2022-2023学年广东省深圳市光明区高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年广东省深圳市光明区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知空间向量a→=（λ，2，1），b→=（2，λ，λ+1），a→∥b→，则实数λ＝（　　）A．0B．±2C．﹣2D．22．（5分）已知两条直线l1：3x+y﹣5＝0和l2：x﹣ay＝0相互垂直，则a＝（　　）A．13B．-13C．﹣3D．33．（5分）双曲线C：x25-y210=1的离心率为（　　）A．5B．3C．2D．24．（5分）已知圆C1：x2+y2＝3与圆C2：（x+2）2+（y+2）2＝6，则圆C1与圆C2的位置关系为（　　）A．相交B．外切C．外离D．内含5．（5分）已知A（﹣2，﹣1），B（2，1），若动点P满足直线PA与直线PB的斜率之积为12，则动点P的轨迹方程为（　　）A．x26+y23=1，x≠±2B．x26+y23=1，x≠±6C．x22-y2＝1，x≠±2D．y2-x22=1，x≠±26．（5分）设点M为抛物线y2＝4x上的动点，点M在y轴上的投影为点N，点A（2，15），则|MA|+|MN|的最小值为（　　）A．3B．4C．5D．10-17．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AB＝2，AC＝AD＝3，BE→=ED→，CF→=2FD→，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（　　）A．33B．23C．21313D．213398．（5分）若抛物线x2＝2py（p＞0）上存在不同的两点关于直线y=-12x+1对称，则实数p的取值范围是（　　）A．（0，3）B．（0，13）C．（53，+∞）D．（13，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，|F1F2|＝10，|PF1|﹣|PF2|＝6，点F1到双曲线C一条渐近线的距离为d，则下列选项正确的有（　　）A．双曲线C的实轴长为3B．双曲线C的离心率为53C．|PF2|的最小值为2D．d＝4（多选）10．（5分）已知点P（x0，y0）和圆O：x2+y2＝4，则下列选项正确的有（　　）A．若点P在圆O内，则直线x0x+y0y＝4与圆O相交B．若点P在圆O上，则直线x0x+y0y＝4与圆O相切C．若点P在圆O外，则直线x0x+y0y＝4与圆O相离D．若直线AP与圆O相切，A为切点，则|PA|=x02+y02-4（多选）11．（5分）伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为6π，离心率为53，F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，则下列选项正确的有（　　）A．椭圆C的标准方程可以为y29+x24=1B．△F1PF2的周长为10C．|PF1|•|PF2|≤9D．cos∠F1PF2≥-19（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，N为DD1的中点，CM→=λCC1→，λ∈[0，1]，AM⊥平面α，下面说法正确的有（　　）A．若λ=12，D∈α，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形B．若λ＝1，平面α截正方体所得的截面面积的最大值为33C．若AM+MN的和最小，则λ=12 D．直线DC与平面α所成角的最大值为π4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知直线l的方程为x2+y2=1，则直线l的倾斜角α＝　　．14．（5分）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点O，满足OD→=3OA→+2OB→+λOC→，则λ＝　　．15．（5分）过点P（﹣2，3）作圆E：x2+y2﹣4x+2y＝0的两条切线，切点分别为M，N则直线MN的方程为　　．16．（5分）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+t与椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）交于A，B两点，P为AB的中点，直线OP的斜率为k0．若-34＜kk0＜-13，则椭圆的离心率的取值范围为　　．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱AB，BC，AA1，D1C1的中点，连接CD1，EM，MN，EN，NF，EF．