2019-2020学年广东省汕头市某校高二（上）期中考试数学试卷

2019-2020学年广东省汕头市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.设集合M={x|x2-3x-4<0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N等于(    )A.(0, 4]B.[0, 4)C.(-1, 0)D.[-1, 0)2.直线x+2y-3=0与直线2x+ay-1=0垂直，则a的值为(    )A.-1B.4C.1D.-43.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的区间是(    )A.(0, 12)B.(12, 1)C.(1, 2)D.(2, 3)4.某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的体积为(    )A.6B.12C.18D.365.已知函数f(x)=2x-4,x≥2，1x-2,x<2，f(a)=6，则a的值为(    )A.5B.136C.5或136D.2或66.生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域PM2.5主要来自工业和民用污染，其中冬季民用污染占比超过 50% ，最主要的源头是散煤燃烧．因此，推进煤改清洁能源成为三地协同治理大气污染的重要举措．2018年是北京市压减燃煤收官年，450个平原村完成了煤改清洁能源，全市集中供热清洁化比例达到 99% 以上，平原地区基本实现“无煤化”，为了解“煤改气”后居民在采暖季里每月用气量的情况，现从某村随机抽取100户居民进行调查，发现每户的用气量都在150立方米到450立方米之间，得到如图所示的频率分布直方图.在这些用户中，用气量在区间 [300,350) 的户数为（    ）A.5B.15C.20D.25试卷第7页，总8页 7.已知x、y的取值如下表所示：x23456y97865如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为y=-34x+b，则 b=（    ）A.10B.11C.212D.4348.已知sinα-cosα=43 ，则sin2α=(    )A.-79B.-29C.29D.799.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60∘角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是(    )A.①②③B.②④C.③④D.②③④10.在直角梯形ABCD中,AB//CD,∠D=90∘,AB=2CD,M为BC的中点,若AM→=λAD→+μAB→(λ,μ∈R),则λ+μ=(    )A.1B.54C.34D.2311.直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.不确定12.已知定义在R上的函数f(x)=x2+2，x∈[0,1)，2-x2，x∈[-1,0)，且f(x+2)=f(x)．若方程f(x)-kx-2=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ）A.(13，1)B.(-13，-14)C.(-1,-13)∪(13，1)D.(-13，-14)∪(14,13)试卷第7页，总8页 二、填空题)13.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重________斤.”14.已知一个正方体的所有顶点在一个球面，若球的体积为6π，则正方体的棱长为________．15.已知直线l：kx-y+1+2k=0(k∈R)不经过第四象限，则k的取值范围为________．16.已知定义在 (-π2,π2) 的函数 f(x)=ex-1ex+2cos(π2-x) ，其中e是自然对数的底数，若 f(2a2)+f(a-3)+f(0)<0，则a的取值范围是     .三、解答题)17.如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=π3，b=13，c=3，D为BC的中点.(1)求AD的长；(2)求sin∠ADB的值.18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB // CD，∠ABC=45∘，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD．试卷第7页，总8页 (1)求证：AB // 平面PCD；(2)求证：BC⊥平面PAC.19.已知等差数列 {an} 的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为 Tn，若a1=b1=3，a4=b2，S4-T2=12．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)求数列{an+bn}的前n项和．20.已知圆C的圆心在直线2x-y-1=0上，且圆C经过点A(4，2)，B(0，2).(1)求圆的标准方程；(2)直线l过点P(1，1)且与圆C相交，所得弦长为4，求直线l的方程．21.如图，在直三棱柱（侧棱垂直底面的三棱柱）ABC-A1B1C1中，∠BAC=90∘，AC=AB=1，AA1=2，E是BC的中点，P为C1C中点.(1)求异面直线EP与AB所成的角的大小；(2)求点B点到面PAE的距离.22.