2020-2021学年广东省韶关市南雄市某校高二(上)期中考试数学试卷
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2020-2021学年广东省韶关市南雄市某校高二(上)期中考试数学试卷一、选择题)1.已知集合A={1, 2, 3},B={x|x-3<0},则A∪B=( )A.{1, 2}B.{1, 2, 3}C.(-∞, 3]D.(-∞, 3)2.在等比数列{an}中,a1=1,公比q≠±1,若ak=a2a5,则k等于( )A.5B.6C.7D.83.下列函数中,在区间[0, +∞)上单调递增的是( )A.y=-x2B.y=lnxC.y=x+1xD.y=x4.已知向量a→,b→满足a→⊥b→,|a→|=1,|b→|=2,则|2a→-b→|=( )A.22B.23C.8D.125.朱载堉(1536-1611),明太祖九世孙,音乐家、数学家、天文历算家,在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名,在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子.他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”,此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上,包括钢琴,故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”.“十二平均律”是指一个八度有13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍,设第二个音的频率为f2,第八个音的频率为f8 ,则f8f2 等于( )A.2B.32C.42D.626.若函数y=sin(2x+φ)(-π<φ<π)的图象向右平移π6个单位后,与函数y=sin(2x-π6)的图象重合,则φ的值为( )A.-π3B.-π6C.π6D.π37.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13,则△ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形8.已知函数f(x)=x+1x2,x<-1,ln(x+2),x≥-1, g(x)=x2-2x-4.设b为实数,若存在实数a,使得f(a)+g(b)=1成立,则b的取值范围为( )A.-52,52B.-52,52C.-32,72D.-32,72试卷第7页,总7页
二、多选题)9.在公比q为整数的等比数列an中,Sn是数列an的前n项和,若a1+a4=18,a2+a3=12,则下列说法正确的是( )A.q=2B.数列Sn+2是等比数列C.S8=510D.数列lgan是公差为2的等差数列10.设d,Sn分别为等差数列an的公差与前n项和,若S10=S20,则下列论断中正确的有( )A.当n=15时,Sn取最大值B.当n=30时,Sn=0C.当d>0时,a10+a22>0D.当d<0时,|a10|>|a22|11.如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点(不含端点),则下列结论正确的是( )A.直线D1P与AC所成的角可能是π6B.平面D1A1P⊥平面A1APC.三棱锥D1-CDP的体积为定值D.平面APD1截正方体所得的截面可能是直角三角形12.在数列{an}中,若an2-an-12=p,(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A.若{an}是等差数列,则{an2}是等方差数列B.{(-1)n}是等方差数列C.若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列D.若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列三、填空题)13.直线3x+4y-5=0被圆(x-2)2+(y-1)2=4截得的弦长为________.14.若函数f(θ)=43⋅sin(θ-5π)⋅cos(-π2-θ)⋅cos(-θ)sin(θ-3π2)⋅sin(-θ-4π),则f(-π6)=________.15.已知等比数列an的前n项和为Sn,若Sn=2n+a,则实数a的值为________.16.已知函数fx=3ax2+2ax,若对任意的x∈R,fx<1恒成立,则实数a的取值范围为试卷第7页,总7页
________.(写成区间的形式)四、解答题)17.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且a3+S3=18.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{1Sn}的前n项和Tn.18.已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,且b2+c2=a2+3bc.(1)求A;(2)若a=2,b=1,求sin(C-A).19.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.(1)证明:BD⊥平面PAC;(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.20.已知圆C与y轴相切于点A(0, 1),且被x轴所截得的弦长为23,圆心C在第一象限.(1)求圆C的方程;(2)若点P是直线l:2x+y+5=0上的动点,过P作圆C的切线,切点为B,当△PBC的面积最小时,求切线PB的方程.21.记数列an的前n项和为Sn,已知a1=1, Sn+1=4an+1.设bn=an+1-2an .(1)证明:数列bn为等比数列;(2)设cn=|bn-100|, Tn为数列cn的前n项和,求T10 .22.