2018-2019学年广东省广州市某校高一(上)期中数学试卷
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2018-2019学年广东省广州市某校高一(上)期中数学试卷一、选择题(每小题5分,共60分))1.已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6},集合P={1, 3, 5},Q={1, 2, 4},则(∁UP)∪Q=( )A.{1}B.{3, 5}C.{1, 2, 4, 6}D.{1, 2, 3, 4, 5}2.设集合A={-1, 3, 5},若 f:x:→2x-1是集合A到集合B的映射,则集合B可以是()A.{1, 2, 3}B.{0, 2, 3}C.{-3, 5, 9}D.{-3, 5}3.可作为函数y=f(x)的图象的是()A.B.C.D.4.下列四组函数中,表示同一函数的是()A.f(x)=|x|,g(x)=x2B.f(x)=lg x2,g(x)=2lg xC.f(x)=x2-1x-1,g(x)=x+1D.f(x)=x+1⋅x-1,g(x)=x2-15.如果奇函数f(x)在区间[2, 8]上是减函数且最小值为6,则f(x)在区间[-8, -2]上是( )A.增函数且最小值为-6B.增函数且最大值为-6C.减函数且最小值为-6D.减函数且最大值为-66.下列函数中,既是偶函数又在区间(0, +∞)上单调递增的函数是()A.y=x+3B.y=2|x|+1C.y=-x2-1D.y=3-|x|7.幂函数f(x)=xα的图象过点(12,22),则log2f(2)的值为()A.12B.-12C.2D.-28.给出函数f(x)=a2x-1+2(a为常数,且a>0,a≠1),无论a取何值,函数f(x)恒过定点P,则P的坐标是( )A.(0, 1)B.(1, 2)C.(1, 3)D.(12, 3)试卷第5页,总6页
9.已知a=log2 0.3,b=30.2,c=0.32,则()A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b10.函数y=xax|x|(0<a<1)的图象的大致形状是( )A.B.C.D.11.已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示,则不等式xf(x)<0的解集为()A.(1, 2)B.(-2, -1)C.(-2, -1)∪(1, 2)D.(-1, 1)12.若函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7ax-6,x7 单调递增,则实数a的取值范围是()A.(94, 3)B.[94, 3)C.(1, 3)D.(2, 3)二、填空题(每小题5分,共20分))13.已知函数f(x)=x+4,x<0,x-4,x>0, 则f[f(-3)]的值为________.14.函数f(x)=2-xx2+x-6的定义域是________.15.若函数f(x)=ax(0<a≠1)在[-1, 2]上的最大值为4,最小值为m,则m=________.16.函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=-x+1,则f(x)=________.三.解答题(其中17题10分,18-22题12分,共70分))17.(1)计算0.06413-(-78)0+[(-2)3]-43+|-0.01|12;17.(2)34lg25+2log23+lg(22).试卷第5页,总6页
18.全集U=R,函数f(x)=1x+2+lg(3-x)的定义域为集合A,集合B={x|x2-a<0}.(1)求∁UA;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.19.已知函数f(x)=mx+nx2+1是定义在(-1, l)上的奇函数,且f(-12)=-25.(I)确定函数f(x)的解析式;(Ⅱ)当x∈(-l, 1)时,判断函数f(x)的单调性,并证明.20.已知f(x)是定义在(0, +∞)上的函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,当x>1时,f(x)>0.(1)求f(8)的值;(2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.21.若二次函数满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[a, a+1]的最大值;(3)若在区间[-1, 1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.22.定义:对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.1已知二次函数f(x)=ax2+2x-4a(a≠0),试判断f(x)是否为定义域R上的“局部奇函数”?若是,求出满足f(-x)=-f(x)的x的值;若不是,请说明理由;(2)若f(x)=2x+m是定义在区间[-1, 1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.(3)若f(x)=4x-m⋅2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.试卷第5页,总6页
