2019-2020学年山东省济南市某校高三（上）期中数学试卷
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2019-2020学年山东省济南市某校高三（上）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求．)1.已知集合A＝{x|x>-2}，B＝{x|(x+5)(x-2)≤0}，则A∩B＝（）A.(-2, +∞)B.[-2, 2]C.(-2, 2]D.[-5, +∞)2.设z+iz=i，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.命题“∃x0∈R，x02+2019x0+2020<0”的否定为（）A.∀x∈R，x2+2019x+2020<0B.∀x∈R，x2+2019x+2020≤0C.∀x∈R，x2+2019x+2020≥0D.∃x0∈R，x02+2019x0+2020≥04.设a为非零实数，复数z1＝a+i，z2=1a-2i，则|z1⋅z2|的最小值为（）A.3B.3C.23D.95.函数f(x)=x2+ln|x|2x2的图象大致为（）A.B.C.D.6.若tan(α+π3)=23，则（）A.tanα=313B.tanα=337C.tan2α=2337D.tan2α=73237.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BO→⋅(DC→-DB→)=1，|BD→|=2，则DA→在DB→方向上的投影为（）试卷第7页，总8页, A.2B.2C.-2D.-28.已知函数f(x)＝x3-ax2-x+2，则“a≤2”是“f(x)在(2, 4)上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.∀x，y，z∈(0, +∞)，4x2+y2+1xy≥-z2+2z+m，则m的取值范围为（）A.(-∞,22-1]B.(-∞, 3]C.(-∞, 2]D.(-∞,42-1]10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(3-2x)＝f(2x-1)，且f(x)在[1, +∞)上单调递增，则（）A.f(0.20.3)<f(log30.5)<f(41.1)b.f(0.20.3)<f(41.1)<f(log30.5)c.f(41.1)<f(0.20.3)<f(log30.5)d.f(log30.5)<f(0.20.3)<f(41.1)11.将曲线y=sin2x-3sin(π-x)sin(x+3π2)上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到g(x)的图象，则下列说法正确的是（）a.g(x)的图象关于直线x=2π3对称b.g(x)在[0,>0 ，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是（）a.x1+x2＝-1b.x3x4＝1c.1<x4<2d.0<x1x2x3x4<113.定义在(0,>5B.若f(1)＝2，x>1，则f(x)>x2+12x+12C.f(3)-2f(1)<7D.若f(1)＝2，0<x<1，则f(x)>x2+12x+12试卷第7页，总8页, 二、填空题)14.若向量a→与b→互相垂直，且|a→|=1，|b→|=2，则|a→+2b→|=________．15.若函数f(x)=x2+1-kx的图象在点（1, f(1)）处的切线与直线x+5y-1＝0垂直，则k＝________．16.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x+1，则f(x)的解析式为________（________）=2x+1,x<00,x=02x-1,x>0 ，不等式f(x)<(12)x-1的解集为________．17.a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知abcos(A-B)＝a2+b2-c2．（1）tanAtanB＝________；（2）若A＝45∘，a＝2，则c＝________．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)18.a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知A=π6，sinC=43sinB．（1）若△ABC的面积为43，求b；（2）若c2-b2＝47，求△ABC的周长．19.已知A(4, 2)，B(m, 1)，C(2, 3)，D(1, 6)．（1）若AB→∥CD→，求cos⟨BD→,AC→⟩；（2）若向量AB→，BC→，CD→中存在互相垂直的两个向量，求m的值．20.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．（1）已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”．若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；（2）2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？（取10=3.2）21.已知函数f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx+1+sinx+cosx1+sinx-cosx．（1）化简f(x)，并求f(x)的最小正周期；（2）若f(α)＝8，求cos2α；（3）求f(x)的单调递增区间．22.已知二次函数f(x)＝4kx2-4kx+k+1．（1）若x1，x2是f(x)的两个不同零点，是否存在实数k，使(2x1+x2)(x1+2x2)=114成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．试卷第7页，总8页, （2）设k＝-1，函数g(x)=f(x)-8x-t,x<04x2-8x-t,x≥0 存在3个零点．(ⅰ)求t的取值范围；(ⅱ)设m，n分别是这3个零点中的最小值与最大值，求n-m的最大值．23.已知函数f(x)＝ex-2ax-a，g(x)＝lnx．（1）讨论f(x)的单调性；（2）用max{m, n}表示m，n中的最大值，若函数h(x)＝max{f(x), g(x)}(x>0)只有一个零点，求a的取值范围．试卷第7页，总8页, 参考答案与试题解析2019-2020学年山东省济南市某校高三（上）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求．