2022-2023学年广东省深圳中学高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年广东省深圳中学高二（上）期末数学试卷一、单项选择题(每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分)1．（5分）从a、b、c中任取两个不同字母排成一列，则不同的排列种数为（　　）A．3B．4C．5D．62．（5分）过点P（3，﹣23）且倾斜角为135°的直线方程为（　　）A．3x-y-43=0B．x-y-3=0C．x+y-3=0D．x+y+3=03．（5分）直线y＝k（x﹣2）+1与椭圆x216+y29=1的位置关系是（　　）A．相离B．相交C．相切D．无法判断4．（5分）双曲线C：x24-y23=1与双曲线D：x24-y23=-1具有相同的（　　）A．焦点B．实轴长C．离心率D．渐近线5．（5分）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）A．|BF|-1|AF|-1B．|BF|2-1|AF|2-1C．|BF|+1|AF|+1D．|BF|2+1|AF|2+16．（5分）设P为直线l：x+y+1＝0的动点，PA为圆C：（x﹣2）2+y2＝1的一条切线，A为切点，则△PAC的面积的最小值为（　　）A．102B．10C．144D．147．（5分）如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么，“集中数”一共有（　　）个．A．65B．70C．75D．808．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=2π3 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2．则3e12+1e22=（　　）A．4B．23C．2D．3二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）（多选）9．（5分）若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的有（　　）A．{an2}B．{an•an+1}C．{an+an+1}D．{an+1}（多选）10．（5分）在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（　　）A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有C31C72种B．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C31C92种C．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C31C72+C32C71+C33种D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C103-C73种（多选）11．（5分）已知m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，则下列对曲线x2m+y2n=1描述正确的是（　　）A．曲线C可表示为焦点在y轴的椭圆B．曲线C可表示为焦距是4的双曲线C．曲线C可表示为离心率是22的椭圆D．曲线C可表示为渐近线方程式y=±2x的双曲线（多选）12．（5分）已知曲线C的方程为x2+y2﹣xy＝1，则下列说法中正确的有（　　）A．曲线C关于x轴对称B．曲线C关于原点中心对称C．若动点P、Q都在曲线C上，则线段|PQ|的最大值为22D．曲线C的面积小于3三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）13．（5分）抛物线y＝x2的焦点坐标是　　．14．（5分）圆C：x2+4x+y2﹣5＝0的一条弦以点A（﹣1，2）为中点，则该弦的斜率为　　．15．（5分）已知椭圆x24+y2=1的两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则|PF1→|•|PF2→|的值为　　． 16．（5分）已知直线xa+yb=1（a，b为非零实数）与圆x2+y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有　　条．四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）（1）计算：A43+A53；（2）计算：C33+C43+C53+C63+C73．18．（12分）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为2（a∈R），且1a1，1a2，1a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）对n∈N*，求a2+a22+a23+⋯+a2n的表达式．19．（12分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且过点（1，22）．（1）求椭圆C的方程；（2）过F作直线l交椭圆C于A、B两点，点P（2，0），若△ABP的面积为23，求直线l的方程．20．（12分）数列{an}满足a1＝1，an+an+12an+1-1=0．（1）求证数列{1an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1＝2，bn+1bn=2⋅anan+1，求{bn}的前n项和Sn．21．（12分）已知点P是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，|PF1|＝（2+3）|PF2|，∠F1PF2＝60°．（1）求双曲线的离心率；（2）设R、r分别是△F1PF2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．22．（12分）如图，已知直线l：x＝﹣1，点F（1，0），H为直线l上任意一点，过点H与l垂直的直线交线段HF的垂直平分线于点M，记动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）E为x轴正半轴上的一点，过点E的直线与曲线C相交于A，B两点，直线AF，BF分别与曲线C相交于异于A，B的P，Q两点当直线AB，PQ 的斜率都存在时，分别记这两个斜率为k1，k2，若k2＝2k1恒成立，求点E的坐标． 