2019-2020学年山东省青岛市即墨区高三（上）期中数学试卷

2019-2020学年山东省青岛市即墨区高三（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）)1.已知向量ሺെሺ䁖െ，若向量夹角为，则䁖＝（）A.B.C.D.2.如图所示，在正方形晦䁚中，为晦的中点，为䁚的中点，则晦ሺെെെA.晦B.晦െെC.晦D.晦3.在平面直角坐标系中，角的始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点ሺ，则sin＝（）A.B.C.D.4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长六尺，斩本一尺，重五斤，斩末一尺，重二斤，箠重几何？”意思是：“现有一根金杖，长尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下െ尺，重斤；在最细的一端截下െ尺，重斤；问金杖重多少斤？”（设该金杖由粗到细是均匀变化的）（）A.െB.െC.െD.െ5.已知sincosሺ，则sincos＝（）െെA.B.C.D.6.在晦䁚中，＝，晦＝െ，䁚＝，若晦䁚䁚晦，，且െ，则的值为（）试卷第1页，总8页,A.B.െC.D.െെെെ7.对于任意向量，下列关系中恒成立的是（）A.B.C.ሺሺD.ሺሺ8.在矩形晦䁚中，晦＝，晦䁚＝െ，点为晦䁚的中点，点在线段䁚上．若，且点在直线䁚上，则ሺA.B.C.D.9.cosሺsinሺ＝（）A.െB.െsinC.െcosD.െ10.已知，为锐角，tancosሺ，则tan＝（）A.B.C.D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．)11.函数ሺsinሺcossin的图象为䁚，如下结论正确的是（）A.ሺ的最小正周期为B.对任意的，都有ሺሺെെC.ሺ在ሺ上是增函数െD.由＝sin的图象向右平移个单位长度可以得到图象䁚െ12.已知平面向量满足െ，若，则ሺሺ的值可能为（）试卷第2页，总8页,A.B.C.D.13.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字െ写成公式，即ሺ，．现有晦䁚满足sinsin晦sin䁚，且晦䁚的面积晦䁚，请运用上述公式判断下列命题正确的是（）A.晦䁚周长为െB.晦䁚三个内角，䁚，晦成等差数列െC.晦䁚外接圆直径为D.晦䁚中线䁚的长为三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．)െ14.已知向量ሺcosെሺsin，若，则________．െ15.已知函数ሺሻሺ的周期为，若将其图象沿轴向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则实数的最小值为________；െ16.已知为单位向量，且，若，则cos，________；17.已知函数ሺsincosെ，ሺ，若ሺ在区间ሺ内单调递增，且函数＝ሺ的图象关于ሺെ对称，则函数＝ሺ的最大值为________，＝________．四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)െെ18.已知数列为等比数列，且െሺ．（1）求公比和的值；（2）若的前项和为，求证：െ，െ，െ成等比数列．19.在晦䁚中，，，分别是角，晦，䁚的对边，是晦䁚上的点，平分晦䁚，晦的面积与䁚面积比为．sin䁚（1）求；sin晦（2）若三边，，成等差数列，求角．sin䁚sin晦cos晦20.在锐角三角形晦䁚中，，，分别是角，晦，䁚的对边，且．sin晦cos试卷第3页，总8页,（1）求；（2）求的取值范围．21.设ሺcosሺsinሺsincosെ．ሺㄠ求ሺ的周期及＝ሺ图象的对称轴方程；ሺㄠㄠ讨论ሺ在上的单调性及最值．22.已知是各项为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的െ等比中项．（1）设，求证：是等差数列；െെെ（2）若െെሺ，െሺⅠ求数列ሺെ的前项和；ሺⅡ求数列的前项和．23.平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数，均有െ，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”；平面内的“向量列”，如果െ且对于任意的正整数，均有െ，则称此“向量列”为“等比向量列”，常数称为“公比”．（1）若“向量列”是“等比向量列”，用െ和“公比”表示െ；െ（2）若是“等差向量列”，“公差向量”ሺെെሺሺ㌳是“等െ比向量列”，“公比”െሺെሺ䁖െെ．试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2019-2020学年山东省青岛市即墨区高三（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.A2.B3.A4.A5.A6.D7.C8.B9.B10.A二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．11.A,B,C12.A,C,D13.A,C三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．െ14.െ15.16.17.െ,四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．െെ18.∵െሺ，െ∴െሺ，െ两式相除得：，试卷第5页，总8页,ሺሺെሺെെሺെሺെെെെെ，െെെ，െെെ可得െ，െ，，െ，െ∴．െെെ证明：数列为等比数列，െ，，ሺ，െ∴െሺ，െ∴െሺ，െെെെሺ，െ，െሺെെሺെെ∴ሺ，∴െ，െ，െ成等比数列．െ晦sin19.由已知及三角形面积公式可得：െ，䁚sinsin䁚由正弦定理得．sin晦∵，，成等差数列，且＝，∴可求＝，不妨设＝，＝，＝，ሺ，െ∴由余弦定理得：cos，∵ሺ，∴．sin䁚sin晦sincos晦20.由正弦定理得：，sin晦sin晦cos化简得：sin䁚cossin晦cos＝sincos晦，可得sin䁚cos＝sin䁚，െ可得cos，可得．试卷第6页，总8页,sin晦sinሺെ䁚െെ由正弦定理得：，sin䁚sin䁚tan䁚因为晦䁚为锐角三角形，所以䁚，െ所以tan䁚，可得，tan䁚െെെ可得，tan䁚െ可得ሺ．21.ሺㄠሺcosሺsinሺsincosെ，ሻሺെsinെ，ሺെcosെsinെ，ሺcossin，sinሺ，令，解得，െ∴周期为，对称轴方程为，，െሺㄠㄠ∵∵，令，解得，െ∴ሺ在上的减区间为，增区间为，െെ最小值为ሺ；最大值为ሺ．െ22.证明：∵是和െ的等比中项，∴，െሺ＝，െെെെെെ＝，ሺ，，െെ所以是等差数列．由（1）可得ሺሺെെെሺሺെ知＝െ，数列ሺെ的前项െെെ和；ሺെ＝െെ．（2）因为＝െ，െሺ，െെെെെെെെെെെെെെ∴ሺ，ሺെሺെെሺെെെെെെሺെ．െെሺെ试卷第7页，总8页,െെሺെെ23.െെെ，െെെെെ∵െሺെ，∴െ，即ሺሺെ，∵െ䁖െെ，െ，即ሺ䁖ሺെെെ，െെെെെെ，令െെെെെ，െെെ，െሺെെെെെሺെ两式相减得：െെെ，െെ∴ሺെ．试卷第8页，总8页