1.C2.D3.C4.B5.B6.D7.B8.A9.B10.A11.A,B,D12.B,C,D13.C,D二、填空题14.1715.316.f,x,(-∞, 1)17.34105三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18.∵sinC=43sinB，∴由正弦定理可得c＝43b，∵S△ABC=12bcsinA=12×12×bc=14bc=3b2＝43，∴b＝2．∵c2-b2＝47，c＝43b，∴b＝1，c＝43，∴由余弦定理可得a2＝b2+c2-2bccosA＝1+48-2×43×32=37，∴a=37，∴△ABC的周长为1+43+37．19.AB→=(m-4,-1),CD→=(-1,3)，且AB→∥CD→，∴3(m-4)-1＝0，解得m=133，∴BD→=(-103,5),AC→=(-2,1)，∴cos<bd→,ac→>=BD→⋅AC→|BD→||AC→|=203+51009+25⋅5=76565；试卷第7页，总8页, AB→=(m-4,-1),BC→=(2-m,2),CD→=(-1,3)，①若AB→⊥BC→，则(m-4)(2-m)-2＝0，即m2-6m+10＝0，△<0，方程无解；②若AB→⊥CD→，则4-m-3＝0，解得m＝1；③若BC→⊥CD→，则m-2+6＝0，解得m＝-4，∴综上，m＝1或-4．20.当某次地震释放能量约1012焦耳时，E＝1012焦耳，代入lgE＝4.8+1.5M．得M=lg1012-4.81.5=12-4.81.5=4.8．∵4.8>4.7，故该次地震为“破坏性地震”．由题意知：汶川地震所释放出的能量是E1，日本地震所释放出的能量是E2，则lgE1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8+1.5×9＝18.3所以E1＝1016.8，E2＝1018.3；∴E2E1=101.5＝1010；取10=3.2，得E2E1=32．故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍．21.函数f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx+1+sinx+cosx1+sinx-cosx=2sin2x2+2sinx2cosx22cos2x2+2sinx2cosx2+2cos2x2+2sinx2cosx22sin2x2+2sinx2cosx2=2sinx．所以最小正周期为T＝2π．因为f(α)＝8，所以sinα=14，所以cos2α＝1-2sin2α=78．令u＝sinx，则函数y=2u在(-∞, 0)，(0, +∞)为减函数，所以f(x)的单调递增区间，即u＝sinx(x≠kπ，且x≠-π2+2kπ，k∈Z)单调递减区间，所以f(x)的单调递减区间为(2kπ-π, 2kπ-π2)和(2kπ+π2, 2kπ+π)(k∈Z)．22.由题意可知，k≠0，f(x)的两个不同零点；则△＝16k2-16k(k+1)＝-16k>0，解得k<0；则x1+x2＝1，x1x2=k+14k；假设存在实数k，使(2x1+x2)(x1+2x2)=114成立；∴(2x1+x2)(x1+2x2)=2(x1+x2)2+x1x2=2+k+14k=9k+14k=114，解得k=12，不满足；故不存在满足条件的k值；试卷第7页，总8页, 当k＝-1时，设h(x)＝g(x)+t，则h(x)=-4x2-4x(x<0)4x2-8x(x≥0) ；当x<0时，h(x)=-4(x+12)2+1≤1，当x≥0时；h(x)＝4(x-1)2-4≥-4；(ⅰ)作出函数h(x)的图象，如图所示，则-4<t<1；(ⅱ)设直线y＝t(-4<t<1)与该函数图象的最左边和最右边的交点分别为a，b；由-4x2-4x＝t，得：m=xa=-1-1-t2；由4x2-8x＝t，得：n=xb=2+4+t2；所以n-m=xb-xa=3+1-t+4+t2；因为(1-t+4+t)2=5+2-(t+32)2+254≤5+2254=10；所以当t=-32时，1-t+4+t取得最大值10；故n-m的最大值为：3+10223.函数f(x)的定义域为r，且f'(x)＝ex-2a．当a≤0时，f'(x)>0 对x∈R恒成立，所以f(x)在R上单调递增．当a>0时，令f'(x)＝0，得x＝ln(2a)，当x∈（-∞, ln(2a)）时，f'(x)<0．当x∈(ln(2a)，+∞)时，f'(x)>0．所以f(x)在（-∞, ln(2a)）上单调递减，在(ln(2a)，+∞)上单调递增．①当x∈(1, +∞)时，g(x)＝lnx>0，从而h(x)＝max{f(x), g(x)}≥g(x)>0，所以h(x)在(1, +∞)上无零点．②当x＝1时，f(1)＝e-3a，若a≥e3，h(1)＝max{f(1), g(1)}＝g(1)＝0，所以x＝1是h(x)的零点，若a<e3，h(1)＝max{f(1), g="">0，所以x＝1不是h(x)的零点，③当x∈(0, 1)时，g(x)＝lnx<0，所以h(x)在(0, 1)上零点个数只需要考虑f(x)在(0, 1)上的零点个数．f(x)在(0, 1)上的零点个数⇔f(x)＝0在(0, 1)上实根的个数⇔ex2x+1=a 在(0, 1)上实根的个数，令函数φ(x)=ex2x+1，x∈(0, 1)，则φ'(x)=(2x-1)ex(2x+1)2，所以φ(x)在(0, 12)上单调递减，在(12,1)上单调递增，当a</e3，h(1)＝max{f(1),></t<1；(ⅱ)设直线y＝t(-4<t<1)与该函数图象的最左边和最右边的交点分别为a，b；由-4x2-4x＝t，得：m=xa=-1-1-t2；由4x2-8x＝t，得：n=xb=2+4+t2；所以n-m=xb-xa=3+1-t+4+t2；因为(1-t+4+t)2=5+2-(t+32)2+254≤5+2254=10；所以当t=-32时，1-t+4+t取得最大值10；故n-m的最大值为：3+10223.函数f(x)的定义域为r，且f'(x)＝ex-2a．当a≤0时，f'(x)></bd→,ac→></x<1，则f(x)></x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是（）a.x1+x2＝-1b.x3x4＝1c.1<x4<2d.0<x1x2x3x4<113.定义在(0,></f(log30.5)<f(41.1)b.f(0.20.3)<f(41.1)<f(log30.5)c.f(41.1)<f(0.20.3)<f(log30.5)d.f(log30.5)<f(0.20.3)<f(41.1)11.将曲线y=sin2x-3sin(π-x)sin(x+3π2)上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到g(x)的图象，则下列说法正确的是（）a.g(x)的图象关于直线x=2π3对称b.g(x)在[0,>
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