2019-2020学年山东省济南市章丘区高三(上)期中数学试卷
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2019-2020学年山东省济南市章丘区高三(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共13小题,每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,第1~10题只有一项符合题目要求;第11~13题,有多项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的不得分.)1.已知集合A={x|x>-2},B={x|(x+5)(x-2)≤0},则A∩B=()A.(-2, +∞)B.[-2, 2]C.(-2, 2]D.[-5, +∞)2.设z+iz=i,则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.命题“∃x0∈R,x02+2019x0+2020<0”的否定为()A.∀x∈R,x2+2019x+2020<0B.∀x∈R,x2+2019x+2020≤0C.∀x∈R,x2+2019x+2020≥0D.∃x0∈R,x02+2019x0+2020≥04.设a为非零实数,复数z1=a+i,z2=1a-2i,则|z1⋅z2|的最小值为()A.3B.3C.23D.95.函数f(x)=x2+ln|x|2x2的图象大致为()A.B.C.D.6.若tan(α+π3)=23,则()A.tanα=313B.tanα=337C.tan2α=2337D.tan2α=73237.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BO→⋅(DC→-DB→)=1,|BD→|=2,则DA→在DB→试卷第7页,总8页, 方向上的投影为()A.2B.2C.-2D.-28.已知函数f(x)=x3-ax2-x+2,则“a≤2”是“f(x)在(2, 4)上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.∀x,y,z∈(0, +∞),4x2+y2+1xy≥-z2+2z+m,则m的取值范围为()A.(-∞,22-1]B.(-∞, 3]C.(-∞, 2]D.(-∞,42-1]10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(3-2x)=f(2x-1),且f(x)在[1, +∞)上单调递增,则()A.f(0.20.3)<f(log30.5)<f(41.1)b.f(0.20.3)<f(41.1)<f(log30.5)c.f(41.1)<f(0.20.3)<f(log30.5)d.f(log30.5)<f(0.20.3)<f(41.1)11.将曲线y=sin2x-3sin(π-x)sin(x+3π2)上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到g(x)的图象,则下列说法正确的是()a.g(x)的图象关于直线x=2π3对称b.g(x)在[0,>0 ,若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是()a.x1+x2=-1b.x3x4=1c.1<x4<2d.0<x1x2x3x4<113.定义在(0,>5B.若f(1)=2,x>1,则f(x)>x2+12x+12C.f(3)-2f(1)<7D.若f(1)=2,0<x<1,则f(x)>x2+12x+12试卷第7页,总8页, 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在答题卡中的横线上)14.若向量a→与b→互相垂直,且|a→|=1,|b→|=2,则|a→+2b→|=________.15.若函数f(x)=x2+1-kx的图象在点(1, f(1))处的切线与直线x+5y-1=0垂直,则k=________.16.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x+1,则f(x)的解析式为________(________)=2x+1,x<00,x=02x-1,x>0 ,不等式f(x)<(12)x-1的解集为________.17.a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知abcos(A-B)=a2+b2-c2.(1)tanAtanB=________;(2)若A=45∘,a=2,则c=________.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18.a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知A=π6,sinC=43sinB.(1)若△ABC的面积为43,求b;(2)若c2-b2=47,求△ABC的周长.19.已知A(4, 2),B(m, 1),C(2, 3),D(1, 6).(1)若AB→∥CD→,求cos⟨BD→,AC→⟩;(2)若向量AB→,BC→,CD→中存在互相垂直的两个向量,求m的值.20.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.(1)已知地震等级划分为里氏12级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”.若某次地震释放能量约1012焦耳,试确定该次地震的类型;(2)2008年汶川地震为里氏8级,2011年日本地震为里氏9级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍?(取10=3.2)21.已知函数f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx+1+sinx+cosx1+sinx-cosx.(1)化简f(x),并求f(x)的最小正周期;(2)若f(α)=8,求cos2α;(3)求f(x)的单调递增区间.22.已知二次函数f(x)=4kx2-4kx+k+1.(1)若x1,x2是f(x)的两个不同零点,是否存在实数k,使(2x1+x2)(x1+2x2)=114成立?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.试卷第7页,总8页, (2)设k=-1,函数g(x)=f(x)-8x-t,x<04x2-8x-t,x≥0 存在3个零点.(ⅰ)求t的取值范围;(ⅱ)设m,n分别是这3个零点中的最小值与最大值,求n-m的最大值.23.已知函数f(x)=ex-2ax-a,g(x)=lnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)用max{m, n}表示m,n中的最大值,若函数h(x)=max{f(x), g(x)}(x>0)只有一个零点,求a的取值范围.