2022-2023学年广东省广州市越秀区高二(上)期末数学试卷
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2022-2023学年广东省广州市越秀区高二(上)期末数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)直线l经过A(﹣2,3),B(﹣1,2)两点,则直线l的倾斜角是( )A.π4B.3π4C.π3D.2π32.(5分)抛物线y=4x2的准线方程为( )A.x=﹣1B.y=﹣1C.x=-116D.y=-1163.(5分)圆C1:x2+y2=9和圆C2:x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是( )A.相离B.相交C.内切D.外切4.(5分)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是( )A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态5.(5分)若函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在区间(﹣∞,3)上是单调函数,则实数a的取值范围是( )A.(﹣∞,﹣2]B.[﹣2,+∞)C.(﹣∞,4]D.[4,+∞),6.(5分)直线l的方向向量为m→=(1,-1,0),且l过点A(1,1,2),则点P(2,﹣2,1)到直线l的距离为( )A.2B.3C.6D.227.(5分)已知空间三点A(4,1,9),B(10,﹣1,6),C(2,4,3),则下列结论不正确的是( )A.|AB|=|AC|B.点P(8,2,0)在平面ABC内C.AB⊥ACD.若AB→=2CD→,则D的坐标为(1,-5,-32)8.(5分)已知直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+my﹣2m=0相交于点P,圆C:x2+y2﹣4x﹣2y=0交y轴正半轴于M,若N是圆C上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是( )A.5B.25C.35D.45二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.(多选)9.(5分)已知直线l0:x+y+1=0,则下列结论正确的是( )A.点(0,1)到直线l0的距离是2B.直线l1:x﹣y+1=0,则l0⊥l1C.直线l2:mx+(m2﹣2)y+2=0(m为常数),若l0∥l2,则m=﹣1或m=2D.直线l3:x+y﹣1=0,则l0和l3的距离为2(多选)10.(5分)已知曲线C:mx2+ny2=mn( )A.若m=n>0,则C是圆,其半径为nB.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±-mnxC.若mn>0,且m>n,则C是椭圆,其焦点在x轴上D.若C是等轴双曲线,则以原点为顶点以x=n为准线的抛物线方程为y2=4mx(多选)11.(5分)在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P,Q为底面ABCD内两动点且满足A1P→=A1A→+xAB→+xAD→(x∈[0,1]),异面直线B1Q与AA1所成角为30°,则( )A.C1P→⋅B1D1→=0,B.直线PQ与DD1为异面直线C.线段PQ长度最小值等于(22-33)aD.三棱锥B1﹣APQ的体积可能取值为a31812.(5分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右两焦点分别是F1,F2,其中|F1F2|=2c,直线l:y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A,B两点.则下列说法中正确的有( )A.若|AF2|+|BF2|=m,则|AB|=4a﹣2mB.若AB的中点为M,则kOM⋅k=-b2a2C.|AB|的最小值为2b2aD.AF1→⋅AF2→=3c2,则椭圆的离心率的取值范围是[55,22]三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)过点(1,2)且与圆x2+y2=1相切的直线方程为 .14.(5分)如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,∠A1AB=∠A1AD=60°,∠BAD=90°,AB=3,AD=2,AA1=3,M是底面ABCD的中心,设AB→=a→,AD→=b→,AA1→=c→,则D1M→= (用a→,b→,c→表示),D1M的长度为 .15.