2020-2021学年广东省深圳市某校高二（上）期中考试数学试卷

2020-2021学年广东省深圳市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.数列，，，，，的一个通项公式是()A.B.C.D.䁖䁖䁖䁖2.的方向向量为ǡǡ，的方向向量ǡǡ⸲，若，则等于（）A.B.C.D.3.若抛物线香䁕的焦点到顶点的距离为，则香䁪A.B.C.D.䁕4.若双曲线䁖䁪ܽ的实轴长为，则其渐近线方程为（）A.䁕B.䁕C.䁕D.䁕5.已知ǡܽǡ䁖，ܽǡ䁖ǡ䁖⸲，ǡǡ䁖，则是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形6.若动点在曲线䁕䁖上移动，定点坐标为ܽǡ．则，连线中点的轨迹方程是()A.䁕B.䁕C.䁕䁖D.䁕7.已知等差数列，香，香，则香䁖（）A.香B.C.ܽD.香䁖䁕8.已知，，是双曲线䁖ܽǡܽ上的三个点，经过原点，经过右焦点．若且ȁȁȁȁ，则该双曲线的离心率是（）A.B.C.D.试卷第1页，总9页 二、多选题)9.下列关于等差数列的命题中正确的有䁪A.若，，成等差数列，则，，一定成等差数列B.若，，成等差数列，则，，可能成等差数列C.若，，成等差数列，则䁖，䁖，䁖一定成等差数列D.若，，成等差数列，则，，可能成等差数列䁕10.已知曲线的方程为䁖R，则下列结论正确的是䁪䁖⸲䁖A.当时，曲线为圆B.当ܽ时，曲线为双曲线，其渐近线方程为䁕C.“”是“曲线为焦点在䁕轴上的椭圆”的充分而不必要条件D.存在实数使得曲线为等轴双曲线，其离心率为11.已知为坐标原点，ǡ，是抛物线䁕䁕上的一点，为其焦点．若䁕与双曲线䁖的右焦点重合，则下列说法正确的有()A.若ȁȁ⸲，则点的横坐标为B.该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为C.若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为D.周长的最小值为䁖12.在四面体䁖中，以上说法正确的有()A.若䁖，则可知B.若为的重心，则䁖䁖C.若ܽ，ܽ，则ܽD.若四面体䁖各棱长都为，，分别为，的中点，则ȁȁ.三、填空题)䁕13.椭圆䁖的焦点在䁕轴上，焦距为，则该椭圆的离心率为________．ܽ14.在等差数列中，已知，䁖䁖，则䁖䁖⸲________.15.正方体䁖，，分别是棱，中点，异面直线与所成角的余弦值为________.䁕16.已知椭圆䁖䁪ܽ的焦点为，，如果椭圆上存在一点，使得ܽ，且的面积等于，则实数的值为________，实数的取试卷第2页，总9页 值范围为________.四、解答题)17.䁪数列满足，且䁖，求；䁖䁪在等差数列中，若䁖䁖䁖，且，求.18.求满足下列条件的曲线方程：䁪已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的倍，点ǡܽ在该椭圆上，求椭圆的方程；䁪已知双曲线的离心率为，焦点是䁖ǡܽ，ǡܽ，求双曲线标准方程．19.如图，在正方体䁖中，为的中点．䁪求证：平面；䁪求直线与平面所成角的正弦值．20.已知抛物线䁕䁕䁕ܽ上一点香ǡ到其焦点的距离为．䁪求抛物线方程；䁪过点ǡܽ，且斜率为的直线交抛物线交于，两点，求证：䁨21.已知如图一，，ܽ，，分别为，的中点，在上，且，为中点，将沿折起，沿折起，使得，重合于一点（如图二）．䁪求证：平面；䁪求二面角䁖䁖的大小．䁕22.