2022-2023学年广东省深圳中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题(每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分)1．（5分）从a、b、c中任取两个不同字母排成一列，则不同的排列种数为（　　）A．3B．4C．5D．6【解答】解：根据题意，从a，b，c中任取两个字母，有C32＝3种取法，再将取出的字母排成一列，有A22＝2种情况，则有3×2＝6种不同的排法；故选：D．2．（5分）过点P（3，﹣23）且倾斜角为135°的直线方程为（　　）A．3x-y-43=0B．x-y-3=0C．x+y-3=0D．x+y+3=0【解答】解：∵直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan135°＝﹣1，又直线过点P（3，﹣23），∴直线的点斜式为y+23=-1（x-3），即x+y+3=0．故选：D．3．（5分）直线y＝k（x﹣2）+1与椭圆x216+y29=1的位置关系是（　　）A．相离B．相交C．相切D．无法判断【解答】解：直线y＝k（x﹣2）+1，所以直线恒过点（2，1），∵416+19＜1，∴（2，1）在椭圆的内部，∴直线y＝k（x﹣2）+1与椭圆x216+y29=1的位置关系是相交，故选：B．4．（5分）双曲线C：x24-y23=1与双曲线D：x24-y23=-1具有相同的（　　）A．焦点B．实轴长C．离心率D．渐近线 【解答】解：将双曲线D：x24-y23=-1化为标准方程得D：y23-x24=1，对于双曲线C：x24-y23=1，a2＝4，b2＝3，c2＝7，焦点坐标为(±7，0)，实轴长为2a＝4，离心率为e=72，渐近线方程为y=±32x；对于双曲线D：y23-x24=1，a2＝3，b2＝4，c2＝7，焦点坐标为(0，±7)，实轴长为2a=23，离心率为e=73=213，渐近线方程为y=±32x；故双曲线C：x24-y23=1与双曲线D：x24-y23=-1具有相同的渐近线．故选：D．5．（5分）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）A．|BF|-1|AF|-1B．|BF|2-1|AF|2-1C．|BF|+1|AF|+1D．|BF|2+1|AF|2+1【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x＝﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF＝BD，AF＝AE，则|BM|＝|BD|﹣1＝|BF|﹣1，|AN|＝|AE|﹣1＝|AF|﹣1，则S△BCFS△ACF=|BC||AC|=|BM||AN|=|BF|-1|AF|-1，故选：A． 6．（5分）设P为直线l：x+y+1＝0的动点，PA为圆C：（x﹣2）2+y2＝1的一条切线，A为切点，则△PAC的面积的最小值为（　　）A．102B．10C．144D．14【解答】解：由圆的标准方程为（x﹣2）2+y2＝1，则圆心坐标为C（2，0），半径R＝1，则△PAC的面积S=12|PA|•|AC|=12|PA|，∴要使△PAC的面积的最小，则|PA|最小，又|PA|=|PC|2-|AC|2=|PC|2-1，即PC最小即可，此时最小值为圆心C到直线的距离d=|2+0+1|2=322，|PA|min=92-1=142，即△PAC的面积的最小值为S=12×142=144．故选：C．7．（5分）如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么，“集中数”一共有（　　）个．A．65B．70C．75D．80【解答】解：自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．则3个数，相等或相邻，十位数为0时，有100，或101，共2个；十位数为1时，有110，111，112，210，211，212共6个；十位数为2时，有121，123，122，222，221，223，321，322，323，共9个；十位数为3，4，5，6，7，8时，与十位数是2时，相同各有9个；十位数为9时，有，899，898，998，999共4个．综上共有：2+6+7×9+4＝75个． 故选：C．8．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2．则3e12+1e22=（　　）A．4B．23C．2D．3【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P在双曲线的右支上，根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，可得|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2=2π3，在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos2π3，化简得3a12+a22＝4c2，该式可变成3a12c2+a22c2=4，结合e1=ca1，e2=ca2，∴3e12+1e22=4．故选：A．二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）（多选）9．（5分）若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的有（　　）A．{an2}B．{an•an+1}C．{an+an+1}D．{an+1}【解答】解：若数列{an}是等比数列，则anan-1=q，A：an2an-12=q2，符合等比数列，A正确；B：an⋅an+1an⋅an-1=q2，符合等比数列，B正确；当an＝（﹣1）n时，CD显然不符合题意．故选：AB．（多选）10．（5分）在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（　　）A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有C31C72种B．