(5分)已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,准线为l,过F的直线交C于P、Q两点,交l于点M,且PF→=2FQ→,则|MQ|= .16.(5分)已知曲线C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是12,P为其上顶点,F1,F2分别为左、右焦点,过F1且垂直于PF2的直线与C交于M,N两点,|MN|=12,则△PMN的周长是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.,17.(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知3a=5c,cosC=45.(1)求sinA的值;(2)若b=4,求△ABC的面积.18.(12分)如图,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.(1)求证:PQ∥平面BCD;(2)若DA=DB=DC=4,∠BDC=90°,求AC与平面BQM所成角的余弦值.19.(12分)在平面直角坐标系xOy中:①圆C过A(1,0)和B(﹣1,2),且圆心在直线l:2x+y+2=0上;②圆C过E(0,3),F(1,0),G(-1,-2)三点.(1)在①②两个条件中,任选一个条件求圆C的标准方程;(2)在(1)的条件下,过直线x=3上的点P(3,﹣4)分别作圆C的两条切线PQ,PR(Q,R为切点),求直线QR的方程,并求弦长|QR|.20.(12分)已知圆⊙:x2+y2=4上的动点M在x轴上的投影为N,点C满足CN→=22MN→.(1)求动点C的轨迹方程C;(2)过点P(1,0)的直线l与C交于A,B两个不同点,求△OAB面积的最大值.21.(12分)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,满足AB⊥AD,AB⊥BC,SA⊥底面ABCD,AD=1,AB=3,BC=3.(1)求证:平面SBD⊥平面SAC;(2)若平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为64,求B到平面SCD的距离.,22.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C上的任意一点到点F(2,0)的距离比到直线x+4=0的距离小2.(1)求曲线C的方程;(2)过点F作斜率为k1,k2的两条直线分别交C于M,N两点和P,Q两点,其中k1+k2=12.设线段MN和PQ的中点分别为A,B,过点F作FD⊥AB,垂足为D.试问:是否存在定点T,使得线段TD的长度为定值.若存在,求出点T的坐标及定值;若不存在,说明理由.,2022-2023学年广东省广州市越秀区高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)直线l经过A(﹣2,3),B(﹣1,2)两点,则直线l的倾斜角是( )A.π4B.3π4C.π3D.2π3【解答】解:设直线的倾斜角为α,由已知可得直线的斜率k=tanα=3-2-2-(-1)=-1,又α∈[0,π),所以α=3π4,故选:B.2.(5分)抛物线y=4x2的准线方程为( )A.x=﹣1B.y=﹣1C.x=-116D.y=-116【解答】解:因为抛物线y=4x2,可化为:x2=14y,则抛物线的准线方程为y=-116.故选:D.3.(5分)圆C1:x2+y2=9和圆C2:x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是( )A.相离B.相交C.内切D.外切【解答】解:∵圆x2+y2﹣8x+6y+9=0的标准方程为(x﹣4)2+(y+3)2=16,∴圆x2+y2﹣8x+6y+9=0的圆心是C2(4,﹣3),半径=4.又∵圆x2+y2=9的圆心是C1(0,0),半径r2=3.∴|C1C2|=5,∵|r1﹣r2|=1,r1+r2=7,∴|r1﹣r2|<|OC|<r1+r2,可得两圆相交.故选:B.4.(5分)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确,的是( )A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态【解答】解:对于A,当T=220,P=1026时,lgP>3,由图可知二氧化碳处于固态,故A错误;对于B:当T=270,P=128时,2<lgP<3,由图可知二氧化碳处于液态,故B错误;对于C:当T=300,P=9987时,lgP≈4,由图可知二氧化碳处于固态,故C错误;对于D:当T=360,P=729时,2<lgP<3,由图可知二氧化碳处于超临界状态,故D正确;故选:D.5.