（1）证明：D1C∥平面EMN；（2）证明：E，F，N，M四点共面．18．（12分）已知O为坐标原点，F为抛物线：y2＝2px（p＞0）的焦点，抛物线C过点M（6，﹣6）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且OA⊥OB，证明：直线l过定点．19．（12分）已知直线l：（m+2）x﹣（2m+1）y﹣3＝0（m∈R），直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点．（1）证明：直线l过定点； （2）已知点P（﹣1，﹣2），当PA→⋅PB→最小时，求实数m的值．20．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB＝AC＝BC＝BD＝2，CD＝23．（1）求AD的长度；（2）求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值．21．（12分）已知过点P（0，﹣1）的直线l与圆E：x2+y2﹣4x﹣6y+4＝0交于A，B两点，M为AB的中点，直线l与直线m：x+2y+4＝0相交于点N．（1）当|AB|＝27时，求直线l的方程；（2）证明：PM→•PN→+PA→•PB→定值．22．（12分）已知P是圆E：（x+3）2+y2＝24上的动点，F（3，0）为定点，线段PF的垂直平分线交线段PE于点Q，点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点M（4，2）的直线l交曲线C于A，B两点，N为线段AB上一点，且|AM|•|BN|＝|AN|•|BM|，证明：点N在某定直线上，并求出该定直线的方程． 2022-2023学年广东省深圳市光明区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知空间向量a→=（λ，2，1），b→=（2，λ，λ+1），a→∥b→，则实数λ＝（　　）A．0B．±2C．﹣2D．2【解答】解：由题意可知，λ≠0，空间向量a→=（λ，2，1），b→=（2，λ，λ+1），a→∥b→，则2λ=λ2=λ+11，解得λ＝﹣2．故选：C．2．（5分）已知两条直线l1：3x+y﹣5＝0和l2：x﹣ay＝0相互垂直，则a＝（　　）A．13B．-13C．﹣3D．3【解答】解：根据题意，直线l1：3x+y﹣5＝0，其斜率k1＝﹣3，直线l2：x﹣ay＝0，其斜率k2=1a，若两条直线l1：3x+y﹣5＝0和l2：x﹣ay＝0相互垂直，则有（﹣3）×1a=-1，解可得a＝3，故选：D．3．（5分）双曲线C：x25-y210=1的离心率为（　　）A．5B．3C．2D．2【解答】解：由双曲线C：x25-y210=1，得a=5，c=5+10=15，可得e=ca=155=3．故选：B．4．（5分）已知圆C1：x2+y2＝3与圆C2：（x+2）2+（y+2）2＝6，则圆C1与圆C2的位置关系为（　　）A．相交B．外切C．外离D．内含【解答】解：圆C1：x2+y2＝3，圆心为C1（0，0），半径r1=3， 圆C2：（x+2）2+（y+2）2＝6，圆心为C2（﹣2，﹣2），半径r2=6，则|C1C2|=22，∵r2﹣r1＜|C1C2|＜r1+r2，∴圆C1与圆C2的位置关系为相交．故选：A．5．（5分）已知A（﹣2，﹣1），B（2，1），若动点P满足直线PA与直线PB的斜率之积为12，则动点P的轨迹方程为（　　）A．x26+y23=1，x≠±2B．x26+y23=1，x≠±6C．x22-y2＝1，x≠±2D．y2-x22=1，x≠±2【解答】解：设P（x，y），由题意可得y+1x+2•y-1x-2=12，整理可得：x22-y2＝1，x≠±2，即P的轨迹方程为：x22-y2＝1，x≠±2，故选：C．6．（5分）设点M为抛物线y2＝4x上的动点，点M在y轴上的投影为点N，点A（2，15），则|MA|+|MN|的最小值为（　　）A．3B．4C．5D．10-1【解答】解：∵抛物线的方程为y2＝4x，∴抛物线的准线方程为x＝﹣1，焦点坐标为F（1，0），过M作y轴的垂线，垂足为N，延长MN交抛物线准线于点B，则|MA|+|MN|＝|AM|+|MB|﹣1＝|AM|+|MF|﹣1≥|AF|﹣1=(2-1)2+(15-0)2-1=3，当且仅当A、M、F三点共线时取等号，即|MA|+|MN|的最小值为3，故选：A． 7．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AB＝2，AC＝AD＝3，BE→=ED→，CF→=2FD→，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（　　）A．33B．23C．21313D．