已知二次函数f(x)=ax2+bx+5(x∈R)满足以下要求：①函数f(x)的值域为[1, +∞)；②f(-2+x)=f(-2-x)对x∈R恒成立．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设M(x)=f(lnx)lnx+1，求x∈[e, e2]时M(x)的值域．试卷第7页，总8页 参考答案与试题解析2019-2020学年广东省汕头市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.B2.A3.A4.A5.A6.D7.A8.A9.C10.B11.C12.C二、填空题13.914.215.[0, +∞)16.-32<a<1三、解答题17.解：(1)在ΔABC中，由余弦定理得b2=c2+a2-2a⋅ccosπ3，∴13=9+a2-2×3×a×12，解得a=4.∵D为BC的中点，∴BD=2．在△ABD中，由余弦定理得，AD2=AB2+BD2-2AB⋅BD⋅cos∠ABD=9+4-2×3×2×12=7，∴AD=7．(2)在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD=ABsin∠ADB，∴sin∠ADB=ABsin∠ABDAD=32114．18.证明：(1)∵AB // CD，且AB⊄平面PCD，DC⊂平面PCD．∴AB // 平面PCD.(2)在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，试卷第7页，总8页 ∵四边形ABCD是直角梯形，且∠ABC=45∘，则∠ADC=∠DAB=90∘，则四边形ADCE为矩形，∴AE=DC=1，又AB=2，∴BE=1.在Rt△BEC中，∠ABC=45∘，∴CE=BE=1，CB=2，∴AD=CE=1，则AC=AD2+DC2=2，AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．19.解：(1)由a1=b1，a4=b2，则S4-T2=(a1+a2+a3+a4)-(b1+b2)=a2+a3=12，设等差数列{an}的公差为d，则a2+a3=2a1+3d=6+3d=12，所以d=2，所以an=3+2(n-1)=2n+1.设等比数列{bn}的公比为q，因为b2=a4=9，即b2=b1q=3q=9，所以q=3，所以bn=3n.(2)由(1)知an+bn=(2n+1)+3n，所以{an+bn}的前n项和为(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn)=(3+5+⋯+2n+1)+(3+32+⋯+3n)=(3+2n+1)n2+3(1-3n)1-3=n(n+2)+3(3n-1)2．20.解：(1)设圆心为M，则M应在AB的中垂线上，其方程为x=2.由x=2，2x-y-1=0,可得x=2,y=3,即圆心M坐标为(2,3).又半径r=|MA|=5，故圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=5.(2)由(1)可知圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=5，所以点P(1,1)在圆上，且弦长为4<25，故应有两条直线.试卷第7页，总8页 圆心到直线l的距离d=5-4=1.①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时圆心到直线距离为1，符合题意.②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y-1=k(x-1)，整理为kx-y-k+1=0，则圆心到直线距离为d=|2k-3-k+1|k2+1=1，解得k=34，所以直线l的方程为3x-4y+1=0.综上①②，所求直线l的方程为x=1或3x-4y+1=0.21.解：(1)连接AC1，BC1.∵P，E分别是CC1，BC的中点，∴PE//BC1，∴∠ABC1是异面直线PE与AB所成的角或其补角．∵AC=AB=1，AA1=2，则由∠BAC=90∘可得AC1=3，BC=2，∴BC1=BC2+CC12=2,∴在△ABC1中，BC12=AB2+AC12.∴异面直线EP与AB所成的角为π3.(2)∵PC⊥面ABC，E为BC中点，∴VP-ACE=VP-ABE=12VP-ABC=12×13×12AB⋅AC⋅PC=12×13×12×1×1×22=224.∵面B1BCC1⊥面ABC，面B1BCC1∩面ABC=BC，AE⊂面ABC，AE⊥BC，∴AE⊥面B1BCC1.∵PE⊂面B1BCC1，试卷第7页，总8页 ∴AE⊥EP，∴S△AEP=12AE⋅EP=24.设点B到面AEP的距离为h，∵VB-AEP=13⋅S△AEP⋅h=VP-ABE=224，∴h=12，∴点B到面AEP的距离为12.22.解：(1)∵f(x)=ax2+bx+5=a(x+b2a)2+5-b24a，又∵f(-2+x)=f(-2-x)，∴对称轴为x=-2=-b2a.∵值域为[1, +∞)，∴a>0且5-b24a=1，∴a=1，b=4，则函数f(x)=x2+4x+5.(2)∵M(x)=f(lnx)lnx+1=(lnx)2+4lnx+5lnx+1，∵x∈[e, e2]，∴令t=lnx+1，则t∈[2，3]，∴(lnx)2+4lnx+5lnx+1=(t-1)2+4(t-1)+5t=t2+2t+2t=t+2t+2.∵t∈[2, 3]，∴t+2t∈[3,113]，∴t+2t+2∈[5, 173].∴所求M(x)值域为[5, 173]．试卷第7页，总8页