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2019-2020学年浙江省某校高三(上)期中数学试卷
2019-2020学年浙江省某校高三(上)期中数学试卷
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2019-2020学年浙江省某校高三(上)期中数学试卷一、选择题:每小题4分,共40分)1.已知集合=‸㈱‸,=‸㈱log‸,则=()A.䁞㌳䁃B.䁞C.香䁞D.䁞㌳䁃2.已知椭圆的离心率为,则其焦距为()A.B.C.D.3.设为复数,为其共轭复数,则“”是“㈱㈱”的()A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面知平且平=,是平面内一点,,是异于且不重合的两条直线,则下列说法中错误的是()A.若且平,则B.若知且知平,则知C.若且,则平D.若且知,则知平‸䳌香,5.设‸,满足不等式组‸香,若‸䳌的最大值为䳌Ȁ,最小值‸香,为䳌,则实数的取值范围是A.䁞䁃B.䁞䁃C.䁞䳌D.䁞䁃6.将编号为,,,,,㌳,的小球放入编号为,,,,,㌳,的七个盒子中,每盒放一球,若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同,则不同的放法种数为()A.香香B.C.D.香7.已知,R,随机变量满足‸‸䳌,其中‸䁞香䁞,若,则䁃䳌香A.B.C.D.8.已知实数‸,满足‸香,且=,则‸䳌的最小值为()试卷第1页,总11页,A.B.C.D.9.已知可导函数‸的导函数为̵‸,若对任意的‸,都有‸̵‸䳌,且‸香Ȁ为奇函数,则不等式‸香‸的解集为()A.䁞香B.香䁞䳌C.䁞D.,䳌10.已知数列满足,䳌䳌N,则使的正整数香的最小值是A.香B.香ȀC.香香D.香二、填空题:单空题每题4分,多空题每题6分)11.我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题:“以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长,井深各几何?”其大意为:“用绳子测量井的深度,若将绳三等分,则绳比井的深度长四尺;若将绳四等分,则绳比井的深度长一尺.”则绳长________尺,井深________尺.12.一个几何体的三视图如图所示,其中,正视图中䁨是边长为的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的体积为________,表面积为________.13.已知,则‸项的二项式系数是________;㈱香㈱䳌㈱㈱䳌㈱㈱䳌䳌㈱㌳㈱=________.14.在䁨中,䁨=,=䁨,为䁨上一点且满足,则当䁨最大时,sin䁨=________,䁨的面积为________.15.已知点䁞是双曲线右支上的一点,,分别为其左、右焦点,线段交䁨的左支于点,则㈱㈱䳌㈱㈱=________.16.已知香时直角三角形䁨的斜边䁨上的高,点在香的延长线上,且满足.若,则的值为________.17.如图,在䁨中,,䁨香,䁨.过䁨的中点的动直线与线段交于点,将沿直线向上翻折至̵,使得点̵在平面试卷第2页,总11页,䁨内的投影落在线段䁨上,则点̵的轨迹长度为________.三、解答题:5小题,共74分)18.已知角,平的顶点与原点重合,始边与‸轴的非负半轴重合,点,分别在,平的终边上.(1)求cos平的值;(2)设函数,求‸的最小正周期和单调递减区间.19.如图,四边形䁨香是正方形,四边形香为矩形,䁨知,为的中点.(1)求证:知平面䁨香;(2)二面角䁨香的大小可以为㌳香吗?若可以,求出此时的值,若不可以,请说明理由.20.已知数列是等比数列,且满足䳌㌳=䳌,是数列的前项和,且䳌=,=,=.䳌䳌(1)求,的通项公式;(2)设=,是数列的前项和.