21339【解答】解：在三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，∵AB＝2，AC＝AD＝3，BE→=ED→，CF→=2FD→，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，3，0），D（0，0，3），E（1，0，32），F（0，1，2），∴AE→=（1，0，32），BF→=（﹣2，1，2），设异面直线AE与BF所成角为θ，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为：cosθ=|AE→⋅BF→||AE→|⋅|BF→|=1134⋅9=21339． 故选：D．8．（5分）若抛物线x2＝2py（p＞0）上存在不同的两点关于直线y=-12x+1对称，则实数p的取值范围是（　　）A．（0，3）B．（0，13）C．（53，+∞）D．（13，+∞）【解答】解：设抛物线x2＝2py（p＞0）上存在不同的两点A、B关于直线y=-12x+1对称，设AB所在的直线方程为y＝2x+b，联立y=2x+bx2=2py，消y可得x2﹣4px﹣2pb＝0，则Δ＝16p2+8pb＞0，①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4p，y1+y2＝2（x1+x2）+2b＝8p+2b，又AB的中点在直线y=-12x+1上，则4p+b=-12×2p+1，即b＝﹣5p+1，②将②代入①可得3p2﹣p＜0，即0＜p＜13，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，|F1F2|＝10，|PF1|﹣|PF2|＝6，点F1到双曲线C一条渐近线的距离为d，则下列选项正确的有（　　）A．双曲线C的实轴长为3B．双曲线C的离心率为53C．|PF2|的最小值为2D．d＝4 【解答】解：由题意可得，2c＝|F1F2|＝10，则c＝5，2a＝|PF1|﹣|PF2|＝6，则a＝3，∴双曲线C的实轴长为6，故A错误；双曲线C的离心率为ca=53，故B正确；由已知可得，点P在双曲线的右支上，则|PF2|的最小值为c﹣a＝2，故C正确；点F1到双曲线C一条渐近线的距离d＝b=c2-a2=25-9=4．故选：BCD．（多选）10．（5分）已知点P（x0，y0）和圆O：x2+y2＝4，则下列选项正确的有（　　）A．若点P在圆O内，则直线x0x+y0y＝4与圆O相交B．若点P在圆O上，则直线x0x+y0y＝4与圆O相切C．若点P在圆O外，则直线x0x+y0y＝4与圆O相离D．若直线AP与圆O相切，A为切点，则|PA|=x02+y02-4【解答】解：对于A，点P在圆O内，则x02+y02＜4，又点O到直线x0x+y0y＝4的距离d=|4|x02+y02＞r，∴直线x0x+y0y＝4与圆O相离，故A错误；对于B，∵点P在圆O上，∴x02+y02=4，∵点P的坐标满足x0x+y0y＝4，∴x0x+y0y＝4过点P，又点O（0，0）到直线x2+y2＝4的距离d=|4|x02+y02=2＝r，∴x0x+y0y＝4与圆O相切，综上所述，若点P在圆O上，则圆O在点P处的切线方程为x0x+y0y＝4，故B正确；对于C，点P在圆O外，则x02+y02＞4，又点O到直线x0x+y0y＝4的距离d=|4|x02+y02＜r，∴直线x0x+y0y＝4与圆O相交，故C错误；若直线AP与圆O相切，|PA|＝|x02+y02-4，故D正确．故选：BD．（多选）11．（5分）伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为6π，离心率为53，F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，则下列选项正确的有（　　） A．椭圆C的标准方程可以为y29+x24=1B．△F1PF2的周长为10C．|PF1|•|PF2|≤9D．cos∠F1PF2≥-19【解答】解：由题意可得S＝abπ＝6π，∴ab＝6，又e=ca=53，又a2＝b2+c2，解得a＝3，b＝2，c=5，∴当焦点在x轴上时，椭圆C的标准方程为y29+x24=1，故A正确；△F1PF2的周长为2a+2c＝6+25，故B错误；∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|•|PF2|≤（||PF1|+|PF2|2）2＝9，故C正确；cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2|=62-2|PF1||PF2|-(25)22|PF1||PF2|=162|PF1||PF2|-1≥1618-1=-19，当且仅当，|PF1|＝|PF2|＝3时取等号，故D正确．故选：ACD．（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，N为DD1的中点，CM→=λCC1→，λ∈[0，1]，AM⊥平面α，下面说法正确的有（　　）A．