2019-2020学年广东省深圳市某校高二(上)期中考试数学试卷
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2019-2020学年广东省深圳市某校高二(上)期中考试数学试卷一、选择题)1.已知集合A={-1, 0, 1, 2}, B=x|x2≤1,则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}2.若z(1+i)=2i,则z=( )A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i3.设Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )A.-12B.-10C.10D.124.方程x2+y2-x+y+m=0表示一个圆,则m的范围是( )A.m<12B.m<2C.m≤12D.m≤25.要得到函数y=sin(4x-π3)的图象,只需将函数y=sin4x的图象( )A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位6.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a取值范围是( )A.[-3, -1]B.[-1, 3]C.[-3, 1]D.(-∞, -3]∪[1, +∞)7.已知过点P(2, 2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( )A.-12B.1C.2D.128.已知向量a→=(k,3),b→=(1,4),c→=(2,1),且(2a→-3b→)⊥c→,则实数k=( )A.-92B.0C.3D.1529.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-1910.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120∘,则C的离心率为( )试卷第5页,总5页
A.23B.12C.13D.14二、填空题)11.在等比数列{an}中,若a1=12,a4=-4,则公比q=________;|a1|+|a2|+...+|an|=________.三、解答题)12.已知圆C过点A(4,7),B(-3,6),且圆心C在直线l:2x+y-5=0上,求圆C的方程.13.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1, 0)和B(3, 4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=410.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程.14.在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0.若点B的坐标为(1, 2),求点A和点C的坐标.15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.16.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{an2n}的前n项和.17.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,右焦点到直线x+y+6=0的距离为23.(1)求椭圆的方程;(2)过点M(0, -1)作直线l交椭圆于A,B两点,交x轴于N点,满足NA→=-75NB→,求直线l的方程.试卷第5页,总5页
参考答案与试题解析2019-2020学年广东省深圳市某校高二(上)期中考试数学试卷一、选择题1.A2.D3.B4.A5.B6.C7.C8.C9.C10.D二、填空题11.-2,2n-1-12三、解答题12.解:设圆心为(a,b),半径为r,则圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2,∴(4-a)2+(7-b)2=r2,(-3-a)2+(6-b)2=r2,2a+b-5=0,解得a=1,b=3,r2=25,∴圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=25.13.解:(1)直线AB的斜率k=1,AB中点坐标为(1, 2),∴直线CD方程为y-2=-(x-1)即x+y-3=0 .(2)设圆心P(a, b),则由点P在直线CD上得: a+b-3=0 , ①又直径|CD|=410,∴|PA|=210.∴(a+1)2+b2=40, ②由①②解得a=-3,b=6或a=5,b=-2,∴圆心P(-3, 6)或P(5, -2).∴圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40 或(x-5)2+(y+2)2=40.14.解:点A为y=0与x-2y+1=0两直线的交点,∴点A的坐标为(-1, 0).∴kAB=2-01-(-1)=1.又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0,∴kAC=-1.∴直线AC的方程是y=-x-1.而BC与x-2y+1=0垂直,∴kBC=-2.∴直线BC的方程是y-2=-2(x-1).由y=-x-1,y=-2x+4,解得C(5, -6).∴点A和点C的坐标分别为(-1, 0)和(5, -6).试卷第5页,总5页
15.解:(1)由正弦定理及题设得sinA=sinBcosC+sinCsinB,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以sinB=cosB ,tanB=1.又B∈(0,π),所以B=π4.(2)△ABC的面积S=12acsinB=24ac,由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accosπ4.又a2+c2≥2ac,故ac≤42-2,当且仅当a=c时,等号成立,则ac的最大值为4(2+2)(2-2)(2+2)=4+22,因此△ABC的面积的最大值为2+1.16.解:(1)方程x2-5x+6=0的根为2,3,又{an}是递增的等差数列,故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=12,故an=2+(n-2)×12=12n+1.(2)设数列{an2n}的前n项和为Sn,由(1)得an2n=2+n2n+1,Sn=322+423+524+…+2+n2n+1,①12Sn=323+424+…+n+12n+1+n+22n+2,②①-②得12Sn=34+(123+124+125+…+12n+1)-n+22n+2=1-12n+1-n+22n+2,∴Sn=2-12n-n+22n+1=2-n+42n+1.17.解:(1)∵椭圆的离心率为32,右焦点到直线x+y+6=0的距离为23,∴ca=32|c+6|2=23∴c=6,a=22,∴b=2,∴椭圆的方程为x28+y22=1;试卷第5页,总5页
(2)设A (x1, y1),B(x2, y2),N(x0, 0),∵NA→=-75NB→,∴(x1-x0, y1)=-75(x2-x0, y2),∴y1=-75y2,①易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立,于是设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).与椭圆方程联立,消去x可得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0,②∴y1+y2=-24k2+1③,y1y2=1-8k24k2+1④,由①③可得y2=54k2+1,y1=-74k2+1代入④整理可得:8k4+k2-9=0,∴k2=1,此时②为5y2+2y-7=0,判别式大于0,∴直线l的方程为y=±x-1.试卷第5页,总5页
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