2019-2020学年广东省深圳市宝安区高三（上）期中数学试卷（文科）

2019-2020学年广东省深圳市宝安区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知全集＝‸㠱㠱㠱，集合＝㠱，集合＝‸㠱，则＝（）A.B.C.㠱D.㠱㠱2.已知复数满足‸耀＝耀，其中耀是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如图是一个边长为的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷‸ଅଅጁ个点，其中落入白色部分的有ଅ个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A.B.C.D.4.已知双曲线‸ଅ㠱ଅ，直线与的两条渐近线的交点分别为，，为坐标原点．若为直角三角形，则的离心率为A.B.C.D.‸5.已知数列中，＝，＝‸．若数列为等差数列，则ጁ＝（）‸A.B.C.D.‸6.已知sin，且ଅ㠱，则cos‸A.ଅB.C.‸D.7.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀个小灯，另一种是大灯下缀个小灯，大灯共ଅ个，小灯共‸ଅଅ个．若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀个小灯的概率为（）‸‸A.B.C.D.试卷第1页，总9页 8.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是ଅ，乙班学生成绩的中位数是ଅ，则′的值为()A.ጁB.C.ଅD.9.已知点是的重心，′㠱R，若‸ଅ，，则的最小值是()A.B.C.D.10.对于任意实数，，把代数运算′′的值叫做与的“加乘和谐数”，记作符号“′”，其中，，是常数，若已知‸′＝，′＝，若′䁪＝恒成立，则当且仅当非零实数䁪的值为（）A.B.C.D.ଅ‸11.设函数′的值域为，若ଅ㠱′，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.12.在所有棱长都相等的三棱锥中，，，分别是，，的中点，下列四个命题：（1）平面；（（2））平面；（3）平面平面；（4）平面平面．其中正确命题的序号为（）A.B.‸C.D.‸二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分．)13.曲线＝cos在点㠱处的切线方程为________．㠱14.在平面直角坐标系中，若动圆上的点都在不等式组′ଅ㠱表示的平′′ଅ面区域内，则面积最大的圆的标准方程为________．15.将函数sin′cos㠱R㠱ଅ的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．试卷第2页，总9页 16.已知数列的前项和为，‸‸，且‸（为常数）．若数列满足′ጁଅ，且，则满足条件的的取值集合为________．′‸三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.在中，＝ጁଅ，点，分别在边，上，＝，＝，且的面积为．（1）求边长；（2）若＝，求sin的值．18.如图，四棱锥中，底面，，＝‸ଅ，＝＝，＝，点为棱的中点中证明：平面；Ⅱ求点到平面的距离19.已知抛物线＝݌݌ଅ，直线＝‸与相交所得的长为ଅ．（1）求݌的值；（2）过原点直线与抛物线交于点，与直线＝交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求证：直线过定点．20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费耀和年销售量耀耀＝‸㠱㠱㠱㠱㠱的数据作了初步统计，得到如下数据：年份ଅ‸ଅ‸ଅ‸ଅ‸ଅ‸ଅ‸ଅ年宣传费（万元）ଅଅଅଅଅଅଅ年销售量（吨）‸ଅଅଅଅ‸ଅ经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式＝㠱ଅ．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：lnlnlnlnln耀耀耀耀耀耀‸耀‸耀‸耀‸‸ଅ‸ଅ‸（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）已知这种产品的年利润与，的关系为若想在ଅ‸ጁ年达到‸年利润最大，请预测ଅ‸ጁ年的宣传费用是多少万元？附：对于一组数据㠱‸，㠱，…，㠱，其回归直线＝′中的斜率试卷第3页，总9页 耀‸耀耀和截距的最小二乘估计分别为，耀‸耀‸21.