若λ=12，D∈α，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形B．若λ＝1，平面α截正方体所得的截面面积的最大值为33C．若AM+MN的和最小，则λ=12D．直线DC与平面α所成角的最大值为π4【解答】解：以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，对于选项A，设平面α交棱A1D1于点E，设E（b，0，2），A（2，0，0），当λ=12时，点M(0，2，1)，AM→=(-2，2，1)，因为AM⊥平面α，D∈平面α，E∈平面α，DE→=(b，0，2)，所以AM⊥DE，即AM→⋅DE→=-2b+2=0， 得b＝1，所以E（1，0，2），所以点E为棱A1D1的中点，设平面α交棱A1B1于F，同理可知点F为棱A1B1的中点，即F（2，1，2），故EF→=(1，1，0)，而DB→=(2，2，0)，所以EF→=12DB→，所以EF∥DB且EF≠DB，由空间两点间距离公式得，|DE|=12+0+22=5，由B（2，2，0），F（2，1，2），则|BF|=(2-2)2+(2-1)2+(2-0)2=5．所以DE＝BF，所以四边形BDEF是等腰梯形，故选项A正确；在正方体中，CC1⊥平面ABCD，因为BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面ACC1，因为AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1，同理可证AC1⊥A1D，因为BD∩A1D＝D，所以AC1⊥平面A1BD，所以△A1BD是其中一个截面图形，易知△A1BD是边长为22的等边三角形，其面积为S1=34×(22)2=23， 设E，F，Q，N，G，H，分别为A1D1，A1B1，BB1，BC，CD，DD1的中点，易知六边形EFQNGH是边长为2的正六边形，其面积为S2=34×(2)2×6=33，且平面EFQNGH∥平面A1BD，所以AC1⊥平面EFQNGH，所以六边形EFQNGH也是其中一个截面图形，易知，六边形EFQNGH是最大截面，所以平面α截正方体所得的截面面积的最大值为33，故选项B正确；对于选项C，将矩形ACC1A1与正方形CC1D1D延展到一个平面内，如下图所示，若AM+MN的和最小，则A、M、N三点共线，因为CC1∥DD1，所以MCDN=ACAD=2222+2=2-2，因为DN＝1，所以MC=2-2，所以CM→=2-22CC1→，故λ≠12，故选项C错误；对于选项D，A（2，0，0），B（2，2，0），设点M（0，2，a）（0≤a≤2），因为AM⊥平面α， 则AM→为平面α的一个法向量，且AM→=(-2，2，a)，DC→=AB→=(0，2，0)，设直线DC与平面α所成角为θ，因为0≤a≤2，当a＝0时，sinθ最大，最大值为22，此时θ=π4，故直线DC与平面α所成角的最大值为π4，故选项D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知直线l的方程为x2+y2=1，则直线l的倾斜角α＝　135°　．【解答】解：直线l的方程为x+y＝2，即y＝﹣x+2，直线的斜率为﹣1＝tanα，α∈（0，π），则直线的倾斜角为135°，故答案为：135°．14．（5分）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点O，满足OD→=3OA→+2OB→+λOC→，则λ＝　﹣4　．【解答】解：∵A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，OD→=3OA→+2OB→+λOC→，∴1＝3+2+λ，λ＝﹣4，故答案为：﹣4．15．（5分）过点P（﹣2，3）作圆E：x2+y2﹣4x+2y＝0的两条切线，切点分别为M，N则直线MN的方程为　4x﹣4y﹣7＝0　．【解答】解：圆E的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝5，设切点M（x1，y1），N（x2，y2），则切点所在的切线方程为：（x1﹣2）（x﹣2）+（y1+1）（y+1）＝5，（x2﹣2）（x﹣2）+（y2+1）（y+1）＝5，因为点P在切线上，所以（x1﹣2）（﹣2﹣2）+（y1+1）（3+1）＝5，即﹣4（x1﹣2）+4（y1+1）＝5，﹣4（x2﹣2）+4（y2+1）＝5，所以M，N在直线﹣4（x﹣2）+4（y+1）＝5上，即MN的直线方程为4x﹣4y﹣7＝0， 故答案为：4x﹣4y﹣7＝0．16．（5分）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+t与椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）交于A，B两点，P为AB的中点，直线OP的斜率为k0．