(5分)若函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在区间(﹣∞,3)上是单调函数,则实数a的取值范围是( )A.(﹣∞,﹣2]B.[﹣2,+∞)C.(﹣∞,4]D.[4,+∞)【解答】解:函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2图象是开口向上,对称轴为x=1﹣a,则函数f(x)在(﹣∞,1﹣a)上单调递减,在(1﹣a,+∞)上单调递增,又函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在区间(﹣∞,3)上是单调函数,所以1﹣a≥3,解得a≤﹣2,所以实数a的取值范围为(﹣∞,﹣2].故选:A.,6.(5分)直线l的方向向量为m→=(1,-1,0),且l过点A(1,1,2),则点P(2,﹣2,1)到直线l的距离为( )A.2B.3C.6D.22【解答】解:∵A(1,1,2),P(2,﹣2,1),∴AP→=(1,﹣3,﹣1),又m→=(1,﹣1,0),∴AP→在m→方向上的投影|AP→|•cos<AP→⋅m→>=AP→⋅m→|m→|=42=22,∴P到l距离d=|AP→|2-(22)2=11-8=3.故选:B.7.(5分)已知空间三点A(4,1,9),B(10,﹣1,6),C(2,4,3),则下列结论不正确的是( )A.|AB|=|AC|B.点P(8,2,0)在平面ABC内C.AB⊥ACD.若AB→=2CD→,则D的坐标为(1,-5,-32)【解答】解:因为|AB|62+(-2)2+(-3)2=7,|ACl=(-2)2+32+(-6)2=7,故A正确;因为AB→•AC→=(6,﹣2,﹣3)•(﹣2,3,﹣6)=﹣12﹣6+18=0,所以AB⊥AC,故C正确;因为AB→=(6,﹣2,﹣3),AC→=(﹣2,3,﹣6),AP→=(4,1,﹣9),所以AP→=AB→+AC→=(4,1,﹣9),所以点P(8,2,0)在平面ABC内,故B正确;因为AB→=(6,﹣2,﹣3),2CD→=2(﹣1,﹣9,-92)=(﹣2,﹣18,﹣9),显然不成立,故D错误.故选:D.8.(5分)已知直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+my﹣2m=0相交于点P,圆C:x2+y2﹣4x﹣2y=0交y轴正半轴于M,若N是圆C上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是( )A.5B.25C.35D.45,【解答】解:由直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+my﹣2m=0相交于点P,故P为直线l1上任意一点,圆C:x2+y2﹣4x﹣2y=0,得圆心为C(2,1),半径r=5,与y轴正半轴交于点M(0,2),设M(0,2)关于直线x+y+2=0对称点D的坐标为(m,n),则n-2m-0×(-1)=-1m2+n+22+2=0,解得m=﹣4,n=﹣2,∴D(﹣4,﹣2),∴|DC|=(-4-2)2+(-2-1)2=35,∴|PM|+|PN|=|PD|+|PN|≥|DN|≥|DC|-5=25.故选:B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.(多选)9.(5分)已知直线l0:x+y+1=0,则下列结论正确的是( )A.点(0,1)到直线l0的距离是2B.直线l1:x﹣y+1=0,则l0⊥l1C.直线l2:mx+(m2﹣2)y+2=0(m为常数),若l0∥l2,则m=﹣1或m=2D.直线l3:x+y﹣1=0,则l0和l3的距离为2【解答】解:对于A:直线l0:x+y+1=0,则点(0,1)到直线的距离d=|0+1+1|12+12=2,故A正确;对于B:直线l0:x+y+1=0的斜率k1=﹣1,直线l1:x﹣y+1=0的斜率k2=1,所以k1•k2=﹣1,故l0⊥l1,故B正确;对于C:直线l0:x+y+1=0,直线l2:mx+(m2﹣2)y+2=0(m为常数),若l0∥l2,则m=m2﹣2,解得m=2或﹣1,当m=2时,两直线重合舍去;当m=﹣1时,两直线平行,故m=﹣1.