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C31C92种C．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C31C72+C32C71+C33种 D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C103-C73种【解答】解：根据题意，对于A，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有C31C72种取法，所以A正确；对于B，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C103-C73=85，所以B不正确；对于C，抽出的3件产品中一件不合格的抽法：C31C72，两件不合格的抽法：C32C71，三件不合格的抽法：C33，所以至少有1件是不合格品的抽法有C31C72+C32C71+C33种，所以C正确；对于D，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C103-C73=85，所以D正确；故选：ACD．（多选）11．（5分）已知m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，则下列对曲线x2m+y2n=1描述正确的是（　　）A．曲线C可表示为焦点在y轴的椭圆B．曲线C可表示为焦距是4的双曲线C．曲线C可表示为离心率是22的椭圆D．曲线C可表示为渐近线方程式y=±2x的双曲线【解答】解：因为m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，所以2m＝3+5，n2＝4×16，解得m＝4，n＝±8，则曲线C的方程为x24+y28=1或x24-y28=1，其中x24+y28=1表示焦点在y轴的椭圆，此时它的离心率为e=ca=a2-b2a2=1-b2a2=1-48=22，故A正确，C正确；x24-y28=1表示焦点在x轴的双曲线，焦距为2c＝2a2+b2=24+8=43，渐近线方程为y＝±bax＝±222x＝±2x，故B不正确，D正确．故选：ACD．（多选）12．（5分）已知曲线C的方程为x2+y2﹣xy＝1，则下列说法中正确的有（　　） A．曲线C关于x轴对称B．曲线C关于原点中心对称C．若动点P、Q都在曲线C上，则线段|PQ|的最大值为22D．曲线C的面积小于3【解答】解：对B：曲线C的上任一点A（x，y）关于原点的对称点为A′（﹣x，﹣y），则（﹣x）2+（﹣y）2﹣（﹣x）（﹣y）＝x2+y2﹣xy＝1，即A′在曲线C上，∴曲线C关于原点中心对称，B正确；对A：∵曲线C的上任一点B（x，y）关于x轴的对称点为B′（x，﹣y），则x2+（﹣y）2﹣（﹣y）x＝x2+y2+xy≠1，即B不在曲线上，∴曲线C关不于x轴对称，A错误；∵x2+y2﹣xy＝1，则（x+y）2+3（x﹣y）2＝4，∴（x+y）2≤4，即﹣2≤x+y≤2，又∵x2+y2﹣xy＝1，即xy=(x+y)2-13，则(x-63)2+(y-63)2=x2+y2-263(x+y)+43=(x+y)2-2xy-263(x+y)+43=(x+y)2-2×(x+y)2-13-263(x+y)+43=(x+y)2-26(x+y)+63=[(x+y)-6]23=33[6-(x+y)]，同理可得：(x+63)2+(y+63)2=33[6+(x+y)]，则曲线C的上任一点P（x，y）到M(-63，-63)，N(63，63)的距离之和为：|PM|+|PN|=33[6+(x+y)]+33[6-(x+y)]=22，∴曲线C表示以M，N为焦点且a=2，c=233的椭圆，则b=a2-c2=63，对C：则线段|PQ|的最大值为2a=22，C正确；对D：则曲线C的面积S=abπ=233π＞3，D错误；故选：BC．三、填空题（共4小题，每空5分，共20分） 13．（5分）抛物线y＝x2的焦点坐标是　(0，14)　．【解答】解：∵抛物线y＝x2，即x2＝y，∴p=12，p2=14，∴焦点坐标是（0，14），故答案为：（0，14）．14．（5分）圆C：x2+4x+y2﹣5＝0的一条弦以点A（﹣1，2）为中点，则该弦的斜率为　-12　．【解答】解：将x2+4x+y2﹣5＝0配方得（x+2）2+y2＝9，圆心为C（﹣2，0），r＝3，∴kAC=2-0-1-(-2)=2，∵弦以点A（﹣1，2）为中点，∴该弦的斜率为-12．故答案为：-12．15．（5分）已知椭圆x24+y2=1的两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则|PF1→|•|PF2→|的值为　2　．【解答】解：∵a＝2，b＝1；∴c=3，∴|F1F2|＝2c＝23，设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，∵P为椭圆上一点，∴t1+t2＝4①，∵∠F1PF2＝90°，∴t12+t22＝（23）2②，由①2﹣②得t1t2＝2，∴|PF1→|•|PF2→|＝t1t2＝2．故答案为：2．16．（5分）已知直线xa+yb=1（a，b为非零实数）与圆x2+y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有　60　条．【解答】解：x2+y2＝100，整点为（0，±10），（±6，±8），（±8，±6），（±10，0），如图，共12个点，直线xa+yb=1（a，b为非零实数）， ∴直线与x，y轴不平行，不经过原点，任意两点连线有C122条，与x，y轴平行有14条，经过原点有6条，其中有两条既过原点又与x，y轴平行，∴共有C122+12﹣14﹣6+2＝60．故答案为：60．四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．（10分）（1）计算：A43+A53；（2）计算：C33+C43+C53+C63+C73．【解答】解：（1）A43+A53=4×3×2+5×4×3＝84；（2）C33+C43+C53+C63+C73=C44+C43+C53+C63+C73＝C54+C53+C63+C73=C64+C63+C73=C74+C73=C84=70．