若对任意的正整数,䳌恒成立,求实数的取值范围.21.如图,已知抛物线䁨‸和点䁞,过点作直线分别交䁨于、两点,为线段的中点,‸香䁞香为抛物线䁨上的一个动点.试卷第3页,总11页,(1)当香时,过点作直线知交䁨于另一点香,为线段香的中点,设、的纵坐标分别为、.求㈱㈱的最小值;(2)证明:存在香的值,使得㈱㈱㈱㈱恒成立.22.已知函数‸=ln‸‸‸䁞.Ⅰ当=时,设‸,‸为‸的两个不同极值点,证明:‸䳌‸ln;Ⅱ设‸,‸为‸的两个不同零点,证明:‸䳌‸‸䳌‸.试卷第4页,总11页,参考答案与试题解析2019-2020学年浙江省某校高三(上)期中数学试卷一、选择题:每小题4分,共40分1.C2.B3.C4.D5.B6.C7.B8.B9.B10.C二、填空题:单空题每题4分,多空题每题6分11.㌳,12.,13.,㌳14.,15.䳌16.17.三、解答题:5小题,共74分18.由已知可得:sin,cos,sin,cos,试卷第5页,总11页,所以cos,sin,所以cos平=cos㌳平cos䳌sin平sin=;由sin,cos,所以函数‸=sin‸䳌=䳌ㄮ=),所以函数的最小正周期为=,令,解得‸,所以函数的单调递减区间为ㄮ䳌,ㄮ.19.证明:∵四边形香是矩形,∴知香,又䁨知,䁨香=、香平面䁨香,∴知平面䁨香;∵为的中点,∴,∴知平面䁨香,以为坐标原点,分别以香、所在直线为‸、,设=,=,则(),䁨香,,香,香,平面香的一个法向量为,,,设平面䁨的一个法向量为,由,取‸=,得,试卷第6页,总11页,由㈱cos㈱=㈱=cos㌳香,解得,即.∴二面角䁨香的大小可以为㌳香,时的值为.20.,∴䳌香,香=,又=,∴,已知:,,∴,∴,∴,又满足,∴,试卷第7页,总11页,已知:,,由系数相等得:,∴=䳌䳌䳌=,∴,∴恒成立,∴恒成立,又,时,,∴香,即.21.因为分别交䁨于,两点,所以直线不平行于‸轴,设方程为‸䳌䳌,‸䁞,‸䁞,‸香䁞香,联立直线与椭圆䁨的方程可得香香,所以㌳香㌳䳌䳌香,䳌由韦达定理可得,因为直线交椭圆䁨于点,,所以直线不平行于‸轴,即香,又因为知,设直线‸䳌䳌,香‸䁞,联立直线与椭圆的方程可得䳌香,因为为线段香的中点,香䳌由韦达定理可得,所以㈱㈱㈱䳌㈱,当且仅当时取等号,所以㈱㈱的最小值为.证明:当直线不经过点时,㈱㈱㈱㈱等价于知,即ㄮㄮ,设直线的方程为‸䳌䳌,‸䁞,‸䁞,由(1)联立方程可得香香,试卷第8页,总11页,䳌=由韦达定理,,=香香香又ㄮ‸,‸香香䳌香同理可得ㄮ,䳌香㌳所以ㄮㄮ,䳌香䳌香于是䳌䳌䳌䳌㌳香,香香将代入整理可得䳌香,香香香=香要使得该式恒成立,则,解得香,‸香,=香香当直线经过点时,ㄮㄮ‸‸‸‸䳌䳌䳌䳌䳌䳌䳌䳌䳌䳌䳌㌳䳌㌳香䳌,香䳌䳌䳌䳌㌳䳌㌳所以存在香时,使得㈱㈱㈱㈱.22.证明:Ⅰ当=时,‸=ln‸䳌‸‸,∴̵‸=䳌‸=,∵‸,‸为‸的两个不同极值点,∴‸,‸为方程‸‸䳌=的两个不同正根,∴‸䳌‸=,‸‸=,又香,∴,∴‸䳌‸=ln‸䳌‸‸䳌ln‸䳌‸‸㌳=ln‸‸䳌‸䳌‸‸䳌‸=ln‸‸䳌‸䳌‸‸‸䁃‸䳌‸㌳=lnln.(2)要证明‸䳌‸‸䳌‸,即ln,下面分别证明ln‸㌳䳌‸⩽‸䳌‸和两式相加即得结论,先证明ln‸䳌‸㌳⩽‸䳌‸,令=‸䳌‸,即证ln䳌⩽香,试卷第9页,总11页,令函数=ln䳌㌳,则,∴在香䁞单调递增,䳌单调递减,∴⩽=,证毕.再证明-,即,∵‸,‸为‸的两个不同零点,不妨设‸‸,∴①,∴①-②可得ln,两边同时乘以可得,即=,令,则,即证,即ln,试卷第10页,总11页,即证ln,令函数,则,∴在香䁞㌳单调递增,∴=香,证毕.试卷第11页,总11页
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高中 - 数学
发布时间:2021-09-05 21:33:12
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