2020-2021学年天津市南开区九年级上学期数学第一次月考试卷及答案

2020-2021学年天津市南开区九年级上学期数学第一次月考试卷及答案一、选择题（每小题3分，共12小题）1.抛物线的顶点坐标是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数关系式直接写出顶点即可求解．【详解】抛物线的顶点坐标是故选A．【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知顶点式的特点．2.把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A.y＝（x+3）2﹣1B.y＝（x+3）2+3C.y＝（x﹣3）2﹣1D.y＝（x﹣3）2+3【答案】C【解析】试题分析：抛物线的顶点坐标为（0，1），向右平移3个单位，再向下平移2个单位（3，－1），所以，平移后得到的抛物线的解析式为．故选C．考点：二次函数图象与几何变换．3.二次函数y=x2﹣2x+1与x轴的交点个数是（　　）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】由△=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，可得二次函数y=x2-2x+1图象与x轴有一个交点．故选B． 4.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将二次函数配方，求对称轴，再根据A、B、C三点与对称轴的位置关系，开口方向判断，，的大小．【详解】∵＝（x-2）2−9，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝2，∵A、B、C三点中，B点离对称轴最远，A点离对称轴最近，∴，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．5.在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【详解】根据二次函数的解析式可得：二次函数图像经过坐标原点，则排除B和C，A选项中一次函数a>0，b<0，二次函数a>0，b<0，符合题意.故选A.【点睛】本题考查了(1)、一次函数的图像；(2)、二次函数的图像6.若关于的方程没有实数根，则函数的图象的顶点一定在（）A.轴的上方B.轴下方C.轴上D.轴上【答案】A【解析】【分析】由方程没有实数根可得△=＜0，进而可得函数的图象与x轴无交点，再根据开口方向即可作出判断．【详解】解：∵关于x的方程没有实数根，∴△=＜0，∴函数的判别式=＜0，∴函数的图象与x轴无交点，∵a=1＞0，∴函数的图象开口向上，∴函数的图象的顶点一定在x轴的上方，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与方程的根的关系、抛物线与x轴的交点问题，准确判断出抛物线的判别式的符号是解答的关键．7.已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是　　A.无实数根 B.有两个相等实数根C.有两个同号不等实数根D.有两个异号实数根【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为，判断方程的根的情况即是判断时x的值．【详解】的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是，方程，时，即是求x的值，由图象可知：有两个同号不等实数根．故选C．【点睛】此题主要考查了方程的根的情况，先看函数的图象的顶点坐标纵坐标，再通过图象可得到答案．8.已知抛物线y=-x2+x+6与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C.若D为AB的中点,则CD的长为(　　)A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】把y=0代入得，解得，∴A（-3，0），B（9，0），即可得AB=15，∵又因D为AB的中点，可得AD=BD=7.5，求得OD=4.5，Rt△COD中，由勾股定理可得CD=7.5，故答案选D． 考点：二次函数图象与坐标轴的交点坐标；勾股定理．9.y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A.a=5B.a≥5C.a＝3D.a≥3【答案】B【解析】【详解】二次函数的对成轴为：x=，则有x=，因为a=1>0，函数开口向上，有最小值．又因为在1≤x≤3时，函数y取得最大值，所以，故≥2，解得a≥5故选：B10.二次函数的图象如图所示，当时，那么当时，函数值（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据对称轴及函数值判断a的取值范围，从而得出a-1＜0，因为当x＜是y随x的增大而减小，所以当x=a-1＜0时，函数值y一定大于m．【详解】解：∵对称轴是x=，0＜x1＜故由对称性＜x2＜1 当x=a时，y＜0，则a的范围是x1＜a＜x2，所以a-1＜0，当x＜时y随x的增大而减小，当x=0时函数值是m．因而当x=a-1＜0时，函数值y一定大于m．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，以及增减性，解答关键是注意数形结合．11.当时，关于的二次函数有最大值4，则实数的值为（）A.B.或C.2或D.2或或【答案】C【解析】【分析】求出二次函数对称轴为x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1，根据函数的增减性，可得答案．【详解】解：当m<-2时，x=-2二次函数有最大值为：，解得，又m<-2，故舍去，当-2≤m≤1时，x=m二次函数有最大值为：时，解得，又-2≤m≤1，故舍去，故，当m＞1时，x=2二次函数有最大值为：，解得，故或，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的最值，函数的顶点坐标是最大值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键．12.