2018-2019学年上海市某校高一(上)周爽数学试卷【含答案可编辑】
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2018-2019学年上海市某校高一(上)周爽数学试卷一、选择题:)1.设全集为U,定义集合M与N的运算:M*N={x|x∈M∪N且x∉M∩N},则N*(N*M)=()A.MB.NC.M∩∁UND.N∩∁UM2.设集合P1={x|x2+ax+1>0},P2={x|x2+ax+2>0},Q1={x|x2+x+b>0},Q2={x|x2+2x+b>0},其中a,b∈R,下列说法正确的是()A.对任意a,P1是P2的子集,对任意b,Q1不是Q2的子集B.对任意a,P1是P2的子集,存在b,使得Q1是Q2的子集C.存在a,P1不是P2的子集,对任意b,Q1不是Q2的子集D.存在a,P1不是P2的子集,存在b,使得Q1是Q2的子集3.P,Q是实数集R的两个非空子集,若函数f(x)满足当x∈P时,f(x)=2x;当x∈Q时,f(x)=x.记A={y|y=f(x), x∈P},B={y|y=f(x), x∈Q},下列四个命题中:正确的是()(1)若P∩Q=⌀,则A∩B=⌀;(2)若P∩Q≠⌀,则A∩B≠⌀;(3)若P∪Q=R,则A∪B=R;(4)若P∪Q≠R,则A∪B≠R;A.0个B.1个C.2个D.3个4.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足M∪N=Q,M∩N=⌀,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素,则称(M, N)为戴德金分割试判断,对于任一戴德金分割(M, N),下列选项中,不可能成 立的是()A.M没有最大元素,N有一个最小元素B.M没有最大元素,N也没有最小元素C.M有一个最大元素,N有一个最小元素D.M有一个最大元素,N没有最小元素二、填空题:)5.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A且k+1∉A,那么k是A的一个“单独元”,给定A={1, 2, 3, 4, 5},则A的所有子集中,只有一个“单独元”的集合共有________个.6.若集合A1,A2满足A1∪A2=A,则称(A1, A2)为集合A的一种分析,并规定:当且仅当A1=A2时,(A1, A2)与(A2, A1)为集合A的同一种分析,则集合A={a1, a2, a3}的不同分析种数是________.7.若X是一个集合,τ是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足:①X属于τ,⌀属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中有限个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a, b, c},对于下面给出的四个集合τ:①τ={⌀, {a}, {c}, {a, b, c}};②τ={⌀, {b}, {c}, {b, c}, {a, b, c}};③τ={⌀, {a}, {a, b}, {a, c}};④τ={⌀, {a, c}, {b, c}, {c}, {a, b, c}}.其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是________.试卷第3页,总4页
8.设集合P={1, 2, ..., 6},A,B是P的两个非空子集.则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A, B)的个数为:________.9.若规定集合M={a1, a2, ..., an}(n∈N*)的子集{ai1, ai2, ⋯aim}(m∈N*)为M的第k个子集,其中k=2i1-1+2i2-1+⋯+2in-1,则M的第25个子集是________.10.已知集合A={0, 2, 3},B={x|x=a⋅b, a, b∈A},则集合B的子集个数为________.11.已知集合P={x|1≤x≤6, x∈N},对它的非空子集A,将A中每个元素k,都乘以(-1)k再求和(如A={1, 3, 6},可求得和为(-1)⋅1+(-1)3⋅3+(-1)6⋅6=2,则对M的所有非空子集,这些和的总和是________.12.已知集合A={x|x2-16≤0, x∈R},B={x||x-3|≤a, x∈R},若B⊆A,则正实数a的取值范围是________.13.已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},在U中任取四个元素组成的集合记为A={a1, a2, a3, a4},余下的四个元素组成的集合记为∁UA={b1, b2, b3, b4},若a1+a2+a3+a4<b1+b2+b3+b4,则集合A的取法共有________种.14.已知集合A中有10个元素,集合B中有6个元素,全集U中有18个元素,且有A∩B≠⌀,设集合∁U(A∪B)中有x个元素,则x的取值范围是________.15.设f(x)=ax2+2x-3,g(x)=x2+(1-a)x-a,M={x|f(x)≤0},P={x|g(x)≥0}.若M∩P=R,则实数a的取值集合为________.16.定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集,记为P(A),用n(A)表示有限集A的元素个数.给出下列命题:①对于任意集合A,都有A∈P(A);②存在集合A,使得n[P(A)]=3;③若A∩B=⌀,则P(A)∩P(B)=⌀;④若A⊆B,则P(A)⊆P(B);⑤若n(A)-n(B)=1,则n[P(A)]=2×n[P(B)].其中所有正确命题的序号为________.三、解答题:)17.已知集合A={1, 2, 3, ..., 2n}(n∈N*).对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m,使得对于S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m,则称S具有性质P.(Ⅰ)当n=10时,试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1, k∈N*}是否具有性质P?并说明理由.(Ⅱ)若n=1000时①若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由;②若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值.试卷第3页,总4页
参考答案与试题解析2018-2019学年上海市某校高一(上)周爽数学试卷一、选择题:1.A2.B3.C4.C二、填空题:5.136.277.②④8.1299.{a1, a4, a5}10.1611.9612.(0, 1]13.3114.3≤x≤8且x为整数15.{-1}16.①④⑤三、解答题:17.(1)当n=10时,集合A={1, 2, 3, ..., 19, 20},B={x∈A|x>9}={10, 11, 12, ..., 19, 20}不具有性质P.因为对任意不大于10的正整数m,都可以找到该集合中两个元素b1=10与b2=10+m,使得|b1-b2|=m成立.集合C={x∈A|x=3k-1, k∈N*}具有性质P.因为可取m=1<10,对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1,c2=3k2-1,k1,k2∈N*都有|c1-c2|=3|k1-k2|≠1.(2)当n=1000时,则A={1, 2, 3, ..., 1999, 2000}①若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P.首先因为T={2001-x|x∈S},任取t=2001-x0∈T,其中x0∈S,因为S⊆A,所以x0∈{1, 2, 3, ..., 2000},从而1≤2001-x0≤2000,即t∈A,所以T⊆A.由S具有性质P,可知存在不大于1000的正整数m,使得对S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m.对于上述正整数m,从集合T={2001-x|x∈S}中任取一对元素t1=2001-x1,t2=2001-x2,其中x1,x2∈S,则有|t1-t2|=|x1-x2|≠m,所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P.②设集合S有k个元素.由第①问知,若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P.任给x∈S,1≤x≤2000,则x与2001-x中必有一个不超过1000,所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000,不妨设S中有t(t≥k2)个元素b1,b2,…,bt不超过1000.由集合S具有性质P,可知存在正整数m≤1000,使得对S中任意两个元素试卷第3页,总4页
s1,s2,都有|s1-s2|≠m,所以一定有b1+m,b2+m,…,bt+m∉S.又bi+m≤1000+1000=2000,故b1+m,b2+m,…,bt+m∈A,即集合A中至少有t个元素不在子集S中,因此k+k2≤k+t≤2000,所以k+k2≤2000,得k≤1333,当S={1, 2, ..., 665, 666, 1334, ..., 1999, 2000}时,取m=667,则易知对集合S中任意两个元素y1,y2,都有|y1-y2|≠667,即集合S具有性质P,而此时集合S中有1333个元素.因此集合S元素个数的最大值是1333.试卷第3页,总4页
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