2019-2020学年广东省某校高三（上）期中数学试卷（文科）

2019-2020学年广东省某校高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）)1.设集合集合集䁕，集合lg䁕，则集䁧A.䁞B.䁧䁞C.䁞D.䁧䁞2.若复数＝䁧䁧是纯虚数，其中是实数，则集䁧A.B.C.D.3.已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的䁧A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知sin集，则cos䁧集䁧A.B.C.D.5.已知函数䁧＝sin䁧，则其在区间䁞上的大致图象是（）A.B.C.D.6.曲线䁧＝䁧上的点到直线＝的距离最大值为，最小值为，则的值是（）A.B.C.D.7.等差数列合䁕的前项和为，已知＝，则的值为（）A.B.C.D.8.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）试卷第1页，总9页 A.B.C.D.9.已知定义在䁧䁞上的函数䁧＝，䁧＝ln，设两曲线＝䁧与＝䁧在公共点处的切线相同，则值等于（）A.B.C.D.10.若函数䁧集䁧在区间䁞上不是单调函数，则函数䁧在上的极小值为（）A.B.C.D.11.如图所示，在棱长为的正方体ܤܥܤܥ中，是棱ܥܥ的中点，是侧面ܥܥ上的动点，且ܤ面ܤ，则在侧面ܥܥ上的轨迹的长度是䁧A.B.C.D.12.设椭圆集䁧的焦点为，，是椭圆上一点，且集，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当＝时，椭圆的离心率为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）)13.已知直线集和：䁧集，则的充要条件是集________．14.已知函数䁧＝ln，若䁧恒成立，求的取值范围．________．15.设等比数列合䁕满足集，集，则的最大值为________．试卷第2页，总9页 16.已知函数䁧＝sin䁧䁧，点，，是直线＝䁧与函数䁧的图象自左至右的某三个相邻交点，且＝集，则＝________．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）（一）必考题：60分.)17.已知为数列合䁕的前项和，且＝（是非零常数）．䁧Ⅰ求合䁕的通项公式；䁧Ⅱ设＝䁧log，当＝时，求数列合䁕的前项和．18.如图，在ܤ中，点在ܤ边上，集，集，集．䁧求；䁧若ܤ的面积是，求sinܤ．19.如图，在四棱锥ܤܥ中，底面ܤܥ为平行四边形，且ܤ＝ܥ＝．（（1））证明：平面ܤ平面ܥ；（2）若ܥ集集ܥ集ܤ．且四棱锥的侧面积为，求该四棱锥ܤܥ的体积．20.已知椭圆集䁧的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为．䁧求椭圆的方程；䁧若直线集䁥与椭圆分别交于，ܤ两点，且ܤ，试问点到直线ܤ的距离是否为定值，证明你的结论．21.已知函数䁧＝ln䁧．䁧Ⅰ若函数䁧有零点，求实数的取值范围；䁧Ⅱ证明：当，时，䁧ln．试卷第3页，总9页 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程])集cos22.在平面直角坐标系中，已知曲线＝与曲线（为集sin参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知＝䁧与，的公共点分别为，ܤ，䁧䁞，ܤ当集时，求的值．[选修4-5：不等式选讲])23.已知䁧＝．（1）求使得䁧的的取值集合；（2）求证：对任意实数，䁧，当时，䁧恒成立．