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2020-2021学年广东省深圳市某校高二(上)期中考试数学试卷 (1)

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2020-2021学年广东省深圳市某校高二(上)期中考试数学试卷一、选择题)1.已知向量aviv,vavi,则A.vvaB.ivaviC.ivaviD.vvaaa2.已知双曲线൐v൐的一个焦点为av,焦点到渐近线的距aa离为i,则该双曲线的渐近线方程为()iA.B.iC.D.iii3.三棱锥ܣ中,点,分别是ܣ,的中点,且,ܣ,,用,,表示,则等于()A.B.aaC.D.aa4.在平面直角坐标系中,已知ܣ的顶点iv和iv,顶点ܣ在椭圆aasinsin上,则()aasinܣaaA.B.C.aD.无法确定ia5.已知抛物线:ai的焦点为,准线为,是上一点,直线与抛物线交于,两点,若i,则()iA.B.C.iD.aa6.在正方体ܣܥܣܥ中,是棱ܣܣ的中点,是ܥܥ的中点,是ܣ上的一点且ܣܣ,则异面直线ܣ与所成的角为i试卷第1页,总13页 A.iB.aC.D.aa7.已知,a是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,,过aa做a的角平分线的垂线,垂足为,则的长为()A.B.aC.iD.iaa8.设双曲线aa൐v൐的左、右焦点分别为,a,过的直线分a别与双曲线左右两支交于,两点,以为直径的圆过a,且a,a则直线的斜率为aaiiA.B.C.D.iaia二、多选题)9.对于任意非零向量vv,avava,以下说法错误的有()A.若,则aaaB.若′′,则aaaaaaC.cosv൐aaaaaaaaaD.若,则为单位向量10.已知抛物线:ai,焦点为,过焦点的直线与抛物线相交于v,ܣava两点,则下列说法一定正确的是()A.ܣ的最小值为aB.线段ܣ为直径的圆与直线相切C.a为定值D.过点,ܣ分别作准线的垂线,垂足分别为,ܥ,则ܥaiܣ11.直线的方向向量为,平面,的法向量分别为,,则下列命题为真命题的是()A.若,则直线′′平面B.若′′,则直线平面C.若cosv,则直线与平面所成角的大小为a试卷第2页,总13页 D.若cosv,则平面,的夹角为ai12.动点v分别到两定点av,av连线的斜率的乘积为,设v的轨aa迹为曲线,,a分别为曲线的左、右焦点,则下列命题中正确的有()A.曲线的焦点坐标为iv,aiviB.若ai,则aiC.a的内切圆的面积的最大值为iiaD.设va,则的最小值为aa三、填空题)13.已知正方体不在同一表面上的两顶点坐标为vav,ivavi,则正方体的体积为________.14.已知抛物线方程为a,点在此抛物线上运动,则点iv与点之间的距离的最小值为________.15.如图所示,直角ܣ绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥,已知在空间直角坐标系中,点avv和vav均在圆锥的母线上,则圆锥的体积为________.16.如图,椭圆的左右焦点为,a,以a为圆心的圆过原点,且与椭圆在第一象限交于点,若过,的直线与圆a相切,则直线的斜率________;椭圆的离心率________.四、解答题)aai17.已知椭圆与双曲线的焦点相同,且它们的离心率之和等于.iaa求椭圆方程;a过椭圆内一点v作一条弦ܣ,使该弦被点平分,求弦ܣ所在直线方程.试卷第3页,总13页 18.如图,在直三棱柱ܥܣ中,底面ܥ是直角三角形,且ܥ,ܣܥi,其中,分别是,ܣ上的点且.ܣi求证:′′平面ܥ;a求二面角ܣ的正弦值.19.已知抛物线:aa䁕䁕的焦点为,点v䁥在抛物线上,且.求抛物线的方程;a过点作互相垂直的两条直线,与抛物线分别相交于点,ܣ,,ܥ,,分别为弦ܣ,ܥ的中点,求面积的最小值.20.如图,在四棱锥ܣܥ中,底面ܣܥ是平行四边形,且ܣܣ,ܥ,ܥ平面ܣܥ,是ܣ中点,在下面两个条件中任选一个,并作答:a①二面角ܥ的大小是;i②ܣܥa若________,求与平面ܥ所成角的正弦值.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.21.如图,在多面体ܣܥ中,平面ܥ平面ܣܥ,四边形ܥ为正方形,四边形ܣܥ为梯形,且ܥ′′ܣ,ܣܥ是边长为的等边三角形,ܣi.求证:ܣܥ;试卷第4页,总13页 ܣa线段ܣܥ上是否存在点,使得直线′′平面?若存在,求的值;若不存ܣܥ在,请说明理由.22.设圆aaaa的圆心为,直线过点ܣv且与轴不重合,交圆于,ܥ两点,过ܣ作的平行线交ܥ于点.证明:ܣ为定值,并求出点的轨迹方程;a若,是点的轨迹上的动点,且直线过点v,问在轴上是否存在a定点,使得?为坐标原点,若存在,请求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.