18．（12分）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为2（a∈R），且1a1，1a2，1a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）对n∈N*，求a2+a22+a23+⋯+a2n的表达式．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，d≠0， 由1a1，1a2，1a4成等比数列，可得1a22=1a1a4，即有（2+d）2＝2（2+3d），解得d＝2，则an＝2+2（n﹣1）＝2n；（2）对n∈N*，a2+a22+a23+⋯+a2n＝4+8+16+...+2n+1=4(1-2n)1-2=2n+2﹣4．19．（12分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且过点（1，22）．（1）求椭圆C的方程；（2）过F作直线l交椭圆C于A、B两点，点P（2，0），若△ABP的面积为23，求直线l的方程．【解答】解：（1）右焦点为F（1，0），则c＝1，则a2＝b2+1，椭圆过点（1，22），则1a2+12b2=1，则a2＝2，b2＝1，椭圆的方程为x22+y2＝1；（2）直线l过点F（1，0），设l方程为x＝my+1，直线l交椭圆C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，联立方程x22+y2=1x=my+1，得y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2，S△ABP=12×1•|y1|+12×1•|y2|=12|y1﹣y2|=12(y1+y2)2-4y1y2=124m2(m2+2)+4m2+2=2m2+2(m2+2)2=23，则m2＝1，m＝±1，则直线l的方程为x＝±y+1，即x±y﹣1＝0．20．（12分）数列{an}满足a1＝1，an+an+12an+1-1=0．（1）求证数列{1an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1＝2，bn+1bn=2⋅anan+1，求{bn}的前n项和Sn．【解答】解：（1）证明：由a1＝1，an+an+12an+1-1=0，可得an=an+11-2an+1， 两边取倒数可得1an=1an+1-2，即1an+1-1an=2，则数列{1an}是首项为1，公差为2的等差数列，则1an=1+2（n﹣1）＝2n﹣1，即有an=12n-1；（2）由b1＝2，bn+1bn=2⋅anan+1=2•2n+12n-1，可得bn＝b1•b2b1•b3b2•...•bnbn-1=2•（2•3）•（2•53）•...•（2•2n-12n-3）＝2n•（2n﹣1），所以Sn＝1•2+3•4+5•8+...+2n﹣1•（2n﹣3）+2n•（2n﹣1），2Sn＝1•4+3•8+5•16+...+2n•（2n﹣3）+2n+1•（2n﹣1），上面两式相减可得﹣Sn＝2+2（4+8+...+2n﹣1+2n）﹣2n+1•（2n﹣1）＝2+2•4(1-2n-1)1-2-2n+1•（2n﹣1），化简可得Sn＝6+（2n﹣3）•2n+1．21．（12分）已知点P是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，|PF1|＝（2+3）|PF2|，∠F1PF2＝60°．（1）求双曲线的离心率；（2）设R、r分别是△F1PF2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．【解答】解：（1）由P为双曲线的右支上一点，可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝（2+3）|PF2|，可得|PF1|＝（3+1）a，|PF2|＝（3-1）a，在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝（4+23）a2+（4﹣23）a2﹣2（3+1）（3-1）a2•12＝8a2﹣2a2＝6a2，即c=62a，可得e=ca=62；（2）由2R=2csin60°=6a32=22a，即R=2a；因为S△PF1F2=12|PF1|•|PF2|•sin60°=12（3+1）（3-1）a2•32=32a2，又S△PF1F2=12（|PF1|+|PF2|+2c）r=12（23a+6a）r， 所以r=323+6a=2-22a，所以Rr=222-2=2+22．22．（12分）如图，已知直线l：x＝﹣1，点F（1，0），H为直线l上任意一点，过点H与l垂直的直线交线段HF的垂直平分线于点M，记动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）E为x轴正半轴上的一点，过点E的直线与曲线C相交于A，B两点，直线AF，BF分别与曲线C相交于异于A，B的P，Q两点当直线AB，PQ的斜率都存在时，分别记这两个斜率为k1，k2，若k2＝2k1恒成立，求点E的坐标．【解答】解：（1）根据线段垂直平分线的性质，知|MH|＝|MF|．∴动点M的轨迹是以F（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线．故曲线C的方程为y2＝4x．（2）设点A（xA，yA），B（xB，yB），P（xP，yP），Q（xQ，yQ），E（m，0）（m＞0），直线lAB：x＝ty+m，t≠0，由x=ty+my2=4x，消去x，得y2﹣4ty﹣4m＝0，因为t≠0，Δ＝16（t2+m）＞0，所以yA+yB＝4t，yAyB＝﹣4m，又FP→=（xP﹣1，yP），FA→=（xA﹣1，yA），由A，F，P三点共线，知yA（xP﹣1）﹣yP（xA﹣1）＝0，即yA（yP24-1）﹣yP（yA24-1）＝0， 化简得（yAyP4+1）（yP﹣yA）＝0，显然yP≠yA，所以yAyP4+1＝0，即yAyP4=-4，同理可得yByQ＝﹣4，所以k2=yQ-yPxQ-xP=yQ-yPyQ24-yP24=4yQ+yP=4-4yB+-4yA=-yAyByA+yB=mt，又k1=1t，由k2＝2k1，可得mt=2t，所以m＝2，故点E的坐标为（2，0）．：37103942