若-34＜kk0＜-13，则椭圆的离心率的取值范围为　（12，63）　．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则k=y1-y2x1-x2，x0=x1+x22，y0=y1+y22，所以k0=y0x0=y1+y2x1+x2，所以kk0=y12-y22x12-x22，将A，B两点坐标代入椭圆方程可得：x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1，两式作差可得：x12-x22a2+y12-y22b2=0，所以kk0=y12-y22x12-x22=-b2a2，则-34＜-b2a2＜-13，即34＞b2a2＞13，所以13＜1﹣e2＜34，即14＜e2＜23，所以12＜e＜63，所以椭圆的离心率的取值范围为（12，63）．故答案为：（12，63）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱AB，BC，AA1，D1C1的中点，连接CD1，EM，MN，EN，NF，EF．（1）证明：D1C∥平面EMN；（2）证明：E，F，N，M四点共面． 【解答】解：根据题意，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2a，DC＝2b，DD1＝2c，如图建立空间直角坐标系：则D（0，0，0），A（2a，0，0），C（0，2b，0），B（2a，2b，0），D1（0，0，2c），A1（2a，0，2c），C1（0，2b，2c），B1（2a，2b，2c），则M（2a，b，0），N（a，2b，0），E（2a，0，c），F（0，b，2c）（1）证明：D1C→=（0，2b，﹣2c），ME→=（0，﹣b，c），则有D1C→=-2ME→，故D1C∥ME，则有D1C∥平面EMN；（2）证明：EF→=（﹣2a，b，c），EM→=（0，b，﹣c），EN→=（﹣a，b，﹣c），则有EF→=-3EM→+2EN→，则向量EF→、EM→、EN→共面，必有E，F，N，M四点共面．18．（12分）已知O为坐标原点，F为抛物线：y2＝2px（p＞0）的焦点，抛物线C过点M（6，﹣6）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且OA⊥OB，证明：直线l过定点．【解答】解：（1）∵抛物线C过点M（6，﹣6），∴（﹣6）2＝2p×6，解得p＝3，∴抛物线C的标准方程为y2＝6x．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为my＝x﹣t，（t≠0），联立my=x-ty2=6x，化为y2﹣6my﹣6t＝0， ∴y1+y2＝6m，y1y2＝﹣6t，∵OA⊥OB，∴OA→•OB→=x1x2+y1y2=(y1y2)236+y1y2＝﹣6t（-6t36+1）＝0，t≠0，解得t＝6，∴直线l的方程为my＝x﹣6，∴直线l过定点（6，0）．19．（12分）已知直线l：（m+2）x﹣（2m+1）y﹣3＝0（m∈R），直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点．（1）证明：直线l过定点；（2）已知点P（﹣1，﹣2），当PA→⋅PB→最小时，求实数m的值．【解答】（1）证明：已知直线l：（m+2）x﹣（2m+1）y﹣3＝0（m∈R），则（x﹣2y）m+2x﹣y﹣3＝0，由x-2y=02x-y-3=0，解得x=2y=1，即直线l过定点（2，1）；（2）解：设直线l的方程为xa+yb=1，a＞0，b＞0，则A（a，0），B（0，b），又直线l过定点（2，1），则2a+1b=1，又点P（﹣1，﹣2），则PA→⋅PB→=（a+1，2）•（1，b+2）＝a+2b+5=(2a+1b)(a+2b)+5=9+4ba+ab≥9+24ba×ab=13，当且仅当4ba=ab，即a＝2b，即a＝4，b＝2时取等号，即直线l的方程为x+2y﹣4＝0，则直线l过（4，0）， 即4（m+2）﹣3＝0，即m=-54．20．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB＝AC＝BC＝BD＝2，CD＝23．（1）求AD的长度；（2）求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值．【解答】解：（1）以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（﹣1，3，0），A（1，0，3），C（2，0，0），所以AD→=（﹣2，3，-3），CA→=（﹣1，0，3），所以|AD→|=4+3+3=10．