2019-2020学年山东省枣庄市某校南校高三(上)期中考试数学试卷
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2019-2020学年山东省枣庄市某校南校高三(上)期中考试数学试卷一、选择题)1.已知集合A={x∈Z|0<x<4}, b="{x|(x+1)(x-2)<0}">0的解集为{x|-1<x<2}>0的解集为( )A.{x|x<-1或x>12}B.{x|-1<x<12}c.{x|-2<x<1}d.{x|x<-2>1}5.向量a→=(2,1),b→=(1,-1),c→=(k,2),若(a→-b→)⊥c→ ,则k的值是( )A.4B.-4C.2D.-26.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=12,S5=90,则等差数列{an}的公差d=( )A.2B.32C.3D.47.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为π,且对x∈R,f(x)≥fπ3恒成立,若函数y=f(x)在[0,a]上单调递减,则a的最大值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π68.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是AD的中点,动点P在底面ABCD内(不包括边界),若B1P//平面A1BM,则C1P的最小值是( )试卷第9页,总9页, A.305B.2305C.275D.4759.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c, 0),F2(c, 0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1A // F2B,则双曲线C的离心率为( )A.2+73B.4+73C.3+174D.5+17410.不等式x-3ex-alnx≥x+1(e是自然对数的底数)对任意x∈(1, +∞)恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞, 1-e]B.(-∞, 2-e2]C.(-∞, -2]D.(-∞, -3]11.下列函数既是偶函数,又在(-∞,0) 上单调递减的是( )A.y=2|x|B.y=x-23C.y=1x-xD.y=ln(x2+1)12.将函数f(x)=sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度得到g(x)图象,则下列判断正确的是( )A.函数g(x)在区间[π12,π2]上单调递增B.函数g(x)图象关于直线x=7π12对称C.函数g(x)在区间[-π6,π3]上单调递减D.函数g(x)图象关于点(π3,0)对称13.关于函数f(x)=2x+lnx,下列判断正确的是( )A.x=2是f(x)的极大值点B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点C.存在正实数k,使得f(x)>kx成立D.对任意两个正实数x1,x2,且x1>x2,若f(x1)=f(x2),则x1+x2>4二、填空题)14.若f(x)=3x,x≤01x,x>0 ,则f(f(-2))=_______.15.已知sinx=14, x为第二象限角,则 sin2x=_______.16.函数f(x)=2x2-4x+5x-1(x>1) 的最小值是_________.17.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为F,斜率为1的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P试卷第9页,总9页, ,若 AP→=3PB→,则 |AF|+|BF|=________, |AB|=________.三、解答题)18.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+2c)cosB+bcosA=0.(1)求B;(2)若b=3,△ABC的周长为3+23,求△ABC的面积.19.已知平面向量a→=(-1,2),b→=(2,m).(1)若a→⊥b→,求|a→+2b→|;(2)若m=0,求a→+b→与a→-b→夹角的余弦值.20.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a4=2a1+1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=an-12an,求数列{bn}的前n项和Tn.21.等边△ABC的边长为3,点D,E分别是边AB,AC上的点,且满足ADDB=CEEA=12(如图1).将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使平面 A1DE⊥ 平面BCED,连接A1B,A1C (如图2).(1)求证:A1D丄平面BCED;(2)在线段BC上是否存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为60∘?若存在,求出线段BP的长度;若不存在,请说明理由.22.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2,倾斜角为π4的直线l与椭圆C相交于A,B两点,线段AB的中点为M,且点M与坐标原点O连线的斜率为-12.1求椭圆C的标准方程;2若|AB|=43,P是以AB为直径的圆上的任意一点,求证:|OP|≤2+103.试卷第9页,总9页, 23.已知函数f(x)=(x+1)ex+12ax2+2ax(e是自然对数的底数).(1)讨论f(x)极值点的个数;(2)若x0(x0≠-2)是f(x)的一个极值点,且f(-2)>e-2,证明:f(x0)≤1.