已知函数ln′，是常数．Ⅰ证明：曲线＝在＝‸处的切线经过定点；Ⅱ证明：函数有且仅有一个零点．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．)22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，′曲线的极坐标方程为cos′sin＝‸，直线的参数方程为（为参数）．直线与曲线分别交于，两点．（1）若点的极坐标为㠱，求的值；（2）求曲线的内接矩形周长的最大值．23.设函数＝′‸′ଅ，＝．Ⅰ当＝‸时，求不等式的解集；Ⅱ已知恒成立，求的取值范围．试卷第4页，总9页 参考答案与试题解析2019-2020学年广东省深圳市宝安区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.B2.A3.B4.A5.D6.C7.D8.C9.C10.B11.C12.由图形及题设条件易知，进而可证明出平面，命题成立；由图形知，与相交，故平面不可能成立由图形及题设条件P在底面ABC上的投影不在中位线DF上，故平面PDF⊥平面ABC不成立，是假命题（1）由题设条件可证得BC⊥平面PAE，再由DF∥BC证得DF⊥平面PAE，即可得到平面PDF⊥平面PAE，命题成立二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分．13.ଅ14.‸′＝15.16.㠱三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‸‸17.如图，在中，sinsin，所以sin，因为ଅጁଅ，‸所以cos‸，‸由余弦定理得：＝′cos′ጁଅ，解得：因为＝ጁଅ，‸所以sinsinጁଅcos，试卷第5页，总9页 在，由正弦定理得，即‸，sinsinsin‸所以sin18.证明：Ⅰ取的中点，连结，，‸∵是棱的中点，∴，且，∵，＝，＝，∴，＝，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）取中点，连结，则，又底面，∴，＝，∴平面．由Ⅰ知平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，由＝＝，＝ଅ，得，∴点到平面的距离为．݌19.由，消可得݌݌＝ଅ，‸∴‸′＝݌，‸＝݌，∴弦长为‸′‸‸′‸݌′ଅ݌ଅ，解得݌＝或݌＝（舍去），∴݌＝，证明由（1）可得＝，‸设ଅ㠱ଅ，∴直线的方程，ଅ当＝‸时，试卷第6页，总9页 ∴，ଅ代入抛物线方程＝，可得，ଅ∴㠱，ଅଅଅଅ′ଅଅ∴直线的斜率，ଅ‸ଅଅଅ‸ଅ直线的方程为ଅଅ，整理可得‸，ଅଅ故直线过点‸㠱ଅ．20.对＝，ଅ㠱ଅ，两边取对数得ln＝ln′ln，令耀＝ln耀，耀＝ln耀，得＝ln′，ଅ‸由题目中的数据，计算，‸ଅ，且耀‸耀耀耀‸ln耀ln耀＝，‸ଅ‸；耀‸耀耀‸耀耀‸耀耀ଅଅ‸‸则‸ଅ‸ଅ‸，耀‸耀‸lnlnଅ‸＝‸，得出，所以关于的回归方程是；由题意知这种产品的年利润的预测值为＝‸′，‸‸‸‸所以当，即＝ጁଅ时，取得最大值，即当ଅ‸ጁ年的年宣传费用是ጁଅ万元时，年利润有最大值．‸21.（1）′曲线＝在＝‸处的切线为‸＝‸‸…‸即‸，当＝ଅ时，，试卷第7页，总9页 即切线过定点ଅ㠱‸（2）（1）当时，′ଅ单调递增，根据对数函数与幂函数性质，当是充分小的正数时，ଅ，当是充分大的正数时，ଅ，所以，有且仅有一个零点…‸′（2）当时，解′ଅ得，‸，ଅ㠱‸‸‸㠱㠱′+ଅ-ଅ+↗极大值↘极小值↗‸‸…‸ln′ln‸，ଅ其中‸，所以‸ଅ…′所以，任意ଅ㠱,ଅ，在区间ଅ㠱无零点…‸取ଅ＝′‸，则ଅ，ଅlnଅ′ଅଅଅ，所以，在区间㠱ଅ有零点…由的单调性知，在区间㠱′有且仅有一个零点综上所述，函数有且仅有一个零点…请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．22.曲线的极坐标方程为cos′sin＝‸，转换为直角坐标方程为：′‸．‸点的极坐标为㠱，转换为直角坐标为㠱ଅ．′把直线的参数方程为（为参数）．代入椭圆的方程为：ଅ（‸和为、对应的参数）所以：‸＝．故：＝‸＝由椭圆的直角坐标方程转换为cos㠱sin，所以：以为顶点的内接矩形的周长为cos′sin＝‸sin′ଅ所以：当时，周长的最大值为‸．‸‸‸23.（1）当＝‸时，或或‸′‸试卷第8页，总9页 ‸，′‸′‸解得‸或，所以原不等式的解集为‸或‸′‸‸′㠱（2）‸′‸′㠱‸，′‸′‸㠱当ଅ‸时，＝＝′‸，＝‸；min‸‸当‸时，max＝＝′，‸，综上：‸㠱′试卷第9页，总9页