试卷第7页,总8页, 参考答案与试题解析2019-2020学年山东省济南市章丘区高三(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共13小题,每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,第1~10题只有一项符合题目要求;第11~13题,有多项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的不得分.1.C2.D3.C4.B5.B6.D7.B8.A9.B10.A11.A,B,D12.B,C,D13.C,D二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在答题卡中的横线上14.1715.316.f,x,(-∞, 1)17.34105三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.∵sinC=43sinB,∴由正弦定理可得c=43b,∵S△ABC=12bcsinA=12×12×bc=14bc=3b2=43,∴b=2.∵c2-b2=47,c=43b,∴b=1,c=43,∴由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=1+48-2×43×32=37,∴a=37,∴△ABC的周长为1+43+37.19.AB→=(m-4,-1),CD→=(-1,3),且AB→∥CD→,∴3(m-4)-1=0,解得m=133,∴BD→=(-103,5),AC→=(-2,1),∴cos<bd→,ac→>=BD→⋅AC→|BD→||AC→|=203+51009+25⋅5=76565;试卷第7页,总8页, AB→=(m-4,-1),BC→=(2-m,2),CD→=(-1,3),①若AB→⊥BC→,则(m-4)(2-m)-2=0,即m2-6m+10=0,△<0,方程无解;②若AB→⊥CD→,则4-m-3=0,解得m=1;③若BC→⊥CD→,则m-2+6=0,解得m=-4,∴综上,m=1或-4.20.当某次地震释放能量约1012焦耳时,E=1012焦耳,代入lgE=4.8+1.5M.得M=lg1012-4.81.5=12-4.81.5=4.8.∵4.8>4.7,故该次地震为“破坏性地震”.由题意知:汶川地震所释放出的能量是E1,日本地震所释放出的能量是E2,则lgE1=4.8+1.5×8=16.8,lgE2=4.8+1.5×9=18.3所以E1=1016.8,E2=1018.3;∴E2E1=101.5=1010;取10=3.2,得E2E1=32.故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.21.函数f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx+1+sinx+cosx1+sinx-cosx=2sin2x2+2sinx2cosx22cos2x2+2sinx2cosx2+2cos2x2+2sinx2cosx22sin2x2+2sinx2cosx2=2sinx.所以最小正周期为T=2π.因为f(α)=8,所以sinα=14,所以cos2α=1-2sin2α=78.令u=sinx,则函数y=2u在(-∞, 0),(0, +∞)为减函数,所以f(x)的单调递增区间,即u=sinx(x≠kπ,且x≠-π2+2kπ,k∈Z)单调递减区间,所以f(x)的单调递减区间为(2kπ-π, 2kπ-π2)和(2kπ+π2, 2kπ+π)(k∈Z).22.由题意可知,k≠0,f(x)的两个不同零点;则△=16k2-16k(k+1)=-16k>0,解得k<0;则x1+x2=1,x1x2=k+14k;假设存在实数k,使(2x1+x2)(x1+2x2)=114成立;∴(2x1+x2)(x1+2x2)=2(x1+x2)2+x1x2=2+k+14k=9k+14k=114,解得k=12,不满足;故不存在满足条件的k值;试卷第7页,总8页, 当k=-1时,设h(x)=g(x)+t,则h(x)=-4x2-4x(x<0)4x2-8x(x≥0) ;当x<0时,h(x)=-4(x+12)2+1≤1,当x≥0时;h(x)=4(x-1)2-4≥-4;(ⅰ)作出函数h(x)的图象,如图所示,则-4<t<1;(ⅱ)设直线y=t(-4<t<1)与该函数图象的最左边和最右边的交点分别为a,b;由-4x2-4x=t,得:m=xa=-1-1-t2;由4x2-8x=t,得:n=xb=2+4+t2;所以n-m=xb-xa=3+1-t+4+t2;因为(1-t+4+t)2=5+2-(t+32)2+254≤5+2254=10;所以当t=-32时,1-t+4+t取得最大值10;故n-m的最大值为:3+10223.函数f(x)的定义域为r,且f'(x)=ex-2a.当a≤0时,f'(x)>0 对x∈R恒成立,所以f(x)在R上单调递增.当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln(2a),当x∈(-∞, ln(2a))时,f'(x)<0.当x∈(ln(2a),+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞, ln(2a))上单调递减,在(ln(2a),+∞)上单调递增.①当x∈(1, +∞)时,g(x)=lnx>0,从而h(x)=max{f(x), g(x)}≥g(x)>0,所以h(x)在(1, +∞)上无零点.②当x=1时,f(1)=e-3a,若a≥e3,h(1)=max{f(1), g(1)}=g(1)=0,所以x=1是h(x)的零点,若a<e3,h(1)=max{f(1), g="">0,所以x=1不是h(x)的零点,③当x∈(0, 1)时,g(x)=lnx<0,所以h(x)在(0, 1)上零点个数只需要考虑f(x)在(0, 1)上的零点个数.f(x)在(0, 1)上的零点个数⇔f(x)=0在(0, 1)上实根的个数⇔ex2x+1=a 在(0, 1)上实根的个数,令函数φ(x)=ex2x+1,x∈(0, 1),则φ'(x)=(2x-1)ex(2x+1)2,所以φ(x)在(0, 12)上单调递减,在(12,1)上单调递增,当a</e3,h(1)=max{f(1),></t<1;(ⅱ)设直线y=t(-4<t<1)与该函数图象的最左边和最右边的交点分别为a,b;由-4x2-4x=t,得:m=xa=-1-1-t2;由4x2-8x=t,得:n=xb=2+4+t2;所以n-m=xb-xa=3+1-t+4+t2;因为(1-t+4+t)2=5+2-(t+32)2+254≤5+2254=10;所以当t=-32时,1-t+4+t取得最大值10;故n-m的最大值为:3+10223.函数f(x)的定义域为r,且f'(x)=ex-2a.当a≤0时,f'(x)></bd→,ac→></x<1,则f(x)></x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是()a.x1+x2=-1b.x3x4=1c.1<x4<2d.0<x1x2x3x4<113.定义在(0,></f(log30.5)<f(41.1)b.f(0.20.3)<f(41.1)<f(log30.5)c.f(41.1)<f(0.20.3)<f(log30.5)d.f(log30.5)<f(0.20.3)<f(41.1)11.将曲线y=sin2x-3sin(π-x)sin(x+3π2)上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到g(x)的图象,则下列说法正确的是()a.g(x)的图象关于直线x=2π3对称b.g(x)在[0,>
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