2019-2020学年山东省某校高二（上）期中数学试卷

2019-2020学年山东省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分，第1-10题为单选题，第11-13题为多选题，全部选对得4分，漏选得2分．选错得0分.）)1.椭圆＝的焦距为（）A.B.C.D.2.已知命题쳌䁟，lg䁟，则￢是（）A.䁟，lg쳌䁟B.쳌䁟，lg쳌䁟C.쳌䁟，lg䁟D.쳌䁟，lg䁟3.已知双曲线쳌䁟的焦距为，则双曲线的渐近线方程为（)A.＝B.＝C.＝D.＝4.若抛物线＝的焦点到准线的距离为，则＝（）A.B.C.D.5.在四棱锥䁩香中，底面䁩香是平行四边形，设䁩，，，则香可表示为（）A.B.C.D.6.椭圆的焦点为，，过点作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦长为，的周长为䁟，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.7.已知双曲线쳌䁟쳌䁟的渐近线被圆＝䁟截得的弦长为，双曲线的右焦点为的圆心，则该双曲线的方程为（）A.B.C.D.䁟䁟8.物线＝上的点到直线＝䁟的距离的最小值是（）A.B.C.D.䁟9.已知直线＝䁟与抛物线＝相交于䁩、两点，为抛物线的焦点且满足䁩＝，则的值是（）A.B.C.D.10.已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则试卷第1页，总8页,的最小值为（）A.B.C.D.11.给出下列选项中，能成为쳌充分条件的是()A.쳌B.是曲线上的点C.䁟D.是双曲线上的点12.若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（）A.若，则为椭图B.若．则为双曲线C.若为双曲线，则焦距为D.若为焦点在轴上的椭圆，则13.下列说法正确的是（）A.椭圆上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为B.过双曲线焦点的弦中最短弦长为C.抛物线＝‸上两点䁩．，则弦䁩经过抛物线焦点的充要条件为‸D.若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）)14.若“䁟䁃，䁟”是真命题，则实数的取值范围为________．15.双曲线쳌䁟쳌䁟的左右焦点为，＝，以坐标原点为圆心，以为半径作圆䁩，圆䁩与双曲线的一个交点为，若三角形的面积为，则的离心率为________．16.设䁩，分别是直线＝和＝上的动点，满足䁩＝，则䁩的中点的轨迹方程为________．17.卵形线是需见曲线的一种，分笛卡尔卵用线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设䁟，䁟是平面内的两个定点，＝（是常数）．得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若＝，则曲线过原点；③若䁟，其轨迹为线段．其中正确命题的序号是________．试卷第2页，总8页,三、解答题《本大题共6小题，满分82分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步握，）)18.已知䁩＝쳌䁟쳌䁟，＝䁟，若䁩是的必要不充分条件，求实数的取值范围．19.已知‸：方程＝䁟表示圆：：方程쳌䁟表示焦点在轴上的椭圆．Ⅰ若‸为真命题，求实数的取值范围；Ⅱ若命题‸、有且仅有一个为真，求实数的取值范围．20.已知椭圆쳌쳌䁟的焦距为，短半轴的长为，过点且斜率为的直线与椭圆交于䁩，两点．求椭圆的方程；求弦䁩的长．21.已知点为抛物线＝的焦点，过点作斜率为的直线与抛物线交于䁩，两点，与准线交于点，设点香为抛物线准线与轴的交点．Ⅰ若＝，求香䁩的面积；Ⅱ若䁩，䁩，证明：为定值．22.已知点到直线＝的距离比点到点䁩䁟的距离多．Ⅰ求点的轨迹方程：Ⅱ经过点䁟的动直线与点的轨交于，两点，是否存在定点使得＝？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由，23.已知椭圆＝的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．Ⅰ求双曲线的方程；Ⅱ若直线与相交于，两点，与相交于，两点，且，求的取值范围．四、附加题《本小题满分0分，计入总分）)24.