2019-2020学年广东省广州市某校高二（上）期中数学试卷

2019-2020学年广东省广州市某校高二（上）期中数学试卷一、选择题)1.双曲线x2-4y2＝1的焦距为（）A.3B.32C.5D.522.已知抛物线y＝ax2(a>0)的焦点到准线的距离为2，则a＝（）A.4B.2C.14D.123.已知双曲线y24-x23=1，则焦点到渐近线的距离为（）A.4B.23C.2D.34.已知x，y的线性回归直线方程为y=0.82x+1.27，且x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的为（）x0123y0.8m3.14.3A.变量x，y之间呈现正相关关系B.可以预测当x＝5时，y＝5.37C.m＝2.09D.由表格数据可知，该回归直线必过点(1.5, 2.5)5.为了解某校高二1000名学生的体能情况，随机抽查部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（）A.该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有200人B.该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有20人C.该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次D.该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次6.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=()A.-14B.-4C.4D.14试卷第7页，总7页 7.以椭圆x24+y23=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）A.y23-x2=1B.x2-y23=1C.x24-y23=1D.x23-y24=18.若x1，x2，…，x2018的平均数为3，方差为4，且yi＝-3(xi-2)，i＝x1，x2，…，x2018，则新数据y1，y2…的平均数和标准差分别为（）A.-3，12B.-6 12C.-3 6D.-6 369.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，与双曲线x2-y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(     )A.x28+y22=1B.x212+y26=1C.x216+y24=1D.x220+y25=110.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为（）A.4B.22C.2D.811.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，F1A与y轴相交于点D，若BD⊥F1A，则椭圆C的离心率等于（）A.13B.33C.12D.3212.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝120∘，则椭圆的离心率e的取值范围为（）A.(0,32]B.[32,1)C.(0,34]D.[34,1)二、填空题)13.已知双曲线的一条渐近线方程为x±y＝0，且过点(-1, -2)，则该双曲线的标准方程为________．14.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．15.直线y＝kx-2与双曲线x2-y2＝1有且仅有一个交点，则k＝________±1,±5．16.抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C（点B在点A，C之间），若|BC|=3|BF|，且|AB|=9，则p=________．三、解答题)17.已知圆M：(x+1)2+y2＝1，圆N：(x-1)2+y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，求动圆圆心P的轨迹方程．18.2019年是中华人民共和国成立70周年，某校党支部举办了一场“我和我的祖国”知识竞赛，满分100分，回收40份答卷，成绩均落在区间[50, 100]内，将成绩绘制成如下的频率分布直方图．试卷第7页，总7页 （1）估计知识竞赛成绩的中位数和平均数．（2）从[80, 90),[90, 100]分数段中，按分层抽样随机抽取5份答卷，再从对应的党员中选出3位党员参加县级交流会，求选出的3位党员中有2位成绩来自于[90, 100]分数段的概率．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点坐标分别是(-4, 0)，(4, 0)短轴长等于焦距．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相交于M，N两点，线段MN的中点为(1, 1)，求直线l的方程．20.基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率y%进行了统计，结果如表：月份2018.112018.122019.012019.022019.032019.04月份代码x123456y111316152021（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y与月份代码x之间的关系．如果能，请计算出y关于x的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本1000元/辆的A型车和800元/辆的B型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如表：车型/1年2年3年4年总计试卷第7页，总7页 报废年限A10304020100B15403510100经测算，平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？参考数据：i=16 (xi-x¯)(yi-y¯)＝35，i=16 (xi-x¯)2＝17.5，i=16 (yi-y¯)2＝76，1330≈36.5．参考公式：相关系数r=i=1n (xi-x¯)(yi-y¯)i=1n (xi-x¯)2i=1n (yi-y¯)2，b=i=1n (xi-x¯)(yi-y¯)i=1n (xi-x¯)2，a=y¯-bx¯．