2019-2020学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷

2019-2020学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合＝‸㘱，＝㘱，＝，则＝（）A.晦㘱‸㘱B.晦㘱C.‸㘱D.㘱‸㘱2.函数ln‸ݔ൅ݔ晦‸的定义域为（）A.晦㘱‸洠B.晦㘱‸洠C.晦‸㘱晦൅D.晦‸㘱晦洠‸‸‸‸‸晦൅㘱ሻ3.设函数൅，则晦൅ݔlog‸൅＝（）㘱A.B.C.D.4.已知，，满足൐൐，且ሻ，那么下列选项中不一定成立的是（）A.൐B.晦൅ሻC.‸ሻ‸D.晦൅ሻ5.已知向量㘱，满足‸㘱‸，且晦＝‸，则向量的夹角的余弦值为（）‸‸‸‸A.B.C.D.‸6.二十四节气是中国古代的一种指导农事的补充历法，是我国劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶，被誉为“中国的第五大发明”．由于二十四节气对古时候农事的进行起着非常重要的指导作用，所以劳动人民编写了很多记忆节气的歌谣：春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影是按照等差数列的规律计算出来的，在下表中，冬至的晷影最长为Ͳ寸，夏至的晷影最短为Ͳ⸸寸，那么《易经》中所记录的清明的晷影长应为（）节冬小大立雨惊春清谷立小芒夏气至寒寒春水蛰分明雨夏满种至（（（（（（（（（（（大小立霜寒秋白处立大小雪雪冬降露分露暑秋暑暑）））））））））））晷…Ͳ……………？…………Ͳ⸸影…………………………长度A.Ͳ‸寸B.‸Ͳ寸C.Ͳ寸D.‸Ͳ⸸寸7.已知等比数列的前项和为，若ݔ‸，＝ݔ＝，则⸸＝（）A.B.⸸C.D.试卷第1页，总9页,8.函数൅＝sinݔ൅（其中൐㘱ሻ）的图象如图所示，为了得到൅＝‸sin的图象，只需将൅图象（）A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度‸‸‸9.函数൅晦sin晦൅，൅是൅的导函数，则൅的图象大致是（）‸A.B.C.D.10.已知定义在上的函数൅满足ݔ＝，൅＝൅ݔ൅为偶函数，若൅在㘱൅内单调递减．则下面结论正确的是（）A.൅ሻ‸൅ሻln‸൅B.‸൅ሻln‸൅ሻ൅C.ln‸൅ሻ൅ሻ‸൅D.ln‸൅ሻ‸൅ሻ൅二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得4分．选对但不全的得2分，有选错的得0分．)11.下列命题中，是真命题的是（）A.已知非零向量㘱㘱ݔ晦㘱试卷第2页，总9页,B.若㘱ݔ㘱￢则，ln൐晦，൅ݔ൅，晦lnC.在䁨中．“sinݔsin＝cosݔcos”是“＝”的充要条件D.若定义在上的函数＝൅是奇函数，则＝（൅）也是奇函数ݔ‸12.设൅是定义在上的函数，若存在两个不相等的实数，‸，使得൅‸൅ݔ‸൅，则称函数൅具有性质，那么下列函数中，具有性质的函数为（）‸㘱①൅；②൅＝log‸；③൅＝ݔ；④൅＝‸．㘱A.①B.②C.③D.④13.设函数൅sin晦൅൐൅，已知൅在㘱洠有且仅有个零点，对于下列个说法正确的是（）A.在㘱൅上存在，‸，满足൅晦‸൅＝‸B.൅在㘱൅有且仅有个最大值点C.൅在㘱൅单调递增‸D.的取值范围是㘱൅三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．)14.若tan＝‸，则cosݔ‸൅________．‸‸15.若函数൅＝晦ݔݔ在区间㘱൅上单调递减，则实数的取值范围为‸________．16.䁨中，为䁨上的一点，满足䁨．若为上的一点，满足ݔ；________为值大最的则，൅൐㘱൐䁨ݔ的最小值为________．17.设䁨的内角，，䁨的对边分别为，，，已知，，依次成等比数列，且cos晦䁨൅晦cos，则sin䁨＝________．‸‸四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)18.已知等差数列的前项和为，且＝，＝‸．（1）求；（2）若，，ݔ‸成等比数列，求正整数的值．试卷第3页，总9页,19.设函数൅‸ൌ‸ݔ‸sincos的图象关于直线＝对称，其中为常数，且㘱൅．‸（1）求函数൅的解析式；（2）若൅＝，㘱൅，求的值．20.已知函数൅lnݔ㘱൅．（1）若曲线൅在点（㘱൅）处的切线与轴垂直，求的值；（2）若在区间㘱洠上至少存在一点，使得൅ሻ成立，求的取值范围．21.如图，在平面四边形䁨中，䁨，䁨＝䁨，䁨＝‸＝．（1）若䁨‸，求䁨的面积；（2）若䁨，求䁨．22.某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为⸸万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚万元，以后每月增加‸万元．