试卷第5页,总13页 参考答案与试题解析2020-2021学年广东省深圳市某校高二(上)期中考试数学试卷一、选择题1.A2.D3.D4.A5.B6.D7.A8.B二、多选题9.B,D10.B,C,D11.B,C,D12.A,C,D三、填空题13.ia14.a15.ii16.,ii四、解答题17.解:∵双曲线的焦点为vi,vi,i∴a.aaa设椭圆的方程为൐൐,aa由题可得,i,ii且离心率a,aa∴a,aai,aa∴椭圆方程为.aaa设v,ܣava,∵为弦ܣ的中点,∴aa,aa.aavaa联立aaaavaaaaaa两式相减,得,aa试卷第6页,总13页 aaa即ܣ,aaa则直线ܣ所在方程为,即aaii.∴所求直线ܣ的方程为aaii.18.证明:如图,分别在,上取点,,使得,连接,及.i∵,ܣi∴′′且,ii′′ܣ且ܣ,ܣii∴′′,,∴四边形为平行四边形,∴′′.又∵平面ܥ,平面ܥ,∴′′平面ܥ.a解:如图所示,以为坐标原点,方向为轴正方向,ܥ方向为轴正方向,ܣ方向为轴正方向建立空间直角坐标系,则vv,ivvi,vivi,ܣvvi,∴ivvi,vivi,由题意,得平面ܣ的法向量为vv.设平面的法向量为avv,试卷第7页,总13页 av则aviiv即ii取,则avv,ai∴cosva,aiii∴sinvaa,ii∴二面角ܣ的正弦值为.i䁕19.解:抛物线的准线方程为,a䁕由抛物线的定义,得,a䁕∴.aa䁕由点在抛物线上,得䁥a䁕,a整理,得䁕aa䁕i,即䁕i䁕,解得:䁕i或䁕.又∵䁕,∴䁕i,∴抛物线的方程为a䁥.a∵抛物线的方程为a䁥,∴焦点为av.由已知,得ܣܥ,∴两直线ܣ,ܥ的斜率都存在且均不为.设直线ܣ的斜率为,则直线ܥ的斜率为,则直线ܣ的方程为a,a䁥v联立av消去,整理,得a䁥.䁥设v,ܣava,则a.∵v为弦ܣ的中点,i∴a.ai由a,得aaa,ii故av.a同理,得iaavi.试卷第8页,总13页 ∴iaaaaiaiaiaa,ia.iaa∵,∴aiaiaaaaa䁥䁥䁥a,当且仅当,即时,等号成立.∴的面积的最小值为.20.解:若选①.因为ܥ平面ܣܥ,所以ܥܥ,ܥܥ,a所以ܥ就是二面角ܥ的平面角,所以ܥi过ܥ作轴ܥ,以ܥ为坐标原点,以ܥ,ܥ所在直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.i则vv,vv,iiaii所以vv.iia取平面ܥ的一个法向量vv.设与平面ܥ所成角为,iii则sin,iiii所以与平面ܥ所成角的正弦值是i若选②.因为ܥ平面ܣܥ,ܣܥ,a试卷第9页,总13页 所以ܥ,ܥ,ܥ两两垂直.以ܥ为坐标原点,以ܥ,ܥ,ܥ所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.则vv,vv,所以vv.aaaaaa取平面ܥ的一个法向量vv,设与平面ܥ所成角为,ai则sin,iiiii所以与平面ܥ所成角的正弦值是i21.证明:∵ܥ为正方形,∴ܥ.又∵平面ܥ平面ܣܥ,且平面ܥ平面ܣܥܥ,∴平面ܣܥ,∴ܣܥ.a解:取ܥ中点,中点,连接ܣ,,在ܣܥ中,ܣܥ,在正方形ܥ中,ܥ.又∵平面ܥ平面ܣܥ,∴ܣ平面ܥ,∴ܣ,即ܣ,,ܥ两两垂直.分别以ܣ,ܥ,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图,试卷第10页,总13页 ii则ܣvv,viv,ܥvv,aaavv,vv.aa要使直线′′平面,只需′′ܥ.设ܣܣܥ,v,ii则vvvv,aaaii即,,,aaaii∴vv,aaaii∴vv.aaaaia又∵ܥvv,aa由′′ܥ得,iiaaaaa,iaaa解得:v,i∴线段ܣܥ上存在点,使得直线′′平面,ܣa且.ܣܥi22.解:∵aaaa,整理,得aa,∴点的坐标为v,如图,试卷第11页,总13页 ܣ′′,ܥܥܣ,ܣܥ.ܥ又∵ܥ,ܣܥ,ܣܥܥi,∴点的轨迹为一个除去点av的椭圆,aa∴点的轨迹方程为.iia假设存在的定点v符合题意.①由题意知,当直线的斜率存在时,设其方程为,aiv,ava,由,得直线,的倾斜角互补,则.a∵aaaaaiaaa,aaiaaa,aav联立iiva消去,整理,得iiaai.∵aiiiaaiiiia൐,iaiia,aiia,i䁥∴ia,iiaiiaiia当时,,此时存在定点v,使得;当直线的斜率时,直线为,a定点v满足,也符合题意;试卷第12页,总13页 当直线的斜率不存在时,点v满足,也符合题意.综上所述,在轴上存在定点v,使得.试卷第13页,总13页

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2021-09-12 21:29:28 页数:13
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文章作者: 真水无香

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