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的两个零点x1,x2,且f(1)=2a.(1)求ba的取值范围;(2)若a>c,且函数g(x)=f(x-x1)+f(x-x2)在区间[0, 1]上的最大值为2a,试判断点(a, b)是否在直线x+y=1上?并说明理由.试卷第7页,总7页
参考答案与试题解析2020-2021学年广东省韶关市南雄市某校高二(上)期中考试数学试卷一、选择题1.C2.B3.D4.A5.A6.C7.C8.D二、多选题9.A,B,C10.B,C11.B,C12.B,C,D三、填空题13.2314.2315.-116.(-3,0]四、解答题17.(1)等差数列{an}的公差d=2,前n项和为Sn,且a3+S3=18.则:a3+3a2=18,即:a1+2d+3(a1+d)=18,解得:a1=2.所以:an=a1+(n-1)d=2n;(2)由于:an=2n,则:Sn=n(2+2n)2=n(n+1),所以:1Sn=1n(n+1)=1n-1n+1.则:Tn=1S1+1S2+⋯+1Sn=1-12+12-13+⋯+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.18.解:(1)由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32,∵0<A<π,∴A=π6.试卷第7页,总7页
(2)由正弦定理可得asinA=bsinB,∴sinB=1×122=14,∵a>b,∴cosB=154,∴sin(C-A)=sin(π-B-A-A)=sin(B+2A)=sinBcos2A+cosBsin2A=14×12+154×32=1+358.19.(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD.∵PC⊥平面BDE,∴PC⊥BD.又∵PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC.(2)解:设AC与BD交点为O,连接OE,∵PC⊥平面BDE,∴PC⊥平面BOE,∴PC⊥BE,EO⊥PC,∴∠BEO为二面角B-PC-A的平面角,∵BD⊥平面PAC,∴BD⊥AC,∴四边形ABCD为正方形.又PA=1,AD=2,可得BD=AC=22,PC=3,∴OC=BO=2.在△PAC∼△OEC中,OEOC=PAPC⇒OE2=13⇒OE=23.∵BD⊥平面PAC,OE⊂平面PAC,∴BD⊥OE,∴tan∠BEO=BOOE=3,∴二面角B-PC-A的正切值为3.20.解:(1)∵圆C与y轴相切于点A(0, 1),圆心C在第一象限,∴设圆心坐标为(a, 1),则半径为r=a(a>0),又圆被x轴所截得的弦长为23,可得(3)2+1=a2,得a=2.∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4;试卷第7页,总7页
(2)如图,P为直线l:2x+y+5=0上的动点,过P作圆C的切线,切点为B,连接CB,则CB⊥PB,∴△PBC的面积S=12×2×PB=PB.要使△PBC的面积最小,则|PB|最小,也就是|PC|最小,此时CP⊥l,由l:2x+y+5=0,可得kl=-2,则CP所在直线斜率为12,由直线方程的点斜式可得CP:y-1=12(x-2),即x-2y=0.联立2x+y+5=0,x-2y=0, 解得P(-2, -1),设切线方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.由|2k-1+2k-1|k2+1=2,解得k=0或k=43.∴所求切线PB的方程为y=-1或4x-3y+5=0.21.解:(1)由Sn+1=4an+1得Sn=4an-1+1n≥2,n∈N,两式相减得an+1=4an-4an-1n≥2,∴an+1-2an=2(an-2an-1).bnbn-1=an+1-2anan-2an-1=2an-2an-1an-2an-1=2n≥2,∴数列bn为公比为2的等比数列.(2)由S2=a1+a2=4a1+1,∴a2=4,b1=2.∴bn=2⋅2n-1=2n.cn=|2n-100|=100-2n,n≤6,2n-100,n>6.∴T10=600-21+22+…+26+27+28+29+210-400试卷第7页,总7页
=200-2(1-26)1-2+27+28+29+210=200+2+28+29+210=1994.22.解:(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c的两个零点x1,x2,且f(1)=2a,可得a+b+c=2a,即c=a-b,Δ=b2-4ac=b2-4a(a-b)>0,由a2>0,可得(ba)2+4ba-4>0,解得ba>22-2或ba<-22-2.(2)若a>c,则b>0,且f(x1)=f(x2)=0,即ax12+bx1+c=ax22+bx2+c=0,x1+x2=-ba,x1x2=ca,g(x)=f(x-x1)+f(x-x2)=a(x-x1)2+b(x-x1)+c+a(x-x2)2+b(x-x2)+c=2ax2+x(2b-2ax1-2ax2)+ax12-bx1+ax22-bx2+2c=2ax2+4bx+2b2a,当a>0时,g(x)在[0, 1]递增,最大值只能为g(1),由g(1)=2a+4b+2b2a=2a,可得(a+b)2=1,即a+b=1,则(a, b)不在直线x+y=1上;当a<0时,g(x)的最大值为g(0)或g(1)或g(-ba),由g(0)=2b2a=2a,解得b=1,若(a, b)在直线x+y=1上,则a+b=1,可得a=0显然不成立;由g(1)=2a+4b+2b2a=2a,可得(a+b)2=1,即a+b=1,显然(a, b)不在直线x+y=1上;由g(-ba)=16b2-16b28a=0显然不成立.综上可得,点(a, b)不在直线x+y=1上.试卷第7页,总7页
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