如果你留心使会发现，汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状，把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面．这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束，又能发出较暗的，照射近距离的光线．我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，明亮的光束，是试卷第3页，总8页,由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯：而较暗的光线，不是由反射镜焦点的光源射出的，光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，如果把向上射出的光线遮住．车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了．请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理，并证明．试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2019-2020学年山东省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分，第1-10题为单选题，第11-13题为多选题，全部选对得4分，漏选得2分．选错得0分.）1.B2.B3.B4.D5.D6.C7.B8.C9.C10.B11.A,B,C12.B,D13.A,C二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）14.쳌15.．16.17.①②三、解答题《本大题共6小题，满分82分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步握，）18.由题意得䁩＝쳌䁟쳌䁟＝或쳌쳌䁟，＝䁟＝或，若”䁩”是““的必要不充分条件，则⫋䁩，则쳌，解得䁟；쳌䁟故实数的取值范围是䁟．试卷第5页，总8页,19.（1）命题‸：方程＝䁟，∴＝，∴쳌䁟且쳌䁟，∴实数的取值范围：䁟．（2）命题：方程쳌䁟表示焦点在轴上的椭圆．∴䁟当‸为真，为假时，，无解，当‸为假，为真时，，解得．䁟综上，实数的取值范围为：．20.解：由已知可得：，，，联立解得：，，．∴椭圆的标准方程为．直线的方程为：，即．设䁩，．，联立，化为：䁟，∴，，∴䁩䁃䁃．21.（1）：由的坐标分别为䁟，直线的斜率为，所以直线的方程为＝，设䁩，两点的坐标分别为，，由直线与抛物线联立得＝䁟，所以＝，＝．于是䁩＝＝．点香到直线＝䁟的距离，所以；（2）证明：设直线＝．则，联立可得＝䁟，，∵䁩，䁩，所以＝，＝，∴，．试卷第6页，总8页,∴䁟（定值）．22.（1）因为点到䁩䁟的距离比它到直线＝的距离小，所以点在直线＝的上方，点到䁩䁟的距离与它到直线＝的距离相等所以点的轨迹是以䁩为焦点，＝为准线的抛物线，所以曲线的方程为＝；（2）当动直线的斜率为䁟时，由对称性可得在轴上，设为䁟，设直线的方程为＝，联立，整理得＝䁟，设，，则＝，＝，所以䁟，因为䁟，所以＝，则䁟，综上，的坐标䁟．23.（1）由椭圆＝的左右顶点为䁟，䁟，可得＝，又椭圆的上顶点䁟到双曲线的渐近线＝䁟的距离为，由点到直线的距离公式有可得＝，所以双曲线的方程为＝；（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为＝，代入＝，消去并整理得＝䁟，䁟要与相交于两点，则应有쳌䁟䁟①，쳌设、，则有：，．又＝＝，又，所以有䁃＝＝…②，将＝，代入＝，消去并整理得：＝䁟，要有两交点，则＝쳌䁟쳌…③由①②③有：䁟．设、，则有：，．所以，试卷第7页，总8页,又＝，代入有：＝，令＝，则䁟䁃，令，又䁟䁃，所以쳌䁟在䁟䁃内恒成立，故函数在䁟䁃内单调递增，故䁟䁃，则有䁟䁟䁃．四、附加题《本小题满分0分，计入总分）24.设抛物线过点的切线为直线，法线交轴于，由光的反射性质可知＝，䁟由＝‸，不妨设在第一象限，䁟，‸当䁟＝䁟时，直线与轴重合，显然与轴重合，当䁟䁟时，设直线的斜率为，䁟则直线的方程为：＝䁟，‸代入抛物线方程可得：‸‸＝䁟，䁟䁟‸令＝‸‸䁟䁟＝䁟可得，䁟䁟故法线的斜率为．‸不妨设在第一象限，设＝，＝，＝，䁟䁟‸䁟则tan，tan‸，‸䁟䁟‸䁟‸䁟‸䁟‸‸‸䁟䁟䁟䁟‸䁟䁟∴tan＝tan＝tan䁟‸䁟‸‸‸‸‸‸．䁟䁟䁟‸䁟‸∴tantan＝䁟，故＝，∴轴．试卷第8页，总8页