故C错误;对于D:直线l0:x+y+1=0,直线l3:x+y﹣1=0,则直线l0∥l3,所以这两直线的距离d=|1+1|12+12=2,故D错误.故选AB.(多选)10.(5分)已知曲线C:mx2+ny2=mn( ),A.若m=n>0,则C是圆,其半径为nB.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±-mnxC.若mn>0,且m>n,则C是椭圆,其焦点在x轴上D.若C是等轴双曲线,则以原点为顶点以x=n为准线的抛物线方程为y2=4mx【解答】解:对A选项,∵m=n>0,∴曲线C:mx2+ny2=mn可化为:x2+y2=n,∴曲线C是圆,其半径为n,∴A选项错误;对B选项,∵mn<0,∴曲线C:mx2+ny2=mn可化为:x2n+y2m=1,∴曲线C是双曲线,其渐近线方程为x2n+y2m=0,即y=±-mnx,∴B选项正确;对C选项,∵mn>0,且m>n,∴曲线C:mx2+ny2=mn可化为:y2m+x2n=1,∴m>n>0,∴曲线C是焦点在y轴上的椭圆,∴C选项错误;对D选项,∵曲线C:mx2+ny2=mn是等轴双曲线,∴曲线C:mx2+ny2=mn可化为:x2n+y2m=1,∴m+n=0,且mn<0,∴以原点为顶点以x=n为准线的抛物线方程为y2=4mx,∴D选项正确.故选:BD.(多选)11.(5分)在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P,Q为底面ABCD内两动点且满足A1P→=A1A→+xAB→+xAD→(x∈[0,1]),异面直线B1Q与AA1所成角为30°,则( )A.C1P→⋅B1D1→=0B.直线PQ与DD1为异面直线C.线段PQ长度最小值等于(22-33)a,D.三棱锥B1﹣APQ的体积可能取值为a318【解答】解:由A1P→=A1→A→+xAB→+xAD→(x∈[0,1]),可知A1P→=A1A→+xAC→(x∈[0,1]),即P点在AC上,连接BD,则BD∥B1D1,由于AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,故AA1⊥BD,又BD⊥AC,且AC∩AA1=A,AC,AA1⊂平面AA1C1C,故BD⊥平面AA1C1C,C1P⊂平面AA1C1C,所以BD⊥CP,则B1D1⊥C1P,∴C1P→•B1D1→=0,A正确;因为异面直线B1Q与AA1所成角为30°,且AA1∥BB1,故B1Q与BB1所成角为30°,即∠QB1B=30,则BQ=33a,故Q点在以B为圆心,BQ=33a为半径的圆弧上运动,当Q为该圆弧与BD的交点,且P为AC,BD的交点时,直线PQ与DD1为相交直线,B错误:由于P点在AC上,Q点在以B为圆心,BQ=33a为半径的圆弧上运动,故线段PQ长度最小值为点B到直线AC的距离2a2减去圆弧的半径BQ=33a,即最小值为(22-33)a,C正确;三棱锥B1﹣APQ的高为BB1=a,假设其体积可取到a318,则其底面积S△APQ=16a2,又因为当P点位于C处,Q位于其所在圆弧与AB或BC的交点处时,△APQ的面积取到最大值,最大值为12×2a×22(a-33a)=16(3-3)a,因为16(3-3)a2>16a2,故假设成立,即三棱锥B1﹣APQ的体积可能取值为a318,D正确.,故选:ACD.12.(5分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右两焦点分别是F1,F2,其中|F1F2|=2c,直线l:y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A,B两点.则下列说法中正确的有( )A.若|AF2|+|BF2|=m,则|AB|=4a﹣2mB.若AB的中点为M,则kOM⋅k=-b2a2C.|AB|的最小值为2b2aD.AF1→⋅AF2→=3c2,则椭圆的离心率的取值范围是[55,22]【解答】解:由题意可知,直线l过左焦点F1,作出图形如下:对于A,由椭圆的定义可知,|AB|+|AF2|+|BF2|=4a,∴|AB|=4a﹣m,故A错误;对于B,联立方程y=k(x+c)x2a2+y2b2=1,消去y得:(1a2+k2b2)x2+2ck2b2x+k2c2b2-1=0,由韦达定理可得,x1+x2=-2ck2a2b2+a2k2,y1+y2=k(x1+x2)+2kc=2kcb2b2+a2k2,∴AB的中点弦的斜率为kOM=y1+y2x1+x2=-b2a2k,∴kOM•k=-b2a2,故B正确;对于C,显然,当AB⊥x轴时,|AB|最短,此时(-c)2a2+y2b2=1,∴y=±b2a,∴|AB|=2b2a,但是由于直线AB的斜率k是存在的,直线AB不会垂直于x轴,所以|AB|>2b2a,故C错误;对于D,设A(x0,y0),则有AF1→=(c﹣x0,﹣y0),,∴AF1→⋅AF2→=-c2+x02+y02=3c2,∴x02+y02=4c2,即点A在以原点为圆心,2c为半径的圆上,故原题等价于x2+y2=4c2x2a2+y2b2=1有解,解得x2=1-4c2b21a2-1b2,则必有x2≥0x2≤a2,即4c2≥b2=a2-c24c2≤a2,解得55≤e≤12,故D错误.