如图，二次函数（）的图象与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④ ；⑤关于的方程（）有一个根为，其中正确的结论个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】①先根据抛物线的开口向下可得，再根据对称轴可得，然后根据抛物线与y轴的交点可得，由此即可得；②根据当时，即可得；③根据和即可得；④先根据对称轴可得，再根据当时，即可得；⑤先根据可得方程的一个根为，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得．【详解】抛物线的开口向下，与y轴的交点位于y轴负半轴，，对称轴为直线，，，则结论①正确；由函数图象可知，当时，，即，则结论②错误；当时，，即，，，，即，则结论③正确；由函数图象可知，当时，，即， 将代入得：，整理得：，则结论④错误；，，关于的一元二次方程有一个根为，设另一个根m，由一元二次方程的根与系数的关系得：，解得，即关于的一元二次方程有一个根为，结论⑤正确；综上，正确的结论个数有3个，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．二、填空题（每小题3分，共6小题）13.已知函数，当__________时，它是二次函数．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．【详解】解：∵y=（m-1）xm2+1是二次函数，∴m2+1=2，∴m=-1或m=1（舍去）．故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意m-1≠0．14.已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：…0… …3则时，的取值范围是______.【答案】【解析】分析】由当x＝0及x＝-2时y＝-5可得出二次函数图象的对称轴及顶点坐标，由其顶点纵坐标小于其他点的坐标可得出a＞0，由当x＝−3时y＝-2可得出当x＝1时y＝-2，再利用二次函数的性质即可得出当时x的取值范围．【详解】∵当x＝0及x＝-2时y＝-5，∴二次函数图象的对称轴为直线x＝＝-1，二次函数图象的顶点坐标为（-1，-6）．∵y＝-6为最小值，∴a＞0．∵当x＝−3时，y＝-2，∴当x＝1时，y＝-2．又∵a＞0，∴当时，．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质找出当y＝-2时x的值是解题的关键．15.已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，则一元二次方程的根为________.【答案】x1=-1，x2=3；【解析】∵在抛物线中，对称轴为直线，∴当抛物线与轴的一个交点为（-1，0）时，它与轴的另一个交点就为（3，0），∴一元二次方程的两根为. 16.如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为　．【答案】【解析】【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可.【详解】过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N，∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3.∴平移后的二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣.∴点P的坐标是（3，﹣）．根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，∴S=17.二次函数y＝ax2﹣12ax+36a﹣5的图象在4＜x＜5这一段位于x轴下方，在8＜x＜9这一段位于x轴上方，则a的值为_____ 【答案】【解析】【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=6，在4<x<5这一段位于x轴的上方，利用抛物线对称性得到抛物线在7<x<8这一段位于x轴的上方，而图象在8<x<9这一段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（8，0），然后把（8，0）代入y=ax2-12ax+36a-5可求出a的值．【详解】∵抛物线y=ax²−12ax+36a−5的对称轴为直线x=6，而抛物线在4<x<5这一段位于x轴的下方，∴抛物线在7<x<8这一段位于x轴的下方，∵抛物线在8<x<9这一段位于x轴的上方，∴抛物线过点(8,0)，把(8,0)代入y=ax²−12ax+36a−5得64a−96a+36a−5=0，解得：a=.故答案为.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．18.如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均落在格点上．（1）_________．（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为底边的等腰，使该三角形的面积等于的面积，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________．【答案】(1).3(2).取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接 ．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求．【解析】【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可；（2）如图取格点E、F，连接EF，与网格线交于点G，AB与网格线交于H，连接GH，取格点I，连接CI交GH于点P，连接PA、PB，△PAB即为所求．【详解】解：（1）；故答案为：3；（2）如图，取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求．故答案为：取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求．【点睛】本题考查作图——应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活应用线段的垂直平分线的性质，平行线的判定和性质解决问题．