2020-2021学年广东省韶关市某校高三（上）期中考试数学试卷

2020-2021学年广东省韶关市某校高三（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.集合合1，合ሼሼ香ሼ，则合()A.1B.1香C.1D.香2.已知复数合（其中是虚数单位），那么的共轭复数是()A.1B.1㌳C.1D.1㌳3.等差数列的前项和为，若合11，则1香合()A.B.C.11D.1쳌香14.在䁨中，三边，，与面积的关系式为合㌳，则角䁨为쳌()A.香B.쳌C.D.香11，则，，的大小关系为()5.已知合香，合，合logA.൏൏B.൏൏C.൏൏D.൏൏lnሼ쳌ሼ㌳쳌6.函数ሼ合的图象可能是下面的图象()ሼ香A.B.C.D.7.抛物线合香ሼ的焦点到双曲线ሼ合1的渐近线的距离是()香1香A.B.香C.1D.8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥䁨为鳖臑，平面䁨，合䁨合，合，且三棱锥䁨的四个顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为()A.1B.1香C.쳌D.香二、多选题)9.以下四个命题中：其中真命题的为()A.从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每1分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1C.在某项测量中，测量结果服从正态分布1，．若在1内取值的概率为쳌，则在内取值的概率为香试卷第1页，总10页 D.对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大10.已知函数ሼ合cosሼ香sinሼ，则下列说法正确的是()A.ሼ的周期为B.ሼ合是ሼ的一条对称轴香C.是ሼ的一个递增区间D.是ሼ的一个递减区间香香11.已知等比数列的公比合，等差数列的首项1合1，若且1香1，则以下结论正确的有()A.1൏B.1C.1D.1ሼሼ12.把方程㌳合1表示的曲线作为函数合ሼ的图象，则下列结论正确的有1A.合ሼ的图象不经过第一象限B.ሼ在R上单调递增C.合ሼ的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为香D.函数ሼ合쳌ሼ㌳香ሼ不存在零点三、填空题)13.已知向量合，合1，且，则实数的值是________．114.当ሼ时，函数ሼ合sinሼ㌳的最小值为________.sinሼ15.已知角的终边经过点1香，则tan合________；sin㌳cos合________.16.设函数ሼ合ሼ香㌳1ሼ㌳ሼ．若ሼ为奇函数，则曲线合ሼ在点处的切线方程为_______.四、解答题)17.已知等差数列满足合，㌳香合1.1求数列的通项公式；求数列1的前项和．㌳䁨18.在①香sin䁨合쳌cos，②sin合sin这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在䁨中，角，，䁨的对边分别为，，，已知________，合香．试卷第2页，总10页 1求sin；如图，为边䁨上一点，䁨合，合，求䁨的面积．19.如图，在四棱锥䁨쳌中，平面䁨平面䁨쳌，䁨쳌合쳌合，合䁨合，쳌合쳌合1，䁨合．1证明：쳌平面䁨；求二面角쳌的大小．20.自新冠肺炎疫情发生以来，某社区积极防范，并利用网络对本社区居民进行新冠肺炎防御知识讲座，为了解该社区居民对防御知识的掌握情况，随机调查了该社区1人，统计得到如下列联表：年总龄计岁完쳌1全掌握基香本掌握总香1计1请根据列联表，判断是否有表的把握认为防御知识掌握情况与年龄有关；为了进一步提高该社区的防御意识，该社区采用分层抽样的方法，从调查的完全掌握的居民中抽取1人，再从这1人中随机选取人作为下一次讲座的讲解员，设为这人中年龄小于或等于岁的人数，求的分布列与数学期望．试卷第3页，总10页 ݀附：合㌳㌳݀㌳㌳݀其中合㌳㌳㌳݀.11香香쳌1香1香香21.在直角坐标系ሼ‴中，点到两点香，香的距离之和为쳌，设点的轨迹为䁨，直线合ሼ㌳1与䁨交于，两点．1写出䁨的方程；若‴‴，求的值；香若点在第一象限，证明：当时，恒有‴‴．