故选:B.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)过点(1,2)且与圆x2+y2=1相切的直线方程为 3x﹣4y+5=0或x=1 .【解答】解:设切线方程为y﹣2=k(x﹣1),即kx﹣y+2﹣k=0.由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离等于半径,即|2-k|k2+1=1,解得k=34,其方程为3x﹣4y+5=0.又,当斜率不存在时,切线方程为x=1.故答案为:3x﹣4y+5=0或x=1.14.(5分)如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,∠A1AB=∠A1AD=60°,∠BAD=90°,AB=3,AD=2,AA1=3,M是底面ABCD的中心,设AB→=a→,AD→=b→,AA1→=c→,则D1M→= 12a→-12b→-c→ (用a→,b→,c→表示),D1M的长度为 432 .【解答】解:如图,取ABCD的中心M,连接D1M,AM,,则D1M→=AM→-AD1→=12(AB→+AD→)-(AA1→+AD→)=12(a→+b→)-(c→+b→)=12a→-12b→-c→,∴D1M→2=(12a→-12b→-c→)2=14×32+14×22+32-12a→⋅b→-a→⋅c→+b→⋅c→=94+1+9-12×3×2×0-3×3×12+2×3×12=434.则|D1M→|=432,故答案为:12a→-12b→-c→;432.15.(5分)已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,准线为l,过F的直线交C于P、Q两点,交l于点M,且PF→=2FQ→,则|MQ|= 17 .【解答】解:如图,过点P做PD垂直于准线l,由抛物线定义得|PF|=|PD|,焦点坐标(0,2),准线方程y=﹣2.因为PF→=2FQ→,设P(x1,y1),Q(x2,y2),所以x1=﹣2x2,则直线PQ方程为y=kx+2,联立x2=8yy=kx+2,消去y得x2﹣8kx﹣16=0,解得x1=42,x2=﹣22,P(42,4),Q(﹣22,1),直线的斜率为k=24,直线方程:y=24x+2,所以y=-2y=24x+2,解得M(﹣42,﹣2),|MQ|=(-22+42)2+(1+2)2=17.故答案为:17.,16.(5分)已知曲线C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是12,P为其上顶点,F1,F2分别为左、右焦点,过F1且垂直于PF2的直线与C交于M,N两点,|MN|=12,则△PMN的周长是 26 .【解答】解:∵ca=12,∴a=2c,∴b=a2-c2=3c,又|PF1|=|PF2|=a,|F1F2|=2c=a,∴△PF1F2为正三角形,∴MN直线垂直平分PF2,∴|NP|=|NF2|,|MP|=|MF2|,∴△PMN的周长为|NP|+|MP|+|MN|=|NF2|+|MF2|+|MN|=4a,∵△PF1F2为正三角形,MN直线垂直平分PF2,∴易得直线MN的倾斜角为30°,∴直线MN的斜率为13,∴设直线MN方程为x=3y﹣c,∵a=2c,b=3c,∴双曲线方程可化为x24c2+y23c2=1,即3x2+4y2﹣12c2=0,联立x=3y-c3x2+4y2-12c2=0,可得13y2-63cy-9c2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则|MN|=1+3|y1-y2|=2×(63c)2-4×13×(-9c2)13=12,∴16c2=169,∴c=134,∴a=2c=132,∴△PMN的周长为4a=26,故答案为:26.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.,17.(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知3a=5c,cosC=45.(1)求sinA的值;(2)若b=4,求△ABC的面积.【解答】解:(1)在△ABC中,由cosC=45>0.