要求的角和特征相同的两个角转化成与已知条件相关的角来求解，即对顶角构建了一个已知条件和待求结论之间的“桥梁”. 知识点垂直与垂线知2－讲感悟新知21.定义当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.特别解读垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角. 知2－讲感悟新知特别提醒1.垂直和垂线是两个不同的概念，垂直是两条直线的位置关系，是相交的一种特殊情况，特殊在夹角为直角，而垂线是一条直线.2.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 知2－讲感悟新知2.推理格式：如图10.1-2，因为∠AOC=90°(已知)，所以AB⊥CD(垂直的定义).反过来：因为AB⊥CD(已知)，所以∠AOC=90°(垂直的定义). 感悟新知知2－练如图10.1-3，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠COE=40°，求∠BOD的度数.例2解题秘方：利用垂直的定义及对顶角的性质，将要求的角向已知角转化. 感悟新知解法提醒两条直线互相垂直，所夹的四个角都等于90°，为求角的度数提供了四个已知角的度数，为从未知角向已知角的转化创造了条件.知2－练 感悟新知知2－练解：方法一因为OE⊥AB，所以∠AOE=90°.因为∠AOE=∠AOC+∠COE，∠COE=40°，所以∠AOC=90°－40°=50°.所以∠BOD=∠AOC=50° 感悟新知知2－练方法二 因为OE⊥AB，所以∠BOE=90°.因为∠COD是平角，所以∠COE+∠BOE+∠BOD=180°.又因为∠COE=40°，所以∠BOD=180°－90°－40°=50°. 感悟新知知2－练将一张长方形纸片按如图10.1-4所示方式折叠，EF，EG为折痕，判断EF与EG的位置关系.解题秘方：利用折叠的性质求出两线的夹角，根据夹角是90°判断两条直线的位置关系.例3 感悟新知知2－练解：因为三角形A′EF是由三角形AEF折叠得到的，四边形B′EGC′是由四边形BEGC折叠得到的，所以∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG.所以∠A′EF=∠AEA′，∠A′EG=∠A′EB.所以∠FEG=∠A′EF+∠A′EG=∠AEA′+∠A′EB=(∠AEA′+∠A′EB)=×180°=90°.所以EF⊥EG. 感悟新知知识储备折叠后，点A与点A′重合，点B与点B′重合，点C与点C′重合，所以三角形AEF与三角形A′EF大小、形状完全相同，四边形BEGC与四边形B′EGC′大小、形状完全相同，所以∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG.结论归纳：邻补角的角平分线互相垂直.知2－练 知识点垂线的画法及性质知3－讲感悟新知31.垂线的画法：用三角尺画已知直线的垂线，步骤如下： 知3－讲感悟新知特别提醒画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，垂足可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上. 知3－讲感悟新知步骤内容示图一落让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合过点P作直线l的垂线：点P在直线l外点P在直线l上二移沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点三画沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 知3－讲感悟新知步骤内容示图一折折叠纸张，使折痕经过已知点，且使已知直线被折痕分成的两部分重合.二画用直尺沿着折痕画出直线，则这条直线就是已知直线的垂线.用折纸法画已知直线的垂线.步骤如下： 知3－讲感悟新知2.基本事实过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.特别提醒：基本事实中的唯一性有两个关键条件不能少：一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外. 感悟新知知3－练在图10.1-5中，分别过点P作AB的垂线.例4 知3－讲感悟新知解：如图10.1-6.解题秘方：利用三角尺根据画垂线的步骤进行操作. 知3－练感悟新知解法提醒画垂线时是画实线，如需要延长线段或反向延长射线时，则要用虚线延长. 知识点垂线段及点到直线的距离知4－讲感悟新知41.垂线段：(1)定义：过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫做这点到已知直线的垂线段.(2)性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 知4－讲感悟新知(3)垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系：①区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂直是两条直线之间的位置关系；垂线段是一条与已知直线垂直的线段.②联系：垂线段所在的直线是已知直线的垂线；垂线段所在的直线与已知直线垂直. 知4－讲感悟新知特别提醒●斜线段有无数条，但垂线段只有一条.●垂线是一条直线，长度不可度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量. 知4－讲感悟新知2.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.(1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度. 知4－讲感悟新知示图点到直线的距离如图10.1-7，点P到直线l的距离为PM的长度. 知4－讲感悟新知(2)点到直线的距离与两点间的距离的区别：两点间的距离点到直线的距离定义连接两点的线段的长度直线外一点到这条直线的垂线段的长度性质两点之间，线段最短垂线段最短 感悟新知知4－练如图10.1-8，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，则点A到直线BC的距离为______cm，点B到直线AC的距离为______cm，点C到直线AB的距离为______cm.例5432.4 感悟新知知4－练解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段.解：根据点到直线的距离的定义可知，点A到直线BC的距离是线段AC的长，点B到直线AC的距离是线段BC的长，点C到直线AB的距离是线段CD的长.因为三角形ABC的面积S=AC·BC=AB·CD，所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4cm. 感悟新知方法点拨1.求点到直线的距离关键就是找准“垂线段”；虽然垂线段最短，但不是在给出的线段中最短的那条就是垂线段.2.直角三角形中斜边上的高可以通过“面积法”来求，即两直角边的乘积等于斜边乘斜边上的高.知4－练 相交线垂线的基本事实画法垂线段垂线相交线性质对顶角点到直线的距离