试卷第9页,总9页, 参考答案与试题解析2019-2020学年山东省枣庄市某校南校高三(上)期中考试数学试卷一、选择题1.D2.A3.B4.A5.B6.C7.B8.B9.C10.D11.A,D12.A,B,D13.B,D二、填空题14.915.-15816.2617.12,82三、解答题18.解:(1)已知(a+2c)cosB+bcosA=0.由正弦定理得,(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,整理得:sinAcosB+cosAsinB+2sinCcosB=0,解得:cosB=-12,由于:0<b<π,所以:b=2π3.(2)△abc的周长为3+23,则:a+b+c=3+23,由于:b=3,则:a+c=23.由于:b2=a2+c2-2accosb=(a+c)2-2ac-2accosb,解得:ac=3.故:s△abc=12acsinb=334.19.解:(1)∵a→⊥b→,a→=(-1,2),b→=(2,m),∴a→⋅b→=0,即-2+2m=0,解得:m=1,∴a→+2b→=(-1,2)+(4,2)=(3,4),试卷第9页,总9页,>|=|A1P→⋅n→||A1P→|⋅|n→|,=|332λ|(2-32λ)2+(332λ)2+1⋅12=32.解得λ=56 ,此时|BP→|=56|BC→|=52 ,所以存在满足要求的点P,且线段BP的长度为52.22.解:1由已知得b=1,故椭圆C:x2a2+y2=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为:y=x+m,代入x2a2+y2=1.得:(1+a2)x2+2ma2x+m2a2-a2=0.故x1+x2=-2ma21+a2,x1⋅x2=m2a2-a21+a2.故线段AB的中点为M的横坐标:x0=x1+x22=-ma21+a2,线段AB的中点为M的纵坐标:y0=x0+m=m1+a2,M与坐标原点O连线的斜率:k=y0x0=-1a2=-12,解得:a2=2.试卷第9页,总9页, 故求椭圆C的标准方程:x22+y2=1.2由a2=2,故x1+x2=-4m3,x1⋅x2=2m2-23.|AB|=2|x1-x2|=2⋅(x1+x2)2-4x1x2=2⋅16m29-4(2m2-2)3=433-m2=43.解得:m2=2.线段AB的中点为M的坐标为:(-2m3,m3),|OM|2=5m29=109,|OM|=103.|OP|≤|OM|+12|AB|=2+103.23.(1)解: f(x)的定义域为R,f'(x)=(x+2)(ex+a),①若a≥0,则ex+a>0,所以当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0;当x∈(-2,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞) 上单调递增.所以x=-2为f(x)唯一的极小值点,无极大值,故此时f(x)有一个极值点.②若a<0,令f'(x)=(x+2)(ex+a)=0,则x1=-2,x2=ln(-a),当a<-e-2时,-2<ln(-a),则当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0;当x∈(-2,ln(-a))时,f'(x)<0;当x∈(ln(-a),+∞)时,f'(x)>0.所以-2,ln(-a)分别为f(x)的极大值点和极小值点,故此时f(x)有2个极值点.当a=-e-2时,-2=ln(-a),f'(x)=(x+2)(ex+a)≥0且不恒为0,此时f(x)在R上单调递增,无极值点.当-e-2<a<0时,-2>ln(-a),则当x∈(-∞,ln(-a))时,f'(x)>0;当x∈(ln(-a),-2)时,f'(x)<0;当x∈(-2,+∞)时,f'(x)>0.试卷第9页,总9页, 所以ln(-a),-2分别为f(x)的极大值点和极小值点,故此时f(x)有2个极值点.综上,当a=-e2时,f(x)无极值点;当a≥0时,f(x)有1个极值点;当a<-e-2或-e-2<a<0时,f(x)有2个极值点.(2)证明:若x0(x0≠2)是f(x)的一个极值点,由(1)可知a∈(-∞,-e-2)∪(-e-2,0),又f(-2)=-e-2-2a>e-2,所以a∈(-∞,-e-2),且x0≠-2,则x0=ln(-a),所以f(x0)=f(ln(-a))=12a[ln2(-a)+2ln(-a)-2].令t=ln(-a)∈(-2,+∞),a=-et,所以g(t)=f(ln(-a))=-12et(t2+2t-2),故g'(t)=-12t(t+4)et.又因为t∈(-2,+∞),所以t+4>0,令g'(t)=0,得t=0.当t∈(-2,0)时,g'(t)>0,g(t)单调递增,当t∈(0,+∞)时,g'(t)<0,g(t)单调递减,所以t=0是g(t)唯一的极大值点,也是最大值点,即g(t)≤g(0)=1,故f(ln(-a))≤1,即f(x0)≤1.试卷第9页,总9页</a<0时,f(x)有2个极值点.(2)证明:若x0(x0≠2)是f(x)的一个极值点,由(1)可知a∈(-∞,-e-2)∪(-e-2,0),又f(-2)=-e-2-2a></a<0时,-2></ln(-a),则当x∈(-∞,-2)时,f'(x)></b<π,所以:b=2π3.(2)△abc的周长为3+23,则:a+b+c=3+23,由于:b=3,则:a+c=23.由于:b2=a2+c2-2accosb=(a+c)2-2ac-2accosb,解得:ac=3.故:s△abc=12acsinb=334.19.解:(1)∵a→⊥b→,a→=(-1,2),b→=(2,m),∴a→⋅b→=0,即-2+2m=0,解得:m=1,∴a→+2b→=(-1,2)+(4,2)=(3,4),试卷第9页,总9页,></x<12}c.{x|-2<x<1}d.{x|x<-2></x<2}></x<4},>
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