（2）设平面ACD的法向量为m→=（x，y，z），则m→⋅AD→=0m→⋅CA→=0，即-2x+3y-3z=0-x+3z=0，令z＝1，则x=3，y＝3，所以m→=（3，3，1），易知平面ABC的一个法向量为n→=（0，1，0），设平面ABC与平面ACD夹角为θ，则cosθ＝|cos＜m→，n→＞|=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=313×1=31313，故平面ABC与平面ACD夹角的余弦值为31313． 21．（12分）已知过点P（0，﹣1）的直线l与圆E：x2+y2﹣4x﹣6y+4＝0交于A，B两点，M为AB的中点，直线l与直线m：x+2y+4＝0相交于点N．（1）当|AB|＝27时，求直线l的方程；（2）证明：PM→•PN→+PA→•PB→定值．【解答】解：（1）圆E：x2+y2﹣4x﹣6y+4＝0的圆心E（2，3），半径r＝3，当直线l与x轴垂直时，则|AB|＝29-4=25，则x＝0不合题意，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx﹣1，即kx﹣y﹣1＝0，∵AB＝27，∴EM=9-7=2，则EM=|2k-3-1|k2+1=2，∴k2﹣8k+7＝0，∴k＝1或k＝7，∴直线l：x﹣y﹣1＝0或7x﹣y﹣1＝0．证明：（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，联立x=0(x-2)2+(y-3)2=9，得出x＝0，y＝3±5，不妨设A(0，3-5)，B(0，3+5)，则M（0，3），联立x=0x+2y++4=0，可得N（0，﹣2）．则PA→⋅PB→=16-5=11，PM→⋅PN→=0-4=-4，则PM→⋅PN+PA→⋅PB→=7，当直线l的斜率存在时，设为y＝kx﹣1，联立y=kx-1(x-2)2+(y-3)2=9，得（1+k2）x2﹣（8k+4）x+11＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则M(x1+x22，y1+y22)，进而得到M(x1+x22，k(x1+x2)2-1)，Δ＝（8k+4）2﹣44（1+k2）＞0，即5k2+16k﹣7＞0，x1+x2=8k+41+k2，x1x2=111+k2，PA→⋅PB→=(1+k2)x1x2=(1+k2)⋅111+k2=11，设N＝（a，b），则b=ka-1a+2b+4=0，整理得a（1+2k）＝﹣2，因为PM→=(x1+x22，k(x1+x2)2)，PN→=(a，b+1)，所以PM→⋅PN→+PA→⋅PB→=a2(x1+x2)+k(b+1)2(x1+x2)+112a+4ka1+k2+k2a(2+4k)1+k2+11=a(2+4k)(1+k2)1+k2+11=-4+11=7，故PM→•PN→+PA→•PB→为定值．22．（12分）已知P是圆E：（x+3）2+y2＝24上的动点，F（3，0）为定点，线段PF的垂直平分线交线段PE于点Q，点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点M（4，2）的直线l交曲线C于A，B两点，N为线段AB上一点，且|AM|•|BN|＝|AN|•|BM|，证明：点N在某定直线上，并求出该定直线的方程．【解答】解：（1）圆E的方程化为：（x+3）2+y2＝24，所以圆心E（-3，0），半径r＝26．因为Q在PF的垂直平分线上，所以|QF|＝|QP|，所以|QE|+|QF|＝|QE|+|QP|＝|EP|＝26，又因为|EF|＝23，则|QE|+|QF|＞23，所以Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，由2a＝26，∴a=6，又c=3，得b=a2-c2=3．所以C的方程为x26+y23=1．（2）证明：由题意可得直线l的斜率存在．设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣4），即y＝kx+（2﹣4k），代入椭圆方程，整理得（1+2k2）x2+（8k﹣16k2）x+32k2﹣32k+2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=16k2-8k1+2k2，x1x2=32k2-32k+21+2k2，设N（x0，y0），由|AM|•|BN|＝|AN|•|BM|，得：（4﹣x1）（x0﹣x2）＝（x1﹣x0）（4﹣x2）（考虑线段在x轴上的射影即可），∴8x0＝（4+x0）（x1+x2）﹣2x1x2，于是8x0＝（4+x0）×16k2-8k1+2k2-2×32k2-32k+21+2k2，整理得x0+12=（4﹣x0）k，①又k=y0-2x0-4，代入①式得x0+y0-32=0，∴点N总在直线x+y-32=0上．