三、解答题（共66分，共7小题）19.已知二次函数y＝－x2＋x＋4.(1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？【答案】(1)抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为x＝1.(2)当x>1时，y随x的增大而减小；当x<1时，y随x的增大而增大．【解析】 试题分析：（1）先把二次函数y＝－x2＋x＋4的解析式化为顶点式，从而写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）根据二次函数的性质直接写出答案即可.试题解析：(1)将二次函数y＝－x2＋x＋4配方，得y＝－(x－1)2＋.所以抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为x＝1.(2)当x>1时，y随x的增大而减小；当x<1时，y随x的增大而增大．20.抛物线的顶点为，且过点，求抛物线的解析式.【答案】.【解析】【分析】先设为顶点式，再把顶点坐标和经过的点（1，2）代入即可.【详解】由抛物线的顶点为，且过点，可设抛物线为：，把（1，2）代入得：2=a+4，解得：a=-2，所以抛物线为：，即.【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式及顶点坐标公式.21.已知二次函数.（1）求图象与两坐标轴的交点坐标；（2）直接写出当取何值时，？（3）直接写出当时，求的取值范围．【答案】（1）抛物线与轴交点为，；（2）当或时，；（3）．【解析】【分析】 （1）令y=0即可求解；（2）根据函数图象与x轴的交点即可求解；（3）把函数化为顶点式，根据函数图象与性质即可求的取值范围．【详解】解：（1），与轴交于，令得.解得：，，∴抛物线与轴交点为，（2）如图，∵抛物线与轴交点为，∴当时，或；（3）如图，∵=2（x+1）2-8∴当x=-1时，y最小值为-8当x=-4时，y=2（-4+1）2-8=10∴当时，求的取值范围为．【点睛】本题考查了二次函数的各种性质，解题的关键是熟记其性质，根据函数图像灵活运用．22.已知抛物钱经过，两点（1）求这个函数的解析式；（2）函数图象有最低点，当时，有最______值是______；（3）抛物线上是否存在点，使的面积等于2？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）小，；（3）或.【解析】【分析】（1）把A,B坐标代入即可求解解析式；（2）把函数化为顶点式即可求解；（3）先求出AO=1，再根据三角形的面积公式顶点C点的横坐标为±4，代入函数解析式即可求解．【详解】解：（1）∵过，∴∴∴（2）∵=（x-1）2-2∴当x=1时，函数y有最小值-2故答案为：小；-2；（3）∵，∴∵∴∴当时，当时，∴或． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．23.已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【答案】（1）m＞﹣1；（2）P（1，2）；（3）根据函数图象可知：x＜0或x＞3．【解析】【分析】(1)、根据图像与x轴有两个交点，则△>0求出m的取值范围；(2)、根据点A坐标得出二次函数的解析式，然后得出点B的坐标，根据待定系数法求出直线AB的解析式，从而得出点P的坐标；(3)、根据图像直接得出答案.【详解】(1)、∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0 ∴m＞﹣1；(2)、∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=﹣9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，∴P（1，2）．(3)、根据函数图象可知：x＜0或x＞3考点：二次函数的性质24.某商店经营家居收纳盒，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每个收纳盒售价不能高于40元．设每个收纳盒的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元．（1）求与的函数关系式．（2）每个收纳盒的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】（1）（0≤x≤10）；（2）32元；（3）售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．【解析】【分析】（1）利用利润=每件的利润×数量即可表示出与的函数关系式； （2）令第（1）问中的y值为2520，解一元二次方程即可得出x的值；（3）根据二次函数的性质求得最大值即可．【详解】（1）根据题意有：每个收纳盒售价不能高于40元（2）令即解得或此时售价为30+2=32元（3）∵为正整数∴当或时，y取最大值，最大值为此时的售价为30+6=6元或30+7=37元答：售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．25.在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求、满足的关系式及的值．(2)当时，若的函数值随的增大而增大，求的取值范围．(3)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；；(2)；(3)存在，点或或.【解析】【分析】(1)求出点、的坐标，即可求解；(2)当时，若的函数值随的增大而增大，则函数对称轴，而，即：，即可求解；(3)过点作直线，作轴交于点，作于点，，则，即可求解．【详解】(1)，令，则，令，则，故点、的坐标分别为、，则，则函数表达式为：，将点坐标代入上式并整理得：；(2)当时，若的函数值随的增大而增大，则函数对称轴，而，即：，解得：， 故：的取值范围为：；(3)当时，二次函数表达式为：，过点作直线，作轴交于点，作于点，∵，∴，，则，在直线下方作直线，使直线和与直线等距离，则直线与抛物线两个交点坐标，分别与点组成的三角形的面积也为1，故：，设点，则点，即：，解得：或，故点或或.【点睛】主要考查二次函数和与几何图形．解题关键在于要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．