所以C∈(0,π2),且sinC=1-cos2C=35.∵3a=5c,∴ac=53,∴由正弦定理asinA=csinC,可得sinA=asinCc=acsinC=53×35=55.(2)由3a=5,可得a=53c<c,∴A<C,故A∈(0,π2),又∵sinA=55,∴cosA=255,∴sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=255,∴由正弦定理可得:asinA=bsinB=4255=25,∴S△ABC=12absinC=12×2×4×35=125.18.(12分)如图,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.(1)求证:PQ∥平面BCD;(2)若DA=DB=DC=4,∠BDC=90°,求AC与平面BQM所成角的余弦值.【解答】解:(1)证明:过P作PS∥MD,交BD于S,过Q作QR∥MD,交CD于R,,连接RS,∵PS∥MD,P是BM的中点,∴S是BD的中点,且PS=12MD,∵QR∥MD,AQ=3QC,M是AD的中点,∴QR=14AD=12MD,∴QR∥PS,且QR=PS,∴四边形PQRS为平行四边形,∴PQ∥SR,∵PQ⊄平面BCD,SR⊂平面BCD,∴PQ∥平面BCD.(2)以D为坐标原点,DB,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,4),B(4,0,0),C(0,4,0),P(2,0,1),Q(0,3,1),则BM→=(﹣4,0,2),MQ→=(0,3,﹣1),AC→=(0,4,﹣4),设平面BQM的一个法向量为n→=(x,y,z),则n→⋅BM→=-4x+2z=0n→⋅MQ→=3y-z=0,取y=2,得n→=(3,2,6),设AC与平面BQM所成角为θ,则sinθ=|AC→⋅n→||AC→|⋅|n→|=277,则AC与平面BQM所成角的余弦值为:cosθ=1-(277)2=417.19.(12分)在平面直角坐标系xOy中:①圆C过A(1,0)和B(﹣1,2),且圆心在直线l:2x+y+2=0上;,②圆C过E(0,3),F(1,0),G(-1,-2)三点.(1)在①②两个条件中,任选一个条件求圆C的标准方程;(2)在(1)的条件下,过直线x=3上的点P(3,﹣4)分别作圆C的两条切线PQ,PR(Q,R为切点),求直线QR的方程,并求弦长|QR|.【解答】解:(1)选①:∵A(1,0)和B(﹣1,2),∴AB的垂直平分线方程为y=x+1,由y=x+12x+y+2=0,解得x=-1y=0,∴圆心C(﹣1,0),∴r=|AC|=2,∴圆C的标准方程为(x+1)2+y2=4;选②:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则3+3E+F=01+D+F=01+4-D-2E+F=0,解得D=2E=0F=-3,∴圆C的方程为x2+y2+2x﹣3=0,即圆C的标准方程为(x+1)2+y2=4;(2)由(1)可知圆心C(﹣1,0),半径为r=2,由已知可得QR在以CP为直径的圆上,CP为直径的圆的方程为(x+1)(x﹣3)+y(y+4)=0,∴x2+y2﹣2x+4y﹣3=0,∴直线QR的方程4x﹣4y=0,即x﹣y=0,圆心C到直线QR的距离为d=|-1-0|2=22,∴|QR|=24-12=14.20.(12分)已知圆⊙:x2+y2=4上的动点M在x轴上的投影为N,点C满足CN→=22MN→.(1)求动点C的轨迹方程C;(2)过点P(1,0)的直线l与C交于A,B两个不同点,求△OAB面积的最大值.【解答】解:(1)设C(x,y),动点M(m,n),由CN→=22MN→,可得m=x,n=2y,∵M(m,n)在圆⊙:x2+y2=4上,∴m2+n2=4,∴x2+2y2=4,∴动点C的轨迹方程为x24+y22=1;,(2)由题意,设直线l的方程为1,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=my+1x2+2y2=4,消去x得,即(m2+2)y2+2my﹣3=0,所以y1+y2=-2m2+m2,y1y2=-32+m2,所以|AB|=1+m2×(y1+y2)2-4y1y2=1+m2×(-2m2+m2)2-4×(-32+m2)=1+m2×24m2+62+m2,而O到AB的距离d=|1|1+m2,所以S△AOB=12|AB|•d=121+m2×24m2+62+m2×|1|1+m2=4m2+62+m2,设4m2+6=t≥6,则m2=14(t2﹣6),所以S△AOB=t2+14(t2-6)=114t+12t,∵t4+12t在[6,+∞)上单调递增,所以△AOB面积的最大值为62,此时m=0.21.