如图，曲线由上半椭圆䁖ܽǡܽ和部分抛物线䁖试卷第3页，总9页 䁕䁖ܽ连接而成，与的公共点为，，其中的离心率为.䁪求，的值；䁪过点的直线与，分别交于点，（均异于点，），是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．试卷第4页，总9页 参考答案与试题解析2020-2021学年广东省深圳市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.D2.B3.C4.D5.C6.B7.C8.B二、多选题9.B,C,D10.A,B11.A,C,D12.A,B,C三、填空题13.14.15.16.,ǡ䁖四、解答题17.解：䁪∵，，䁖，䁖，䁖.䁖䁪∵数列是等差数列，䁖䁖䁖䁪䁖，䁖，䁖ǡ∴ǡǡǡ解得或ǡ设数列公差为，则或䁖，可得䁖或䁖䁖.18.解：䁪①当椭圆的焦点在䁕轴上时，䁕设椭圆方程为䁖ܽ，由题可知.试卷第5页，总9页 又因为长轴长是短轴长的倍，则，䁕则椭圆方程为：䁖；②当椭圆的焦点在轴上时，䁕设椭圆的方程为䁖ܽ，由题可知.又因为长轴长是短轴长的倍，则，䁕则椭圆方程为䁖.䁕䁕综上所述，椭圆方程为䁖或䁖．䁪由题可知，双曲线是等轴双曲线，且焦点在䁕轴上，故可设双曲线方程为䁕䁖ܽ.又因为焦点是䁖ǡܽ，ǡܽ，故可得⸲，解得，䁕故双曲线方程为䁖．19.䁪证明：在正方体䁖中，且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.䁪解：由题以为䁕轴，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为，则ܽǡܽǡܽ，ܽǡܽǡ，ǡܽǡ，∵为的中点，∴ܽǡǡ，∴ܽǡܽǡ，ǡܽǡ，ܽǡǡ，试卷第6页，总9页 设平面的法向量为䁕ǡǡ，ܽ，则ܽ，䁕䁖ܽ，∴䁖ܽ，令䁕，则可得䁖，，∴䁪ǡǡ䁖），设直线与平面所成角为，ȁȁ∴sinȁcosǡȁȁȁȁȁ，䁖䁖则直线与平面所成角的正弦值为.䁕20.䁪解：由题意䁪ǡܽ，点䁪香ǡ到焦点的距离为，䁕䁕∴香，将点䁪ǡ代入䁕䁕得䁕，䁕，䁕.䁪证明：直线过点ǡܽ且斜率为，故直线的方程为䁕䁖ܽ①，设䁪䁕ǡ，䁪䁕ǡ，由①及䁕消去代入可得䁕䁖䁖䁕䁖ܽ，得：䁕䁕．又由䁕，䁕得到䁪䁕䁕⸲，又注意到ܽ，所以䁖．设，的斜率分别为ǡ，则，，䁕䁕䁖相乘得䁖，∴.21.证明：因为，分别为，的中点，所以，，又，䁖，由，故，所以䁖，故，又，，平面，所以平面，又平面，试卷第7页，总9页 故，如图，以直线，，分别为䁕，，轴建立空间直角坐标系，ǡܽǡܽ，ܽǡǡܽ，ܽǡܽǡ，ǡǡܽ，ܽǡǡܽ，䁖ǡǡܽǡǡǡܽ，所以䁖䁖ܽ，故,又，，平面，故平面.解：设平面的法向量为香䁕ǡǡ䁪ǡܽǡܽ，䁪䁖ǡ䁖ǡ,香ܽ，䁕ܽ，由取香ܽǡǡ，香ܽ，䁖䁕䁖䁖ܽ，设平面的法向量为ǡǡ，䁖ǡǡܽ，ܽ，䁖䁖ܽ，由得ǡǡ，ܽ，䁖䁖䁖ܽ，香䁖由cos香ǡ，香结合图象知二面角为钝角，故二面角䁖䁖为.22.解：䁪在抛物线䁖䁕䁖ܽ中，令ܽ，可得䁕，即䁪䁖ǡܽ，䁪ǡܽ，且䁖ǡܽ，ǡܽ是上半椭圆的左、右顶点，可得上半椭圆中，设半焦距为，由及䁖，可得，∴，．䁪由䁪知，上半椭圆的方程为䁖䁕䁪ܽ，易知，直线与䁕轴不重合也不垂直，设其方程为䁕䁖䁪ܽ，试卷第8页，总9页 代入的方程，整理得：䁖䁕䁖䁕䁖䁖ܽ.设点的坐标为䁕䁕ǡ䁕，∵直线过点，䁖䁖∴点的坐标为ǡ.䁖䁖䁕䁖ܽǡ同理，由䁖䁕䁖ܽǡ得点的坐标为䁖䁖ǡ䁖䁖．依题意可知，∴ǡ䁖，䁖ǡ䁖．䁖∵，∴ܽ，䁖即䁖䁖ܽ，䁖∵ܽ，∴䁖䁖ܽ，解得䁖，经检验，䁖符合题意，故直线的方程为䁖䁕䁖．试卷第9页，总9页