22.已知是实数，函数ሼ合ሼሼ．1求函数ሼ的单调区间；设为ሼ在区间上的最小值．①写出的表达式；②求的取值范围，使得．试卷第4页，总10页 参考答案与试题解析2020-2021学年广东省韶关市某校高三（上）期中考试数学试卷一、选择题1.A2.A3.D4.B5.B6.C7.B8.C二、多选题9.B,C10.A,B,D11.A,D12.A,C,D三、填空题13.114.香15.香,쳌16.合ሼ四、解答题17.解：1设等差数列的公差为݀，1㌳݀合，由已知条件可得，1㌳1݀合1．1合1，解得：݀合1．故等差数列的通项公式为合．由1得，合，11由题意得，合1㌳㌳㌳1，①11所以合㌳㌳㌳㌳，②쳌111由①②得，合1㌳㌳㌳1111合1㌳㌳㌳쳌11合11合．1所以合1试卷第5页，总10页 综上所述，数列1的前项和为合1．18.解：1若选择条件①，则：在䁨中，由正弦定理得香sinsin䁨合쳌sin䁨cos，因为sin䁨，所以香sin合쳌cos，即sin合1cos，所以sin合1.因为sin，쳌所以sin合.若选择条件②，则：㌳䁨因为sin合sin，所以sin合sin，由正弦定理可得sincos合sinsin.因为sin，所以cos合sin，即cos合sincos.因为cos，1所以sin合，则cos合，쳌所以sin合sincos合.设合䁨合，쳌易知cos䁨合cos合sin合，쳌在䁨中由余弦定理得：1香合，解得合，11香香所以䁨合sin䁨合合.쳌在中，sin合，合，合，香所以合，쳌1所以合，香香1所以䁨合㌳合．香香19.1证明：在平面䁨쳌中，过作䁨，试卷第6页，总10页 因为쳌合쳌合1，䁨合，䁨쳌合쳌合，所以由勾股定理易得，合䁨合.在䁨中，䁨合，合，䁨合，所以合䁨㌳䁨，所以䁨䁨.又平面䁨平面䁨쳌，䁨平面䁨，所以䁨平面䁨쳌，所以䁨쳌.又쳌䁨，䁨䁨合䁨，所以쳌平面䁨.解：如图所示，作，与交于点，过点作쳌与쳌交于点，连接.由1知쳌，则，所以就是二面角쳌的平面角.在平面䁨쳌中，因为䁨合䁨㌳，所以䁨.因为平面䁨平面䁨쳌，所以平面䁨，所以.因为䁨平面䁨쳌，所以䁨䁨．在䁨中，由勾股定理得，合䁨㌳䁨合，在쳌中，由勾股定理得，쳌合쳌㌳合，11香在中，由合，得合，香合.由勾股定理得，合香因为쳌，所以合.香试卷第7页，总10页 在쳌，中，利用余弦定理分别可得，cos쳌合，合．1쳌香㌳香在中，cos合合，所以，合，即二面角쳌的大小为．1香香120.解：1根据题意：合合쳌香香쳌1，香1故有表的把握认为防御知识掌握情况与年龄有关．根据分层抽样：쳌年龄小于等于岁的有1合香（人），1年龄大于岁的有1合（人），则的可能取值为，1，，䁨1则合合合，䁨쳌1䁨1䁨11香合1合合,䁨쳌1䁨香香合合合，䁨쳌1故分布列为：111香쳌쳌쳌11香故数学期望为쳌合㌳1㌳쳌쳌쳌香合合.쳌21.1解：设ሼ.由椭圆定义可知，点的轨迹䁨是以香，香为焦点，长半轴为的椭圆，它的短半轴合香合1，故曲线䁨的方程为ሼ㌳合1．쳌解：设ሼ11，ሼ，ሼ㌳合1，联立쳌合ሼ㌳1，消去并整理得，㌳쳌ሼ㌳ሼ香合，香故ሼ1㌳ሼ合㌳쳌，ሼ1ሼ合㌳쳌．试卷第8页，总10页 若‴‴，则ሼ1ሼ㌳1合．而合ሼሼ㌳ሼ㌳ሼ㌳1，111香香所以ሼ1ሼ㌳1合㌳쳌㌳쳌㌳쳌㌳1合，化简得쳌㌳1合，1解得：合．香证明：因为ሼ11在椭圆上，所以满足合쳌1ሼ，11‴‴合ሼ㌳ሼ㌳11合ሼሼ㌳쳌1ሼ1㌳ሼ11合香ሼ1ሼሼ1㌳ሼሼ1ሼ合．㌳쳌因为点在第一象限，所以ሼ1．香由ሼ1ሼ合知，ሼ൏，㌳쳌从而ሼ1ሼ．又，所以‴‴，即在题设条件下，恒有‴‴．ሼ香ሼ22.解：1由题意得，函数的定义域为㌳，ሼ合ሼ㌳合ሼ．ሼሼ当时，ሼ，函数的单调递增区间是㌳；当时，令ሼ，可得ሼ，香即函数的单调递增区间是㌳，香同理可得，函数的单调递减区间是.香综上所述，当时，函数的单调递增区间是㌳，当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是㌳.香香①当时，函数ሼ在上单调递增，∴合合.当൏൏时，函数ሼ在上单调递减，在上单调递增，香香试卷第9页，总10页 ∴合合.香香香当时，函数ሼ在上单调递减，∴合合.，综上所述，合൏൏，香香②由题意得，，当，无解；当൏൏时，解得香൏；当时，解得㌳香，综上所述，香㌳香．试卷第10页，总10页