如果从今年一月起投资万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前个月中的累计生产净收入൅是生产时间个月的二次函数൅＝‸ݔ（是常数），且前个月的累计生产净收入可达万元，从第个月开始，每个月的生产净收入都与第个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励‸万元．（1）求前个月的累计生产净收入൅的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入．23.已知൅㘱൅晦ln൅．‸（1）当൐时，证明൅൐൅；（2）已知点（㘱൅），点sin㘱晦cos൅，若为坐标原点，设函数൅，当晦㘱洠时，试判断൅的零点个数．‸试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2019-2020学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A2.B3.B4.C5.B6.D7.D8.C9.A10.A二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得4分．选对但不全的得2分，有选错的得0分．11.A,B,D12.A,B,C13.A,D三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．14.晦15.16.,17.‸四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.设公差为，则＝ݔ，＝‸ݔ‸，‸解得，＝‸，＝‸，所以：＝‸ݔ晦൅‸＝‸．ݔ൅‸ݔ൅因为‸㘱ݔ൅‸ݔ‸ݔ‸൅‸ݔ‸ݔ൅．‸又，，成等比数列，所以‸ݔ൅‸ݔ൅＝‸൅‸，化简得：‸晦晦＝ݔ‸解得：＝或＝晦，试卷第5页，总9页,又，∴＝．19.൅‸ൌ‸ݔ‸sincossin‸晦cos‸ݔ൅晦‸sin‸ݔ．∵图象关于直线＝对称，∴‸晦ݔ㘱．‸∴ݔ㘱㘱൅，‸‸令＝，得符合要求，∴函数൅＝‸sin晦൅ݔ；∵൅‸sin晦൅ݔ，∴sin晦൅，∴晦，即ݔ，，∵㘱൅，∴当＝时，；当＝时，．∴或．晦20.∵൅lnݔ，∴൅晦，‸‸∵曲线൅在点（㘱൅）处的切线与轴垂直，∴൅＝，∴൅＝晦＝，∴＝．晦∵൅㘱，‸令൅㘱，若在区间㘱洠上存在，使得൅ሻ，即൅在区间㘱洠上的最小值小于．①当ሻ，即ሻ时，൅ሻ在㘱ݔ൅上恒成立，∴൅在区间㘱洠上的最小值为൅ݔ．由ݔሻ㘱ሻ晦．②当ሻሻ时，即൐，此时，当㘱൅㘱൅ሻ㘱㘱൅㘱൅൐，∴൅在区间㘱洠上的最小值为൅lnݔ，由൅lnݔ晦ln൅ሻ，得൐．试卷第6页，总9页,③当，即ሻ，此时当㘱൅上时，൅ሻ恒成立，∴൅在㘱൅上的最小值为൅ݔ，显然ݔሻ不成立．综上可知，所求的取值范围为ሻ晦൐．21.∵䁨，＝‸，䁨‸，由余弦定理可得，䁨‸＝‸ݔ䁨‸晦‸䁨cos䁨，‸‸∴‸ݔ䁨ݔ䁨，‸∴䁨‸ݔ‸‸晦，∴䁨‸‸，或䁨晦‸（舍），‸䁨䁨sin䁨‸‸‸‸．‸‸‸设䁨＝䁨＝，则ሻሻ，䁨晦，䁨䁨‸在䁨中，，即，sin䁨sin䁨sinsin晦൅‸∴䁨．sin晦൅䁨䁨䁨在䁨中，，即，sin䁨sin䁨sinsin‸∴䁨．sin‸‸由，解得‸sin＝cos，sin晦൅sin又ሻሻ，∴sin，‸∴䁨‸．sin22.据题意൅＝‸ݔ＝，解得＝．∴൅＝‸ݔ．第个月的净收入为൅晦൅＝万元．∴൅＝൅ݔݔ‸＝‸ݔ‸＝万元．‸ݔ㘱㘱൅൅ݔ晦൅൅晦൅洠㘱൐㘱‸ݔ㘱㘱即൅，晦‸㘱൐Ͳ晦൅要想投资开始见效，必须且只需൅晦ݔ晦⸸൐‸ݔ‸洠，‸即൅ݔ‸晦晦⸸൐，①当＝，‸，，时，‸ݔݔ‸晦晦⸸൐，即‸‸ݔ‸晦⸸൐，即‸ݔ‸൅൐⸸，显然不成立．试卷第7页，总9页,②当൐时，晦‸ݔ‸晦晦⸸൐，即‸ݔ即，൐‸晦ݔ൅൐‸，验算得时，ݔ൅൐‸，所以，经过个月投资开始见效．23.令൅൅晦൅晦晦ln൅．‸晦൅晦൅‸则൅，‸令൅晦㘱൐，‸则൅晦，‸由൅൐㘱൐ln，‸由൅ሻ㘱ሻሻln，∴൅㘱ln൅递减，在ln㘱ݔ൅递增，‸‸‸∴൅ln൅晦ln晦ln൅൐，∴晦൐㘱ݔ൅上恒成立．‸‸‸‸‸‸‸∵൅在㘱൅递减，在㘱ݔ൅递增，∴൅൅晦൐，‸∴൅൐൅．∵点（㘱൅），点sin㘱晦cos൅，∴൅sin晦cos，∴൅＝ݔsin൅ݔ晦൅cos，①当晦㘱洠时，可知൐，‸∴晦ሻ，又sin，cos，∴൅ሻ㘱൅晦㘱洠单调递减，൅晦㘱晦൅൐‸‸‸．∴൅晦㘱洠上有一个零点，‸②当㘱洠㘱cossin൐㘱൐൐，∴cos൐sin，∴൅＝sin晦cosሻ恒成立．∴൅㘱洠上无零点．③当㘱洠㘱ሻcosሻsin，‸∴൅＝cosݔ൅nisݔsin晦cos൅൐，∴൅㘱洠上单调递增‸‸‸‸൅൐㘱൅晦晦൅ሻ，‸‸‸‸‸∴൅㘱洠上存在一个零点．‸试卷第8页，总9页,④当㘱洠时，∵sin൐，cosሻ，‸∴൅＝sin晦cos൐恒成立，∴൅㘱洠无零点．‸综上，൅晦㘱洠上零点个数为‸．‸试卷第9页，总9页