21.已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点F(1, 0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线AB过点(8, 0)，求证：直线OA，OB的斜率之积为定值．22.已知椭圆E:E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，动点P在椭圆E上，△PF1F2的周长为6．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线PF2与椭圆E的另一个交点为Q，过P，Q分别作直线l:x＝t(t>2)的垂线，垂足为M，N，l与x轴的交点为T．若四边形PMNQ的面积是△PQT面积的3倍，求直线PQ斜率的取值范围．试卷第7页，总7页 参考答案与试题解析2019-2020学年广东省广州市某校高二（上）期中数学试卷一、选择题1.C2.C3.D4.C5.B6.A7.B8.C9.D10.A11.B12.B二、填空题13.y23-x23=114.615.±1，±516.4三、解答题17.圆M：(x+1)2+y2＝1，圆N：(x-1)2+y2＝9，设动圆P半径为R．∵M在N内，∴动圆只能在N内与N内切，不能是N在动圆内，即：R<3，动圆P与圆M外切，则PM＝1+R，动圆P与圆N内切，则PN＝3-R，∴PM+PN＝4，即P到M和P到N的距离之和为定值．∴P是以M、N为焦点的椭圆．∵MN的中点为原点，故椭圆中心在原点，∴2a＝4，a＝2，2c＝MN＝2，c＝1，∴b2＝a2-c2＝4-1＝3，∴动圆圆心P的方程为x24+y23=1(x≠-2)．18.由频率分布直方图可知平均数为：55×0.005×10+65×0.025×10+75×0.02×10+85×0.03×10+95×0.02×10＝试卷第7页，总7页 78.5．由频率分布直方图可知前3个小矩形的面积和为0.5，后2个小矩形的面积的和为0.5，∴估计中位数为80．[80, 90),[90, 100]分数段中答卷数分别为12，8，抽取比例为512+8=14，∴[80, 90),[90, 100]分数段中抽取的答卷数分别为3，2，记[80, 90)中对应的3位党员为a，b，c，[90, 100]中对应的2位党员为x，y，则从中选出对应的3位党员，共有10种不同选法，分别为：(a, b, c)，(a, b, x)，(a, b, y)，(a, c, x)，(a, c, y)，(a, x, y)，(b, c, x)，(b, c, y)，(b, x, y)，(c, x, y)，其中有2位来自[90, 100]分数段的有3种，∴选出的3位党员中有2位成绩来自于[90, 100]分数段的概率p=310．19.由题意可知，a=4b=ca2=b2+c2 ，解得a=4b=22c=22 ，∴椭圆C的方程为：x216+y28=1；设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则x1+x2＝2，y1+y2＝2，∵点M，N在椭圆C上，∴x1216+y128=1x2216+y228=1 ，两式相减得：(x1+x2)(x1-x2)16+(y1+y2)(y1-y2)8=0，化简得：y1-y2x1-x2=-12，∴直线l的斜率为-12，∴求直线l的方程为：y-1=-12(x-1)，即x+2y-3＝0．20.由表格中数据可得，x¯=3.5，y¯=16．∵r=i=1n (xi-x¯)(yi-y¯)i=1n (xi-x¯)2i=1n (yi-y¯)2=3517.5×76=351330≈0.96．∴y与月份代码x之间具有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．∴b=i=1n (xi-x¯)(yi-y¯)i=1n (xi-x¯)2=3517.5=2，a=y¯-bx¯=16-2×3.5＝9．∴关于x的线性回归方程为y=2x+9．这100辆A款单车平均每辆的利润为：试卷第7页，总7页 1100(-500×10+0×30+500×40+1000×20)=350（元），这100辆B款单车平均每辆的利润为：1100(-300×15+200×40+700×35+1200×10)=400（元）．∴用频率估计概率，A款单车与B款单车平均每辆的利润估计值分别为350元、400元，应采购B款车型．21.因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1, 0)，所以p2=1,p=2．得到抛物线方程为y2＝4x．证明：设直线的方程为x＝my+8，A(xA, yA)，B(xB, yB)联立x=my+8y2=4x ⇒y2-4my-32＝0．y1y2＝-32，y1+y2＝4m．直线OA，OB的斜率之积为y1y2x1x2=y1y2y124⋅y224=16y1y2=-12．∴直线OA，OB的斜率之积为定值．22.因为P是E上的点，且F1，F2为E的左、右焦点，所以|PF1|+|PF2|＝2a，又因为|F1F2|＝2c，△PF1F2的周长为6，所以2a+2c＝6，又因为椭圆的离心率为12，所以ca=12，解得a＝2，c＝1．所以b=3，E的方程为x24+y23=1．…………依题意，直线PQ与x轴不重合，故可设直线PQ的方程为x＝my+1，由x24+y23=1x=my+1 ，消去x得：(3m2+4)y2+6my-9＝0，设P(x1, y1)，Q(x2, y2)则有△>0且y1+y2=-6m3m2+4,y1⋅y2=-93m2+4．设四边形PMNQ的面积和△PQT面积的分别为S1，S2，则S1＝3S2，又因为S1=12[(t-x1)+(t-x2)]×|y1-y2|，S2=12(t-1)×|y1-y2|．所以12[(t-x1)+(t-x2)]×|y1-y2|=3×12(t-1)×|y1-y2|，即3(t-1)＝2t-(x1+x2)，得t＝3-(x1+x2)，又x1＝my1+1，x2＝my2+1，于是t＝3-(my1+my2+2)＝1-m(y1+y2)，所以t=1+6m23m2+4，由t>2得1+6m23m2+4>2，解得m2>43，设直线PQ的斜率为k，则k=1m，所以0<k2<34，解得-32<k<00<k<32，所以直线PQ斜率的取值范围是(-32,0)∪(0,32)．…………试卷第7页，总7页