参考答案与试题解析2018-2019学年广东省广州市某校高一(上)期中数学试卷一、选择题(每小题5分,共60分)1.C2.C3.B4.A5.D6.B7.A8.D9.A10.D11.C12.B二、填空题(每小题5分,共20分)13.-314.{x|x<2且x≠-3}15.12或11616.-x+1,x<00,x=0-x-1,x>0三.解答题(其中17题10分,18-22题12分,共70分)17.0.06413-(-78)0+[(-2)3]-43+|-0.01|12=(0.43)13-1+(-2)-4+0.0112=0.4-1+116+0.1=-716.34lg25+2log23+lg(22)=34×2×lg5+3+32lg2=32(lg5+lg2)+3=32+3=92.18.解:(1)对于函数f(x)=1x+2+lg(3-x),x+2>0,且3-x>0,∴-2<x<3,∴A={x|-2<x<3},∴∁UA={x|x≤-2或x≥3}.(2)当a≤0时,B=⌀,满足A∪B=A;当a>0时,B={x|-a<x<a},∵A∪B=A,∴B⊆A,∴-a≥-2,a≤3, ∴0<a≤4,综上所述,实数a的取值范围是a≤4.试卷第5页,总6页
19.(I)∵函数f(x)=mx+nx2+1是定义在(-1, l)上的奇函数,∴f(0)=0,∴n=0,∴f(x)=mxx2+1,∵f(-12)=-25,∴m=1,∴f(x)=xx2+1;(2)∵f(x)=xx2+1,∴f'(x)=x2+1-x⋅2x(x2+1)2=-(x+1)(x-1)(x2+1)2,∵x∈(-l, 1),∴f'(x)>0,∴当x∈(-l, 1)时,函数f(x)单调递增.20.∵f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=1,∴f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2)+f(2)+f(2)=3;设x1,x2∈(0, +∞),且x2>x1,则x2x1>1,有f(x2x1)>0,∴f(x2)=f(x2x1⋅x1)=f(x2x1)+f(x1),即f(x2)-f(x1)=f(x2x1)>0,故f(x1)<f(x2),则f(x)在(0, +∞)上为增函数.由f(x)-f(x-2)>3,得f(x)>f(x-2)+3=f(x-2)+f(8)=f[8(x-2)],得x>0x-2>0x>8(x-2) ,解得2<x<167.∴不等式f(x)-f(x-2)>3的解集为(2, 167).21.设y=f(x)=ax2+bx+c,∵f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,∴c=1且a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x,∴2a=2,a+b=0,解得a=1,b=-1,函数f(x)的表达式为f(x)=x2-x+1.∵f(x)=x2-x+1=(x-12)2+34,则对称轴为x=12,①当a≥12时,则在区间[a, a+1]上,函数f(x)为增函数,则最大值f(a+1)=a2+a-1.②当0<a<12时,则在区间[a, a+1]上,函数f(x)先减后增,最大值f(a+1)=a2+a-1.③当试卷第5页,总6页
-12<a≤0时,则在区间[a, a+1]上,函数f(x)先减后增,则最大值f(a)=a2-a+1.④当a≤-12时,则在区间[a, a+1]上,函数f(x)为减函数,则最大值为f(a)=a2-a+1.综上述,当a>0时,函数f(x)最大值为f(a+1)=a2+a-1;当a≤0时,函数f(x)的最大值为f(a)=a2-a+1.当x∈[-1, 1]时,f(x)>2x+m恒成立,即x2-3x+1>m恒成立,令g(x)=x2-3x+1,x∈[-1, 1],∴g(x)在[-1, 1]上递减,∴当x=1时,g(x)取最小值-1,∴m<-1.22.解:1当f(x)=ax2+2x-4a(a≠0),时,方程f(-x)=-f(x)即2a(x2-4)=0,有解x=±2,所以f(x)为“局部奇函数”.2当f(x)=2x+m时,f(-x)=-f(x)可化为2x+2-x+2m=0,因为f(x)的定义域为[-1, 1],所以方程2x+2-x+2m=0在[-1, 1]上有解.令t=2x∈[12, 2],则-2m=t + 1t.设g(t)=t + 1t,则g'(t) = t2 - 1t2,当t∈(0, 1)时,g'(t)<0,故g(t)在(0, 1)上为减函数,当t∈(1, +∞)时,g'(t)>0,故g(t)在(1, +∞)上为增函数. 所以t∈[12, 2]时,g(t)∈[2, 52].所以-2m∈[2, 52],即m∈[ - 54, -1].3当f(x)=4x-m2x+1+m2-3时,f(-x)=-f(x)可化为4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0.t=2x+2-x≥2,则4x+4-x=t2-2,从而t2-2mt+2m2-8=0在[2, +∞)有解即可保证f(x)为“局部奇函数”.令F(t)=t2-2mt+2m2-8,1∘ 当F(2)≤0,t2-2mt+2m2-8=0在[2, +∞)有解,由当F(2)≤0,即2m2-4m-4≤0,解得1 - 3 ≤ m≤1 + 3; 2∘ 当F(2)>0时,t2-2mt+2m2-8=0在[2, +∞)有解等价于 △ = 4m2 - 4(2m2 - 8) ≥ 0 m> 2 F(2)> 0 ,解得1 + 3 ≤ m≤22. 综上,所求实数m的取值范围为1 - 3 ≤ m≤22.试卷第5页,总6页
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