(12分)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,满足AB⊥AD,AB⊥BC,SA⊥底面ABCD,AD=1,AB=3,BC=3.(1)求证:平面SBD⊥平面SAC;(2)若平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为64,求B到平面SCD的距离.【解答】解:(1)证明:连接BD,AC,交于点E,∵在平面ABCD内,AB⊥AD,AB⊥BC,∴AD∥BC,∴△ADE∽△CBE,∵AD=1,BC=3,∴AE=13EC,BE=3ED,AB=3,又AB⊥AD,AB⊥BC,∴BD=3+1=2,AC=3+9=23,∴AE=14AC=32,BE=34BD=32,∴AE2+BE2=34+94=3=AB2,∴AE⊥BE,∴BD⊥AC,,又SA⊥平面SBD,BD⊂平面ABCD,∴SA⊥BD,SA∩AC=A,∴BD⊥平面SAC,BD⊂平面SBD,∴平面SBD⊥平面SAC.(2)∵SA⊥平面ABCD,AD,AB⊂平面ABCD,∴SA⊥AB,SA⊥AD,又AB⊥AD,∴以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设AS=t,(t>0),则S(0,0,t),A(0,0,0),B(0,3,0),D(1,0,0),C(3,3,0),∴SD→=(1,0,﹣t),DC→=(2,3,0),设平面SDC的法向量为m→=(x,y,z),则m→⋅SD→=x-tz=0m→⋅DC→=2x+3y=0,取z=1,得x=t,y=-2t3,∴m→=(t,-2t3,1),平面SAB的法向量为n→=(1,0,0),∵平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为64,∴|t|1×t2+4t23+1=64,解得t=3,∴SC=SA2+AC2=3+12=15,DC=3+(3-1)2=7,SD=SA2+AD2=3+1=2,∴cos∠SDC=SD2+DC2-SC22SD⋅DC=4+7-152×2×7=-77,∵∠SDC∈(0,π),∴sin∠SDC=427,∴S△SCD=12⋅SD⋅DC⋅sin∠SDC=12×2×7×427=6,设B到平面SCD的距离为h,由VB﹣SCD=VS﹣BCD,得13×6h=13×12×3×3×3,解得h=364,,∴B到平面SCD的距离为364.22.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C上的任意一点到点F(2,0)的距离比到直线x+4=0的距离小2.(1)求曲线C的方程;(2)过点F作斜率为k1,k2的两条直线分别交C于M,N两点和P,Q两点,其中k1+k2=12.设线段MN和PQ的中点分别为A,B,过点F作FD⊥AB,垂足为D.试问:是否存在定点T,使得线段TD的长度为定值.若存在,求出点T的坐标及定值;若不存在,说明理由.【解答】解:(1)∵曲线C上的任意一点到点F(2,0)的距离比到直线x+4=0的距离小2,∴曲线C上的任意一点到点F(2,0)的距离与到直线x+2=0的距离相等,由抛物线的定义可知,曲线C是以点F(2,0)为焦点,以直线x+2=0为准线的抛物线,设抛物线方程为y2=2px(p>0),则p2=2,∴p=4,∴曲线C的方程为y2=8x;(2)由题意可知,k1≠0,k2≠0,k1≠k2,直线MN的方程为y=k1(x﹣2),联立方程y=k1(x-2)y2=8x,消去y得,k12x2-(4k12+8)x+4k12=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),∴x1+x2=4+8k12,y1+y2=k1(x1﹣2)+k1(x2﹣2)=k1(x1+x2)﹣4k1=8k1,∴A(2+4k12,4k1),同理可得B(2+4k22,4k2),∴直线AB的方程为y=k1k2k1+k2(x﹣2-4k12)+4k1=k1k2k1+k2(x﹣2)+4k1+k2,,又∵k1+k2=12,∴直线AB的方程为y=2k1k2(x﹣2)+8,∴直线AB过定点(2,8),设该点为E(2,8),又∵FD⊥AB,∴点D在以EF为直径的圆上,∵E(2,8),F(2,0),∴|EF|=(2-2)2+82=8,EF的中点坐标为(2,4),∴以EF为直径的圆的方程为(x﹣2)2+(y﹣4)2=16,∴存在定点T(2,4),使得线段TD的长度为定值.;学号:3710394
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