试卷第4页，总9页 参考答案与试题解析2019-2020学年广东省某校高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.A2.A3.B4.A5.D6.C7.C8.A9.D10.A11.D12.B二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.14.15.16.三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）（一）必考题：60分.17.（1）当时，＝．①，＝②①-②可得＝䁧，当＝时，＝，当＝时，＝＝，故数列合䁕的通项公式为集．（2）由＝时，知集，故集䁧䁧，记数列合䁕的前项和为，＝䁧䁧䁧䁧＝䁧䁧䁧集䁧＝．故数列合䁕的前项和为．18.解：䁧在中，因为集，集，集，由余弦定理得集cos，所以集䁧䁧cos，整理得集，解得集，所以集，所以是等边三角形，所以集．䁧由于ܤ是的外角，所以ܤ集．试卷第5页，总9页 因为ܤ的面积是，所以ܤsinܤ集．解得ܤ集．在ܤ中，由余弦定理可得：ܤ集ܤܤcosܤ集cos集，所以ܤ集．ܤܤ在ܤ中，由正弦定理得集，sinܤsinܤsin所以sinܤ集集．19.证明：∵ܤ＝ܥ＝．∴ܤ，ܥܥ，∵四边形ܤܥ是平行四边形，∴ܤܥ，∴ܤܥ，又ܥ＝，平面ܥ，ܥ平面ܥ，∴ܤ平面ܥ，又ܤ平面ܤ，∴平面ܤ平面ܥ．取ܥ，ܤ的中点，，连接，，，由（1）知ܤ平面ܥ，故ܤܥ，ܤ，∴＝ܤ，ܤ，∴ܤ，∵＝ܥ，是ܥ的中点，∴ܥ，∴平面ܤܥ，∴ܤ，∴ܤ平面，故ܤ．设ܤ＝＝ܥ＝，则ܥ集，集，＝，∴集集，∴四棱锥ܤܥ的侧面积为集，解得＝，即ܤ＝，∴ܥ＝，集，∴四棱锥的体积集ܤܥ集集．20.解：䁧由题意知，集，则集，由椭圆离心率集集集，则集．∴椭圆的方程集.试卷第6页，总9页 䁧由题意，当直线ܤ的斜率不存在，此时可设䁧䁞，ܤ䁧䁞．又，ܤ两点在椭圆上，∴集䁞集，∴点到直线ܤ的距离集集，当直线ܤ的斜率存在时，设直线ܤ的方程为集䁥．设䁧䁞，ܤ䁧䁞集䁥，联立方程消去得䁧䁥䁥集．集，䁥由已知，集䁥，集䁥，由ܤ，则集，即䁧䁥䁧䁥集，整理得：䁧䁥䁥䁧集，䁥∴䁧䁥集．䁥䁥∴集䁧䁥，满足．∴点到直线ܤ的距离集集集为定值．䁥综上可知：点到直线ܤ的距离集为定值．21.（1）法：函数䁧集ln的定义域为䁧䁞．由䁧集ln，得䁧集集．因为，则䁧䁞时，䁧ሻ；䁧䁞时，䁧．所以函数䁧在䁧䁞上单调递减，在䁧䁞上单调递增．当＝时，䁧min＝ln．当ln，即ሻ时，又䁧＝ln＝，则函数䁧有零点．所以实数的取值范围为䁧䁞．法：函数䁧集ln的定义域为䁧䁞．由䁧集ln集，得＝ln．令䁧＝ln，则䁧＝䁧ln．当䁧䁞时，䁧；当䁧䁞时，䁧ሻ．所以函数䁧在䁧䁞上单调递增，在䁧䁞上单调递减．故集时，函数䁧取得最大值䁧集ln集．因而函数䁧集ln有零点，则ሻ．试卷第7页，总9页 所以实数的取值范围为䁧䁞．（2）证明：令䁧＝ln，则䁧＝ln．当ሻሻ时，䁧ሻ；当时，䁧．所以函数䁧在䁧䁞上单调递减，在䁧䁞上单调递增．当集时，䁧min集．于是，当时，䁧．①令䁧＝，则䁧＝＝䁧．当ሻሻ时，䁧；当时，䁧ሻ．所以函数䁧在䁧䁞上单调递增，在䁧䁞上单调递减．当＝时，䁧max集．于是，当时，䁧．②显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当，时，ln．因为，所以ln．所以lnln䁧lnlnln．所以ln䁧ln，即䁧ln．ln（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.曲线的极坐标方程为䁧cossin＝，即sin䁧集．曲线的普通方程为䁧＝，即＝，所以曲线的极坐标方程为＝cos．由（1）知集集䁞ܤ集ܤ集cos，cossinܤ∵集cos䁧cossin＝䁧cossin＝sin䁧ܤ∵集∴sin䁧＝，∴sin䁧集由ሻሻ，知ሻሻ，当集时，∴集．[选修4-5：不等式选讲]23.由䁧，即．而表示数轴上的对应点到和对应点的距离之和，而数轴上满足＝的点的坐标为和，试卷第8页，总9页 故不等式的解集为合ሻ䁕．证明：要证䁧，只需证䁧，∵＝，当且仅当䁧䁧时取等号，∴，由（1），当时，䁧，∴䁧，∴原命题成立．试卷第9页，总9页